专题03 平方差与完全平方公式的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（湘教版2024）

专题03 平方差与完全平方公式的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用乘法公式进行简便运算 2 类型二、利用乘法公式进行化简求值 4 类型三、通过对完全平方公式变形求值 6 类型四、求完全平方式中的字母系数 9 类型五、利用完全平方式求代数式的最值问题 10 类型六、平方差公式在几何图形中的应用 12 类型七、完全平方公式在几何图形中的应用 16 类型八、与乘法公式有关的新定义型问题 21 压轴能力测评（20题） 23 解题知识必备 知识点01 平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 知识点02 完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 知识点03 平方差和完全平方差区别 　平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 压轴题型讲练 类型一、利用乘法公式进行简便运算 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）用简便算法计算． (1)； (2)． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）简便运算： (1)； (2)． 类型二、利用乘法公式进行化简求值 例题：（24-25九年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·浙江·期中）先化简，再求值：，其中，． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值：，其中，． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 类型三、通过对完全平方公式变形求值 例题：（24-25七年级上·吉林·单元测试）当，时，求下列代数式的值： (1)； (2). 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 2．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 类型四、求完全平方式中的字母系数 例题：已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ． 【变式训练】 1．若是一个完全平方式，则 ． 2．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 类型五、利用完全平方式求代数式的最值问题 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 类型六、平方差公式在几何图形中的应用 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 类型七、完全平方公式在几何图形中的应用 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． (2)若，，求的值为： ． (3)若，求的值为： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： (2)若，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习） 将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如： 若，，求 的值． 解：，， 请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)若，，求的值． (2)将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示方式放置，其中点在边上， 连接，，若，， 求阴影部分面积． 3．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 类型八、与乘法公式有关的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·浙江·期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：． 例如：． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，求的值． 1．（24-25八年级上·全国·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称． (2)若关于的多项式关于对称，求的值． (3)整式关于 对称． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）下列各式中不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·天津红桥·期末）下列计算正确的是 A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）一个正方形的边长为，若边长增加3，则其面积增加了（   ） A．9 B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·山东·期末）化简 ． 7．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）若是一个关于的完全平方式，那么的值是 ． 8．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）如图，两个正方形的边长分别为和（），如果，，那么阴影部分的面积是 ． 9．（24-25八年级上·北京·阶段练习）将4个数a，b，c，d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义．上述记号叫做2阶行列式，若．则x的值为 ． 10．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）我们定义：一个整式能表示成（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完美式”，例如：因为（x、y是整式），所以M为“完美式”．若（x，y是整式，k为常数）为“完美式”，则k的值为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·四川自贡·期末）计算：． 12．（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算： 13．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2) 14．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，． 15．（24-25八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中，． 16．（24-25八年级上·山西晋城·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 17．（24-25八年级上·山西晋城·期中）数学老师在黑板上写了几个算式： 第一个：； 第二个：； 第三个：； 第四个：； …… (1)参照上述算式，请你直接写出第五个和第六个算式． (2)请你用含的代数式表示上述算式的规律（为正整数）． (3)请你证明（2）中的规律是正确的． 18．（24-25八年级上·江西赣州·期末）（1）请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，请利用上述等式求的值； ②若，，求的值． 19．（21-22八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3：当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)判断：多项式是否关于对称？（答题卡填“是”、“否”） (2)多项式关于_____对称； (3)若关于的多项式关于对称，则_____； (4)多项式关于_____对称． 20．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：______；方法2：______； 把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (2)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值； (3)如图，中，，点D为底边上任意一点，，，垂足分别为点E，F，G，连接AD．判断之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平方差与完全平方公式的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用乘法公式进行简便运算 2 类型二、利用乘法公式进行化简求值 4 类型三、通过对完全平方公式变形求值 6 类型四、求完全平方式中的字母系数 9 类型五、利用完全平方式求代数式的最值问题 10 类型六、平方差公式在几何图形中的应用 12 类型七、完全平方公式在几何图形中的应用 16 类型八、与乘法公式有关的新定义型问题 21 压轴能力测评（20题） 23 解题知识必备 知识点01 平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 知识点02 完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 知识点03 平方差和完全平方差区别 　平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 压轴题型讲练 类型一、利用乘法公式进行简便运算 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】（）利用平方差公式进行运算即可； （）根据完全平方公式的逆用即可求解； 本题考查了平方差公式和完全平方公式，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)90000 (2)10000 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟记公式的形式是解题关键． （1）将原式写成，利用完全平方公式即可求解； （2）将原式写成，利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）用简便算法计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，含乘方的有理数混合运算等知识点，能灵活运用平方差公式和完全平方公式进行计算是解题的关键． （1）先变形，再根据平方差公式进行计算即可； （2）先变形，再根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式： （1）直接利用完全平方公式求解即可； （2）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型二、利用乘法公式进行化简求值 例题：（24-25九年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项，最后运算除法，得，再把分别代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵，， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·浙江·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【知识点】整式四则混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式混合运算及化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先利用整式的混合运算法则进行化简，再将，，代入原式即可求解． 【详解】解： ． 当，时， 原式 ． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项等知识．先根据平方差公式，完全平方公式，单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项，然后把x，y的值代入计算． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 类型三、通过对完全平方公式变形求值 例题：（24-25七年级上·吉林·单元测试）当，时，求下列代数式的值： (1)； (2). 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了求代数式的值．求代数式的值时要先把代数式化简，然后把字母的值代入化简后的代数式求值． 首先利用平方差公式化简代数式可得原式，然后再把、的值代入化简后的代数式计算即可； 首先利用完全平方公式化简代数式可得原式，然后再把、的值代入化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式 ； （2）解：， 当，时， 原式． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)26 (2)36 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 2．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)97 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ，， ，， ； 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)12 (2)21 (3)126 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据完全平方公式得出，，根据得出结果即可； （2）根据，，求出，得出，最后代入求值即可； （3）根据，，变形求出的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：． 类型四、求完全平方式中的字母系数 例题：已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ． 【答案】、和 【详解】解：①∵， ∴， ②若是多项式的平方， 则； 故答案为：、和． 【变式训练】 1．若是一个完全平方式，则 ． 【答案】11或/或 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴，解得或， 故答案为：11或． 2．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 【答案】或或 【详解】解：当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 故答案为：或或． 类型五、利用完全平方式求代数式的最值问题 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)最小值为，， 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，再把，整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：，， ， （3）解： ∵，， ∴当，时，有最小值，最小值为， 此时，， 解得：，． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）首先将y用含x的代数式表示出来，再按照题中的方法求最小值即可． 本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，当时，则，， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解： 则当时，则，， 则代数式的最小值是8； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 类型六、平方差公式在几何图形中的应用 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【答案】（1）；（2）①4；②；（3） 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出，代入求值即可； ②可将写成，再利用平方差公式求值； （3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：； （2）①由得，， ∵，， ∴； 故答案为：4； ② ； （3） ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景， （1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式化为，再连续利用平方差公式进行计算即可； 解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：①左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；③公式中的和可以是单项式，也可以是多项式． 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） ． 2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 验证的等式是， 故答案为：B． （2），且， ， 解得：； （3） ． 类型七、完全平方公式在几何图形中的应用 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． (2)若，，求的值为： ． (3)若，求的值为： ． 【答案】(1) (2)41 (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在结合图形中的应用，根据完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练完全平方公式． （1）表示图2的面积，从整体或局部来表示，即可得出等式； （2）直接利用（1）的结论代入即可； （3）根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：观察图2，可得四块小长方形的面积为或， ∴； 故答案为：． （2）解：根据（1）可得， 因为，， 所以． （3）解：∵， ∴ ， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： (2)若，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形： （1）根据大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设，则，利用面积公式和完全平凡公式变形计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积 ∴； （2）由（1）可得， ， ， ， ； （3） ， ， ， ； （4）设，则， ， ， ， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和： ． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习） 将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如： 若，，求 的值． 解：，， 请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)若，，求的值． (2)将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示方式放置，其中点在边上， 连接，，若，， 求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了整式的运算，掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）运用割补法阴影部分的面积为：，根据面积公式结合题意化简整理得，将已知代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2） 3．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式与平方差公式之间的转换． （1）设，，根据题意进行计算即可得； （2）根据题意可得，，，设，，长方形的面积，，即可得出，则即可得出答案． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴； （2）∵正方形的边长为，， ∴，， 设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 类型八、与乘法公式有关的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·浙江·期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：． 例如：． (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，求的值． 【答案】(1)20 (2)6 (3)3或 【知识点】运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，读懂题意，理解新定义运算的运算规定，掌握完全平方公式、平方差公式及变形是解决本题的关键． （1）先按给出的新定义运算，再整体代入求值； （2）先按给出的新定义运算，再整体代入求值； （3）先按给出的新定义运算，再根据已知，利用完全平方公式及变形求出的值，最后代入计算． 【详解】（1）解： ． 当时， 原式； （2） ． ， 即． 原式 ； （3） ． ，， ，即． ． ． ． 或． 当，时， 原式； 当，时， 原式． 1．（24-25八年级上·全国·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称． (2)若关于的多项式关于对称，求的值． (3)整式关于 对称． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可． 【详解】（1）解：， ∴该多项式关于对称， 故答案为：； （2）解：∵， ∵关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴该多项式关于对称， 故答案为：． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）下列各式中不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式：，进行判断即可． 【详解】解：A、可以用平方差公式进行计算，不符合题意； B、可以用平方差公式进行计算，不符合题意； C、可以用平方差公式进行计算，不符合题意； D、，不能用平方差公式进行计算，符合题意； 故选D 2．（24-25八年级上·天津红桥·期末）下列计算正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了乘法公式，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． 根据整式的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D ． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键在于掌握完全平方公式的结构特征．根据完全平方公式中首末两项是和的平方，中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，可得，进而求出的值，同理求出的值，即可解题． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得， 是完全平方式， ， 有， 故选：D． 4．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）一个正方形的边长为，若边长增加3，则其面积增加了（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，先由题意表示出增加后新正方形的边长，分别求出原正方形与新正方形的面积，相减即可得到增加的面积． 【详解】解：根据题意得：， ∴新正方形的面积增加了 故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】先利用整式的混合运算，结合实数满足，将化简为，再由配方法及平方非负性确定，最后由不等式的性质即可得到，从而确定答案． 【详解】解： ， 实数满足， ， ， ， ， ， 综上所述，， 则， 的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法、完全平方公式、平方差公式及整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算法则及配方法恒等变形是解决问题的关键． 二、填空题 6．（24-25九年级上·山东·期末）化简 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算．熟记乘法公式，混合运算顺序和计算法则，是解题关键． 先根据乘法公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）若是一个关于的完全平方式，那么的值是 ． 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了完全平方公式，解一元一次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式得到，求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴或， 故答案为： 或． 8．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）如图，两个正方形的边长分别为和（），如果，，那么阴影部分的面积是 ． 【答案】14 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的变形是关键．阴影部分的面积就是两个三角形的面积之和，用、的代数式表示后，整体代入，即可． 【详解】解：如图，连接， ， ． 故答案为：14． 9．（24-25八年级上·北京·阶段练习）将4个数a，b，c，d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义．上述记号叫做2阶行列式，若．则x的值为 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式，平方差公式和解一元一次方程，根据新定义得到方程，再根据完全平方公式，平方差公式去括号，然后合并同类项，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）我们定义：一个整式能表示成（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完美式”，例如：因为（x、y是整式），所以M为“完美式”．若（x，y是整式，k为常数）为“完美式”，则k的值为 ． 【答案】34 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式的应用．利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完全式”的定义得，从而得到k的值． 【详解】解： ， S为“完全式”， ， ， 故答案为：34． 三、解答题 11．（24-25八年级上·四川自贡·期末）计算：． 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用平方差公式和完全平方公式即可求解； 【详解】解：原式 12．（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，先利用平方差公式展开，再利用完全平方公式展开即可． 【详解】解： ． 13．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟记这两个公式是解题的关键． （1）先把原式变形为，然后根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式先把原式变形为，然后计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 14．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0． 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，根据完全平方公式和平方差公式先去括号，然后合并同类项把原式化简，最后把x、y的值代入计算得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 15．（24-25八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟记相关运算法则即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， ． 16．（24-25八年级上·山西晋城·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)，； (2)，． 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，解决本题的关键是根据乘法公式把各部分展开，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，把字母的值代入化简后的代数式中计算求值． 首先根据完全平方公式和平方差公式把各部分展开，得到：原式，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，可得：原式，把的值代入化简后的代数式计算求值； 首先根据完全平方公式和平方差公式把各部分展开，得到：原式，把括号里面的部分合并同类项，可得：原式，再根据多项式除以单项式的法则计算出结果，把，代入化简后的代数式计算求值． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ． 当，时， 原式． 17．（24-25八年级上·山西晋城·期中）数学老师在黑板上写了几个算式： 第一个：； 第二个：； 第三个：； 第四个：； …… (1)参照上述算式，请你直接写出第五个和第六个算式． (2)请你用含的代数式表示上述算式的规律（为正整数）． (3)请你证明（2）中的规律是正确的． 【答案】(1)第五个：；第六个： (2) (3)见解析 【知识点】数字类规律探索、整式的混合运算 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题目中式子的变化规律，求出相应的式子． （1）根据规律可以直接得到答案； （2）根据题目中的式子的变化规律可以用含的代数式表示上述算式的规律； （3）利用完全平方公式展开证明等式成立即可． 【详解】（1）解：第五个：；第六个：． （2）根据题意可得上述算式的规律为； （3）证明：等式左边等式右边． 正确． 18．（24-25八年级上·江西赣州·期末）（1）请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，请利用上述等式求的值； ②若，，求的值． 【答案】（1），；（2）①；② 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， （1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长方形的面积和解答即可； （2）①由（1）可得，代入即可求解； ②仿照①解答即可． 【详解】解：（1）由图形可得，四个小长方形（阴影部分）的面积之和为，或表示为， ∴得到恒等式为． 故答案为：，； （2）①由（1）可得 ∵，， ∴， ∴． ②∵，又，， ∴， ∴． 19．（21-22八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3：当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)判断：多项式是否关于对称？（答题卡填“是”、“否”） (2)多项式关于_____对称； (3)若关于的多项式关于对称，则_____； (4)多项式关于_____对称． 【答案】(1)是 (2)2 (3) (4) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，能够对多项式进行变形，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）利用完全平方式对多项式进行变形，根据新定义判断即可； （2）利用完全平方式对多项式进行变形，根据新定义判断即可； （3）利用完全平方式对多项式进行变形，得到，根据新定义得到，计算即可求解； （4）利用完全平方式对多项式进行变形，根据新定义判定即可． 【详解】（1）解：， 则多项式关于对称． 故答案为：是； （2）解：， 则多项式关于对称． 故答案为：2； （3）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； 故答案为：； （4）解： ， ∴多项式关于对称． 故答案为：． 20．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：______；方法2：______； 把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (2)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值； (3)如图，中，，点D为底边上任意一点，，，垂足分别为点E，F，G，连接AD．判断之间的数量关系． 【答案】(1)；． (2)①34；②． (3)，理由见解析 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景、通过对完全平方公式变形求值、三角形的面积等知识点，熟练掌握完全平方公式以及转换法是解题的关键． （1）方法1可采用两个正方形的面积和；方法2可以用大正方形减去两个长方形的面积； （2）①由题可得，进而得到，再将整体代入计算即可；②设，，则，，再根据（1）中结论的变形可得，然后代入计算即可； （3）由等角对等边可得，根据，然后进行计算即可解答． 【详解】（1） 解：依题得：方法1：阴影部分面积即为边长为和边长为的正方形面积之和，即； 方法2：阴影部分面积等于边长为的正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即． 故答案为：；． （2）解： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； ②设，，则，， 由（1）得：， ∴ ∴． （3）解：，理由如下： ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$