2025年中考九年级数学专题复习：二次函数中的平行四边形问题

2025年中考九年级数学专题复习： 二次函数中的平行四边形问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线：交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求的面积； (3)①是轴上一点，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； ②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值． 2．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求直线的表达式． (2)点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点E的坐标． (3)在（2）的条件下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上一动点，在抛物线上找一点P，使以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 3．如图1，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图2，若P是线段上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交于点N，设点P的横坐标为t，的面积为S．求S关于t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)若P是x轴上一个动点，过P作直线交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． (1)求的值； (2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值； (3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求线段最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标． 6．在平面直角坐标系中，抛物线=与x轴交于点，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (4)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 7．如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点，点的横坐标为．      (1)求抛物线对应的函数表达式以及，两点的坐标； (2)当点在第四象限时，面积是否有最大值？若有，求出点坐标以及最大面积；若没有，请说明理由； (3)是抛物线对称轴上任意一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数．且经过点，交轴于点、在的左侧），其顶点的横坐标为2． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度后得到抛物线，为抛物线上的动点，点为抛物线的对称轴上的动点，请问是否存在以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线经过点A，B，对称轴是直线，与y轴交于点，B点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接，，求面积的最大值； (3)在y轴的右侧是否存在点M，使得以M，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与二次函数的图象交于点． (1)求一次函数与二次函数的表达式； (2)设是直线上一点，过点作轴，交二次函数的图象于点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 11．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点E的坐标和四边形面积的最大值； (3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 12．综合与探究：如图1，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，直线与轴相交于点，交线段于点，且.    (1)求，，三点的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，若抛物线的对称轴与直线交于点，试探究，在平面内是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 13．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为抛物线对称轴上一点，连接，以为边作平行四边形，是否存在这样的点，使得是矩形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)点在轴右侧抛物线上运动，当的面积与的面积相等时，请直接写出点的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，与轴交于点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交线段于点， (1)求抛物线的解析式和当是中点时，点的坐标． (2)作，垂足为，连接，求的最大值． (3)连接，当点横坐标为何值时，四边形为平行四边形？ 15．综合与实践 如图，抛物线与x轴交于，两点，且点在点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上的一动点．    (1)求，，三点的坐标； (2)如图2，当点在第四象限时，连接和，得到，当的面积最大时，求点的坐标； (3)点在轴上运动，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考九年级数学专题复习：二次函数中的平行四边形问题》参考答案 1．(1) (2) (3)①；② 2．(1) (2)点E的坐标为 (3)点P的坐标为或或 3．(1)，该抛物线的顶点坐标为 (2)，当时，有最大值，最大值为 (3)存在，点P的坐标为或或 4．(1) (2)，此时 (3)存在，或或 5．(1) (2)线段最大值为，点P的坐标为 (3)满足条件的点M的坐标有或或 6．(1) (2) (3) (4)存在，点M的坐标为或 7．(1)，点，； (2)最大为，此时点； (3)或或． 8．(1)； (2)存在，的坐标为或． 9．(1) (2) (3)存在，或 10．(1)， (2)点坐标为，，， 11．(1)； (2)点的坐标是时，四边形的面积最大，最大面积为； (3)存在，点的坐标是、、． 12．(1)，， (2) (3)或或 13．(1)； (2)存在，或； (3)点坐标为或． 14．(1)， (2)的最大值是 (3)时，四边形是平行四边形 15．(1)，， (2) (3)或或或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$