第1章三角形的证明预习检测卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版

第1章三角形的证明预习检测卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在中，，的垂直平分线与直线所成的角为，则等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 2．如图，，，，，则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从C运动到B的过程中，周长的变化规律是（   ） A．先变大后变小 B．不变 C．先变小后变大 D．一直变小 4．如图，某市的三个城镇中心构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心的距离相等，则点应设计在（   ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 5．如图，在三角形中，过点，作，，，交于点，若，，，则线段的长度为   ) A．2 B． C．3 D． 6．如图，在射线上分别截取，连接，在上分别截取，连接…按此规律作下去，若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是 ． 8．如图，在中，，，是的平分线，延长至，使，连结，则的度数为 ． 9．如图，在中，于D，则的长为 ．    10．如图，中，是边上的中线且，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 11．在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是 ． 12．如图，过边长为2的等边的边上点作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则长为 ． 13．如图，在中，是的平分线，M是的中点，交于F，交的延长线于E．则 14．如图，，，于点，若，则的长度为 ．    三、解答题 15．已知：如图，，，．求证：． 16．如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 17．如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A，C重合），连接，过点A作直线的垂线，垂足为点D，连接，在右侧作等边，连接． (1)①请根据题意在图1中补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． ②求证：； (2)延长交于点F，求证：F为的中点． 18．如图，边长为的等边中，点分别是边上的动点（端点除外），点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接，交于点，在点，运动的过程中． (1)求证：； (2)的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化，请说明理由； (3)连接，当点，运动多少秒时，是直角三角形？ 19．如图，在中，，，是的角平分线，于点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究、与之间的数量关系，并说明理由． (3)若点是射线上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．请直接写出，与之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1章三角形的证明预习检测卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C C A C B 1．B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质， 熟知线段垂直平分线上任意一点， 到线段两端点的距离相等是解答此题的关键 ．由于的形状不能确定， 故应分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论 ． 【详解】解： 如图①， 当的中垂线与线段相交时， 则可得， ， ， ， ； 如图②， 当的中垂线与线段的延长线相交时， 则可得， ， ， ， ， ． 底角为或． 故选：B． 2．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在和中 ， ∴. 故选：C. 3．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由“”可证，由全等三角形的性质可得，可得周长，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 则周长为， 在点D从B运动到C的过程中，长不变，长先变小后变大，其中当点D运动到的中点位置时，最小， 在点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是先变小后变大， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定即可求解，掌握垂直平分线的判定是解题的关键． 【详解】解：∵体育中心到城镇中心的距离相等， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 同理，点在线段，的垂直平分线上， ∴点应设计在三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 5．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， 在与中， ， ， ， ， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律．根据等腰三角形两底角相等用表示出，依此类推即可得到结论． 【详解】解：，， ， 同理， ， ， ， ， 故选：B． 7． 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，正确添加常用辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 如图：连接，根据勾股定理计算出，利用基本作图得到垂直平分，所以，设，则，利用勾股定理得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， 由作法得垂直平分， ∴， 设，则， 在中，，解得． ∴的长为． 故答案为：． 8． 【分析】在上截取，连接，证明，得，，则，再证明，然后证明，得即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．3 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，灵活运用等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵于D， ∴． 故答案为：3． 10．/ 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，作E关于的对称点M，连接交于F，连接，过C作于N，根据三线合一定理求出的长和，根据三角形面积公式求出，根据对称性求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案． 【详解】解：作E关于的对称点M，连接交于F，连接，过C作于N， ∵是边上的中线， ∴平分， ∴M在上， 在中，， ∴， ∴， ∵E关于的对称点M， ∴， ∴， 根据垂线段最短得出：， 即， 即的最小值是， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据角平分线得到，根据垂直平分线得到，从而得到，结合得到，即可得到答案； 【详解】解：∵是的角平分线， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．1 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．过做的平行线至于，通过求证和全等，推出，再通过证明是等边三角形和，推出，即可推出，可得，即可推出的长度． 【详解】解：过做的平行线至于， ， 等边， ，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ． 故答案为1． 13．5 【分析】作交的延长线于点N，再根据“角角边”证明，可得，然后根据角平分线的定义和平行线的性质得是等腰三角形，进而得出，最后根据可得答案． 【详解】如图，过点B作交的延长线于点N， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． ∵ ∴， ∴，则， 即． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．/1厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于，根据角平分线的性质求出，，由，得到，，根据直角三角形的性质求出，最后根据等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：过点作于． ，，， ，． ， ，， ，， ． 故答案为：．    15．见解析 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质．运用定理证明直角三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 16．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 17．(1)①见详解，②见详解 (2)见详解 【分析】（1）①根据过已知点作直线的垂线，结合等边三角形的三边相等作三角形即可；②由等边三角形的性质得，，，则，即可利用证，可得； （2）过点C作交的延长线于点G，则，由等边三角形的性质和垂直得，结合平行线的性质得，由（1）可知，，，即可得，进一步有，即可利用证明，有 ，可得结论； 【详解】（1）解：①如图， ②∵等边和等边中， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点G， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， 即F为的中点． 【点睛】本题考查了作图，过已知点作垂线，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 18．(1)证明见解析； (2)的大小是不发生变化，理由见解析； (3)当第秒或第秒时，为直角三角形． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由等边三角形的性质得出，，然后由即可求证； （）由可得，由外角的性质可求； （）分两种情况当时，当时讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 又由条件得， 在和中， ∴， （2）解：的大小是不发生变化，理由， 由（）知：， ∴， ∴； （3）解：设时间为，则，, 当时， ∵， ∴， ∴，得，； 当时， ∵， ∴， ∴， 得，； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． 19．(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可证明； （2）延长使得，连接，根据直角三角形的性质得出，结合对顶角相等和有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等得出，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等推得，即可得出； （3）延长至，使得， 根据直角三角形的性质得出，推得，根据等边三角形的判定和性质得出，，推得，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可推得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示：    在中，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：，理由如下： 如图2所示：延长使得，连接， ∵，，于点， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 延长至，使得， 由（1）得，， ∵于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质、等腰三角形的性质，对顶角相等，角平分线的定义等，根据已知做出正确辅助线是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$