2025年九年级中考数学高频考点专题复习训练-拱桥问题（实际问题与二次函数）

2025年九年级中考数学高频考点专题复习训练- 拱桥问题（实际问题与二次函数） 1．许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米． (1)设抛物线的解析式为，求a和k的值； (2)分别延长，交抛物线于点F，E，求点F的坐标； 2．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为． (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），其表达式是的形式．请根据所给的数据求出a，c的值． (2)求支柱的长度． 3．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，当水面宽时，水面距桥孔顶部．因降暴雨水位上升了到达位置．建立平面直角坐标系，如图1所示． (1)求此时水面的宽度（结果保留根号）； (2)一艘装满物资的小船，露出水面的高为，宽为（横断面如图2所示）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由． 4．如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边，，和抛物线的一段（点E为抛物线的顶点）构成．以的中点O为原点，分别以直线和抛物线的对称轴为x轴和y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米． (1)求该抛物线的解析式； (2)为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度为8米，且O为的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的宽度忽略不计） 5．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)夏天雨水增多，水位暴涨，当桥洞的最高点到水面的距离小于时，船只过桥洞会发生危险，需要发出警报，求此时水面的宽度． 6．正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽，水面距离拱桥顶端． (1)把桥拱看作一个二次函数的图像的一部分，如图建立平面直角坐标系，求出这个函数的表达式； (2)如果水位以的速度持续上涨，经过多长时间拱桥下水面宽 7．如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米． (1)直接写出b，c的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要6根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 8．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称为跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择．①抛物线型，②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如果设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式： (2)如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； 9．一座拱桥的轮廓呈抛物线型，如图，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)求立柱的长； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 10．周末，小明跟父母去某自然景区露营，小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为2.6米的树与树之间（米），两边拴绳的地方A、B距地面的高度均为米（米），吊床形状近似呈抛物线形，此时吊床最低点离地面的高度为0.81米．已知，，图中所有的点都在同一平面内．以树与地面的交点为原点，地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当吊床上某处离地面高度为2.25米时，求吊床上该处离左边树的距离． 11．问题提出 学校准备开展外语小教室创意装饰比赛活动，李俊同学对本班小教室进行了装饰．如图1所示，他在小教室的两墙，之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，均为3米，，之间的水平距离为8米，彩带最低点离地面1.4米． （1）建立模型如图2，求抛物线彩带的解析式（不要求写自变量的取值范围）； 解决问题 （2）为了使彩带的造型美观，李俊把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离； （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，李俊通过适当调整M的位置，使点M的坐标为，且抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，抛物线的最低点到地面的距离为n米，则________（用含m的式子表示），当时，m的取值范围是________． 12．有一建筑的一面墙近似呈抛物线形，该抛物线的水平跨度顶点P的高度为4m，建立如图所示平面直角坐标系．现计划给该墙面安装门窗，已经确定需要安装矩形门框（点B，C在抛物线上，边在地面上），针对窗框的安装设计师给出了两种设计方案如图： 方案一：在门框的两边加装两个矩形窗框（点G，H在抛物线上），； 方案二：在门框的上方加装一个矩形的窗框（点G，H在抛物线上），．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若要求门框的高度为3m，判断哪种方案透光面积（窗框和门框的面积和）较大？（窗框与门框的宽度忽略不计） 13．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点作垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求，该抛物线的顶点到的距离为9m． (1)求满足设计要求的抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁的同样高度的A、B处安装上照明灯，如图所示，若要求A、B两个照明灯之间的水平距离为8m，求出此时A、B两个照明灯距离地面的高度． 14．如图是一座拱桥，图2是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为． (1)求这条抛物线的表达式； (2)为迎接新年，管理部门在桥下悬挂了3个长为的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在处，两边灯笼与最中间灯笼的水平距离为，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全． 15．随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置越来越多的下沉式立交桥．下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地下半层，下沉式立交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点．某下沉式立交桥的主路桥截面呈抛物线形，如图以主路桥面最低点为原点，以原点所在的水平直线为轴建立平面直角坐标系，已知主路桥面跨径，主路桥面的最低点到的距离为．    (1)求抛物线的表达式； (2)由于下沉式立交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象．在一次暴雨后，桥面积水跨径为，小林的爸爸打算驾驶普通轿车从公司回家，已知普通轿车的安全涉水深度不大于，请你帮小林的爸爸计算一下他能否驾车从这个下沉式立交桥安全通过？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学高频考点专题复习训练- 拱桥问题（实际问题与二次函数）》参考答案 1．(1) (2)点F坐标为． 2．(1) (2) 3．(1)此时水面宽度为米 (2)暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过， 4．(1) (2)米 5．(1)； (2)此时水面的宽度为． 6．(1)； (2)经过，拱桥下水面宽． 7．(1)， (2)米 (3)528根 8．(1) (2)半径为米 9．(1) (2) (3)不能， 10．(1) (2)0.1米或2.5米 11．（1）；（2）点M到地面的距离为米；（3）； ； 12．(1) (2)方案一透光面积较大， 13．(1) (2)5m 14．(1) (2)安全， 15．(1)； (2)能安全通过． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$