黄金卷02（济南专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（济南专用） 黄金卷 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D C C D D C B A A 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 11． 1 12． 13．②③⑤ 14．10 15．10或14 三、解答题：（本大题共10题，第16-18每题7分，第19-20每题8分,第21每题9分,第22-23每题10分，第24-25题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（7分） 【详解】（1）解： ；（3分） （2）解： ．（7分） 17．（7分） 【详解】解： ， 解不等式得：， 解不等式得：，（4分） 在数轴上表示不等式的解集： ∴不等式组的解集为，（6分） ∴不等式组的整数解为：，，．（7分） 18．（7分） 【详解】（1）解：本次抽取的总人数为：（人）， 故样本中等级的人数为：（人）， 补全条形统计图如图所示： （3分） （2）解：∵本次抽取的总人数为100人， ∴随机抽取的这部分九年级学生的平均成绩分，（5分） 故全校九年级学生的平均成绩为75分． （3）解：由扇形统计图可得：等级的人数所占的比例为，不到一半，等级的人数所占比例，故应该合理加强学生对我市现有的文化遗产的了解，如：广播宣传等．（7分） 19．（8分） 【详解】（1）证明：∵，， 且， ∴．（2分） （2）证明：如图，在上截取，连接， 则，（3分） 设， ∴， ∴， ∴，（5分） 在和中，  ， ∴， ∴，（7分） ∴．（8分） 20．（8分） 【详解】（1）解：①将代入得， ， 反比例函数解析式为；（2分） ②将，代入得， 解得， 一次函数的解析式为；（4分） 如图，令直线与轴的交点为， 令， ， ， 点的坐标为， ， ；（6分） （2）解：由题意得或， ， 当时，， 当时，， 的取值范围是或．（8分） 21．（9分） 【详解】（1）解：过点作， 则四边形是矩形， 由山底处先步行到达处，山坡的坡度，， ，（2分） 在中，， ， ， 答：，两地的垂直高度为；（4分） （2）解：在中，， ， ， 答：他们从山脚处到达山顶处需要分钟．（9分） 22．（10分） 【详解】（1）解：设一件A奖品的标价是x元，一件B奖品的标价是y元， 根据题意得： 解得：． 答：一件A奖品的单价是25元，一件B奖品的单价是10元；（4分） （2）解：①设甲商场的商品打a折， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：甲商场的商品打8折； （7分） ②总费用为元， ∵总费用为500多， ， 解得：， 又∵n为正整数，且， ∴n可以为10，11，12，13， ∴可以为20，22，24，26． ∴购进B奖品总数量最多为26件 答：学校购进B奖品的总数量最多为26件．（10分） 23．（10分） 【详解】（1）解：连接， ， ， ， 是的直径， ， ；（4分） （2）解：是的直径，与相切于点 A， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接， ， ， ， 为的中线， ， 阴影部分的面积 ．（10分） 24．（12分） 【详解】（1）解：当为直角边时，则； 当为斜边时，则； ∴的长为或；（3分） （2）证明：∵， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴点E、F是线段的勾股分割点；（7分） （3）∵四边形是正方形， ∴ 将绕点A逆时针旋转到的位置，连接， 则，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， 设，则， ∴，解得， 即的长为或．（12分） 25．（12分） 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得：；（2分） （2）解：由（1）可得：抛物线表达式为， ∴当时，， ∴， 设直线表达式为：， 则：， 解得：， ∴直线表达式为：， 则，， ， ∵，， ∴当时，取得最大值；（5分） （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴，即：， 当点Q在y轴右侧时，，即：， ∴当时，此时在M下方，Q在N上方，如图， ∴，， 此时高为：， ∴； 当时，点，都在上方，如图， 此时，， 此时高为：， ∴； 当时，P在M上方，Q在N下方，如图， 此时，， 高为：， ∴； 当时，，都在下方，如图， 此时，， 而高为：， ∴； 综上所述，关于的函数关系式为：； ②由上可得：当时，， ∵， ∴随着的增大而减小； 当时，， 而对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小； 当时，， ∵， ∴随着的增大而增大； 当时，， 而对称轴为直线，抛物线开口向上，， ∴随着的增大而增大； 综上所述，当随的增大而增大时的取值范围为：或或．（10分） 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（济南专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．如图所示的几何体可以由图中哪个图形绕虚线旋转一周后得到（   ） A． B． C． D． 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，弦、相交于，，，则（    ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是±5 B．的值小于6 C．的算术平方根是3 D． 5．如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知有理数在数轴上的位置如图所示，化简，得（　　） A． B． C． D． 7．当互为相反数时，代数式的值为（  ） A．2 B．3 C． D．3或 8．一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．如图，把直角三角形拆解为一个正方形与两对全等的直角三角形．下面给出的条件中，一定能求出该直角三角形的面积的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题：（本大题共5题，每题4分，共20分.） 11．在平面直角坐标系中，点在x轴上，则m的值为 ． 12．已知函数，则自变量的取值范围是 ． 13．二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且则． 其中正确的有 ． 14．已知关于x、y的方程组的解x，y的和为6，则k的值为 。 15．如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接，F为的中点．若线段，那么的长为 ． 三、解答题：（本大题共10题，第16-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，第25题12分，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．计算： (1)； (2)． 17．解不等式组：，把解集表示在数轴上．并求其整数解． 18．为了进一步加大对文化遗产的保护力度，国务院决定从2006年起，将每年6月的第二个星期六定为我国的“文化遗产日”．在漫长的历史长河中，我们铜仁市各民族创造了多姿多彩的灿烂文化，留下了许多独具地方特点和民族特色的文化遗产．学校想了解学生对我市现有的文化遗产的了解程度，随机抽取了部分九年级学生进行铜仁文化遗产知识检测，并将检测结果绘制成如图的条形统计图和扇形统计图，其中：A等级表示90分分（含100分，不含90分，以下同），B等级表示80分分，C等级表示70分分，D等级表示70分及以下．请你结合图中信息解答下列问题： (1)请通过计算后把条形统计图补充完整； (2)已知随机抽取的这部分九年级学生的总分为7500分，请你估计全校九年级学生的平均成绩； (3)根据抽样调查的数据，为学校提出一条宣传普及铜仁文化遗产知识的建议． 19．如图，已知E为内部一点，延长线交边于点D，连接，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)①直接写出反比例函数的解析式； ②若点，求该一次函数的解析式及的面积． (2)若点在该反比例函数图象上，且它到轴距离小于3，请根据图象直接写出的取值范围． 21．国庆节期间，张华与李明相约攀登梵净山附近的一座小山．如图，已知山高（即图中且），他们先由山脚处步行300到达山腰处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由处到达山顶处．已知点、、、、在同一平面内，山坡的坡度，山坡与水平线的夹角为．（参考数据：，，） (1)求，两地的垂直高度； (2)若他们攀登第一段斜坡时的速度为，攀登第二段斜坡的速度为，求他们从山脚处到达山顶处需要多少分钟． 22．为丰富同学们的课余生活，培养同学们的创新意识和实践能力，某校八年级举办了“玩转科技、畅想未来”活动，为了表彰活动中表现优秀的同学，学校准备采购A、B两种奖品．这两种奖品在甲、乙两个商场的标价相同，一件A奖品的标价比一件B奖品标价多15元，买20件A奖品和10件B奖品一共需600元． (1)求一件A奖品和一件B奖品的标价分别是多少？ (2)甲、乙两商场举办让利活动：甲商场所有商品以相同折扣打折销售，乙商场买一件A奖品送一件B奖品．采购时发现在甲商场用200元购买的B奖品数量比用200元购买的A奖品数量的2倍还多5件 ①甲商场的商品打几折？ ②若学校分别在甲、乙两商场均采购10件A奖品和n件B奖品（），整理时，采购人员发现在甲、乙两商场购买奖品的总费用记账单，只有百位上的数字5能看得清楚，十位和个位上的数字均已被墨水污染．问学校购进B奖品的总数量最多为多少件？ 23．如图是的直径，与相切于点 A，与相交于点 D， E为上的一点， 分别连接、， ． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 24．问题提出 如图1，点把线段分割成三条线段，如果以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． （1）如图1，、是线段的勾股分割点，且，，则的长为_____； 问题证明 （2）如图2，中，，折，使得点都与重合，折痕分别为，求证：点是线段的勾股分割点； 迁移应用 （3）如图3，正方形中，分别交与点．若．请直接写出的长． 25．抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点是抛物线上一点，点的横坐标为，轴，交直线于点． (1)求，的值； (2)如图，若点在第一象限，当线段长度最大时，求的值； (3)点是轴右侧抛物线上一点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点．设以点，，，为顶点的四边形面积记为． ①直接写出关于的函数关系式； ②直接写出当随的增大而增大时的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（济南专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．如图所示的几何体可以由图中哪个图形绕虚线旋转一周后得到（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键．根据面动成体，即可解答． 【详解】解：A、将图形绕虚线旋转一周后得到圆锥，故不符合题意； B、将图形绕虚线旋转一周后得到球，故不符合题意； C、将图形绕虚线旋转一周后得到圆锥和圆柱的组合体，故不符合题意； D、将图形绕虚线旋转一周后得到圆台，故符合题意； 故选：D． 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查因式分解的定义，解题关键在于需要掌握因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，就是因式分解，通过分析各项中，哪项等式右边为乘积的形式，即可解答题目． 【详解】解：A、，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、，等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、，等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； D、，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 3．如图，中，弦、相交于，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等可知，即可利用外角性质求出． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 故选：C． 4．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是±5 B．的值小于6 C．的算术平方根是3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的计算，无理数的估算，能够熟练运用公式计算是解题关系． 利用平方根，算术平方根的定义，无理数的估算计算即可． 【详解】解：A．的平方根是，故选项错误， B．∵ ∴，故选项错误， C．的算术平方根是3，正确， D．，故选项错误， 故选：C． 5．如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式．根据放置冰块部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即可求解． 【详解】解：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 放置冰块部分的面积为 故选：D． 6．已知有理数在数轴上的位置如图所示，化简，得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减运算；根据数轴上两个有理数的位置可确定的大小关系，从而判断出，，则可以脱去绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴知：，且， 所以， 所以， 所以； 故选：D． 7．当互为相反数时，代数式的值为（  ） A．2 B．3 C． D．3或 【答案】C 【分析】本题主要考查了提取公因式的应用以及相反数的定义，首先利用相反数的定义得出，再利用提取公因式法将原式变形求出答案． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， ∴ ． 故选：C． 8．一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图形，熟知一次函数中：，随增大而增大；，随增大而减小；，函数图像与轴交于正半轴；，函数图像与轴交于负半轴；是解本题的关键．对选项中的分别对应的的值进行分析可得答案． 【详解】解：A、： ； ： ； 故此选项不符合题意； B、：；： ； 故此选项符合题意； C、：；： ； 故此选项不符合题意； D、：；： ； 故此选项不符合题意； 故选：B． 9．如图，把直角三角形拆解为一个正方形与两对全等的直角三角形．下面给出的条件中，一定能求出该直角三角形的面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，正确进行分析、推理成为解题的关键． 由题意可得：，四边形是正方形，则，设，然后根据勾股定理列方程并整理可得，又该直角三角形的面积的是，整理得，将整体代入可得该直角三角形的面积的是，再结合选项即可解答． 【详解】解：由题意可得：，四边形是正方形， ∴， 设，则， ∵， ∴，整理为：， ∵直角三角形的面积的是 ． ∴当确定时，一定能求出该直角三角形的面积． 故选A． 10．如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，则，，，过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，则，，设，则，，，证和全等得，再利用勾股定理得，，再证，进而求得，，根据列出函数关系式，进而根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 为的中点， ， 又，， 过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，如图： 在中，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ，， ， 而， ， 即， 整理得：， ， ， 当时，，当时，，顶点坐标为， 该函数图象是抛物线，与轴交于点，顶点为，且过点， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解答本题的关键． 2、 填空题：（本大题共5题，每题4分，共20分.） 11．在平面直角坐标系中，点在x轴上，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．根据x轴上点的纵坐标为0列方程求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得． 故答案为：1． 12．已知函数，则自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，分式有意义的条件，求不等式的解集，掌握二次根式中被开方数为负数，分式的分母不能为0的知识是解题的关键． 根据题意得，即可求解． 【详解】解：函数， ∴， 解得，， 故答案为： ． 13．二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且则． 其中正确的有 ． 【答案】②③⑤ 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及掌握二次函数与方程之间的转换是解题关键． 由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ，，， ，， ，；故①错误，故②正确； ∴当时，y有最大值，即为， 当时，，即为，故③正确； 对称轴是直线，与轴交点在左边， 二次函数与轴的另一个交点在与之间， ，故④错误； ， ， ， ， ， ， ，， ，故⑤正确； 故正确的有②③⑤， 故答案为：②③⑤． 14．已知关于x、y的方程组的解x，y的和为6，则k的值为 。 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识点，两式相加得：，根据的和为6，整体代入即可得到k的值，熟练掌握二元一次方程组的解，解一元一次方程并知道将整体代入是解决此题的关键． 【详解】解：两式相加得：， ∴， ∵的和为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接，F为的中点．若线段，那么的长为 ． 【答案】10或14 【分析】延长，至点G，使，连接，过点E做于点H，根据中位线的性质求出，然后根据正方形的性质得为等腰直角三角形，设，利用勾股定理表示出，在利用勾股定理及一元二次方程求出，再利用正方形的性质得出，即可解答． 【详解】解：延长，至点G，使，连接， 过点E做于点H， ∴ ， ∴点A是的中点， ∵F为的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵正方形对角线，相交于点， ∴，， ， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ， 在中 ， ， 即 解得：，， 当时，， 当时，， 在中 ， ， ∴，或（不符合题意，舍去） 或， 综上所述的长为10或14． 故答案为：10或14 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，一元二次方程，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题：（本大题共10题，第16-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，第2,5题12分，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，乘除，再算加减即可； （2）先算乘方，绝对值，乘法运算，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．解不等式组：，把解集表示在数轴上．并求其整数解． 【答案】数轴见解析，不等式组的整数解为：，，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示，再找出不等式组的整数解即可，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 解不等式得：， 解不等式得：， 在数轴上表示不等式的解集： ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为：，，． 18．为了进一步加大对文化遗产的保护力度，国务院决定从2006年起，将每年6月的第二个星期六定为我国的“文化遗产日”．在漫长的历史长河中，我们铜仁市各民族创造了多姿多彩的灿烂文化，留下了许多独具地方特点和民族特色的文化遗产．学校想了解学生对我市现有的文化遗产的了解程度，随机抽取了部分九年级学生进行铜仁文化遗产知识检测，并将检测结果绘制成如图的条形统计图和扇形统计图，其中：A等级表示90分分（含100分，不含90分，以下同），B等级表示80分分，C等级表示70分分，D等级表示70分及以下．请你结合图中信息解答下列问题： (1)请通过计算后把条形统计图补充完整； (2)已知随机抽取的这部分九年级学生的总分为7500分，请你估计全校九年级学生的平均成绩； (3)根据抽样调查的数据，为学校提出一条宣传普及铜仁文化遗产知识的建议． 【答案】(1)见详解 (2)75分 (3)合理加强学生对我市现有的文化遗产的了解，如：广播宣传等 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联，补全条形统计图，由样本估计总体，灵活运用所给数据是解此题的关键． （1）先求出样本中等级的人数，再补全统计图即可； （2）根据题意求出样本中九年级学生的平均成绩即可得出答案； （3）结合题中的数据提出建议即可． 【详解】（1）解：本次抽取的总人数为：（人）， 故样本中等级的人数为：（人）， 补全条形统计图如图所示： （2）解：∵本次抽取的总人数为100人， ∴随机抽取的这部分九年级学生的平均成绩分， 故全校九年级学生的平均成绩为75分． （3）解：由扇形统计图可得：等级的人数所占的比例为，不到一半，等级的人数所占比例，故应该合理加强学生对我市现有的文化遗产的了解，如：广播宣传等． 19．如图，已知E为内部一点，延长线交边于点D，连接，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）利用三角形的外角的性质可得结论； （2）如图，在上截取，连接，证明，再进一步可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， 且， ∴． （2）证明：如图，在上截取，连接， 则， 设， ∴， ∴， ∴， 在和中，  ， ∴， ∴， ∴． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)①直接写出反比例函数的解析式； ②若点，求该一次函数的解析式及的面积． (2)若点在该反比例函数图象上，且它到轴距离小于3，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）①将点代入反比例函数解析式即可得到答案； ②先用待定系数法求出一次函数解析式，令直线与轴的交点为，将的面积转化为与的面积之和即可； （2）由题意得或，分别代入反比例函数解析式计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：①将代入得， ， 反比例函数解析式为； ②将，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； 如图，令直线与轴的交点为， 令， ， ， 点的坐标为， ， ； （2）解：由题意得或， ， 当时，， 当时，， 的取值范围是或． 21．国庆节期间，张华与李明相约攀登梵净山附近的一座小山．如图，已知山高（即图中且），他们先由山脚处步行300到达山腰处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由处到达山顶处．已知点、、、、在同一平面内，山坡的坡度，山坡与水平线的夹角为．（参考数据：，，） (1)求，两地的垂直高度； (2)若他们攀登第一段斜坡时的速度为，攀登第二段斜坡的速度为，求他们从山脚处到达山顶处需要多少分钟． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，利用含角的直角三角形的性质进行计算即可； （2）求出的长，再求出所用时间和即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作， 则四边形是矩形， 由山底处先步行到达处，山坡的坡度，， ， 在中，， ， ， 答：，两地的垂直高度为； （2）解：在中，， ， ， 答：他们从山脚处到达山顶处需要分钟． 22．为丰富同学们的课余生活，培养同学们的创新意识和实践能力，某校八年级举办了“玩转科技、畅想未来”活动，为了表彰活动中表现优秀的同学，学校准备采购A、B两种奖品．这两种奖品在甲、乙两个商场的标价相同，一件A奖品的标价比一件B奖品标价多15元，买20件A奖品和10件B奖品一共需600元． (1)求一件A奖品和一件B奖品的标价分别是多少？ (2)甲、乙两商场举办让利活动：甲商场所有商品以相同折扣打折销售，乙商场买一件A奖品送一件B奖品．采购时发现在甲商场用200元购买的B奖品数量比用200元购买的A奖品数量的2倍还多5件 ①甲商场的商品打几折？ ②若学校分别在甲、乙两商场均采购10件A奖品和n件B奖品（），整理时，采购人员发现在甲、乙两商场购买奖品的总费用记账单，只有百位上的数字5能看得清楚，十位和个位上的数字均已被墨水污染．问学校购进B奖品的总数量最多为多少件？ 【答案】(1)一件A奖品的单价是25元，一件B奖品的单价是10元 (2)①甲商场的商品打8折；②学校购进B奖品的总数量最多为26件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据“A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①设甲商场的商品打a折，利用数量=总价÷单价，结合在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件，可列出关于a的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； ②总费用为元，由总费用为500多，可列出关于n的一元一次不等式组，解之可得出n的取值范围，结合n为正整数且，可得出n的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设一件A奖品的标价是x元，一件B奖品的标价是y元， 根据题意得： 解得：． 答：一件A奖品的单价是25元，一件B奖品的单价是10元； （2）解：①设甲商场的商品打a折， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：甲商场的商品打8折； ②总费用为元， ∵总费用为500多， ， 解得：， 又∵n为正整数，且， ∴n可以为10，11，12，13， ∴可以为20，22，24，26． ∴购进B奖品总数量最多为26件 答：学校购进B奖品的总数量最多为26件． 23．如图是的直径，与相切于点 A，与相交于点 D， E为上的一点， 分别连接、， ． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，利用圆周角定理得到，再根据直径所对的圆周角为直角得到，最后根据直角三角形性质求解，即可解题． （2）利用圆周角定理，切线的性质，勾股定理和直角三角形性质分别求出，，，，连接，再根据圆周角定理得到，最后利用三角形中线的性质和阴影部分的面积求解，即可解题． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， 是的直径， ， ； （2）解：是的直径，与相切于点 A， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接， ， ， ， 为的中线， ， 阴影部分的面积 ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，直角三角形性质，切线的性质，勾股定理，三角形中线性质，扇形面积公式，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 24．问题提出 如图1，点把线段分割成三条线段，如果以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． （1）如图1，、是线段的勾股分割点，且，，则的长为_____； 问题证明 （2）如图2，中，，折，使得点都与重合，折痕分别为，求证：点是线段的勾股分割点； 迁移应用 （3）如图3，正方形中，分别交与点．若．请直接写出的长． 【答案】（1）或；（2）见解析；（3）或． 【分析】（1）分为直角边和斜边两种情况利用勾股定理求解即可； （2）先求出的度数，由折叠的性质可得，则可求出，在中，由勾股定理得，则， （3）将绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，再证明，则勾股定理得到，设，则，则，解得即可． 【详解】（1）解：当为直角边时，则； 当为斜边时，则； ∴的长为或； （2）证明：∵， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴点E、F是线段的勾股分割点； （3）∵四边形是正方形， ∴ 将绕点A逆时针旋转到的位置，连接， 则，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， 设，则， ∴，解得， 即的长为或． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、解一元二次方程、旋转的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25．抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点是抛物线上一点，点的横坐标为，轴，交直线于点． (1)求，的值； (2)如图，若点在第一象限，当线段长度最大时，求的值； (3)点是轴右侧抛物线上一点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点．设以点，，，为顶点的四边形面积记为． ①直接写出关于的函数关系式； ②直接写出当随的增大而增大时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) ① ②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为，则，，进而可得，再化为顶点式求最值即可； （3）①先表示出，，然后分四种情况讨论：当时，此时在M下方，Q在N上方；当时，点，都在上方；当时，P在M上方，Q在N下方；当时，，都在下方；分别表示出，，而高为2，由此即可建立关于的函数关系式；②由上可得：当时，，则随着的增大而减小；当时，，而对称轴为直线，抛物线开口向下，则当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小；当时，，随着的增大而增大；当时，，而对称轴为直线，抛物线开口向上，，故随着的增大而增大；综合以上，即可得出当随的增大而增大时的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得：； （2）解：由（1）可得：抛物线表达式为， ∴当时，， ∴， 设直线表达式为：， 则：， 解得：， ∴直线表达式为：， 则，， ， ∵，， ∴当时，取得最大值； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴，即：， 当点Q在y轴右侧时，，即：， ∴当时，此时在M下方，Q在N上方，如图， ∴，， 此时高为：， ∴； 当时，点，都在上方，如图， 此时，， 此时高为：， ∴； 当时，P在M上方，Q在N下方，如图， 此时，， 高为：， ∴； 当时，，都在下方，如图， 此时，， 而高为：， ∴； 综上所述，关于的函数关系式为：； ②由上可得：当时，， ∵， ∴随着的增大而减小； 当时，， 而对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小； 当时，， ∵， ∴随着的增大而增大； 当时，， 而对称轴为直线，抛物线开口向上，， ∴随着的增大而增大； 综上所述，当随的增大而增大时的取值范围为：或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合（面积问题），待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质，求一次函数解析式，二次函数的最值等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$