专题02 整式的乘法的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（湘教版2024）

专题02 整式的乘法的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 2 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 3 类型三、整式的乘法混合运算 5 类型四、整式的乘法中化简求值 7 类型五、(x+p)(x+q)型多项式乘法 9 类型六、整式的乘法与图形面积 11 类型七、多项式乘法中的规律性问题 14 类型八、整式的乘法中的新定义型问题 17 压轴能力测评（18题） 22 解题知识必备 知识点01 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 知识点02 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 知识点03 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 压轴题型讲练 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 例题：（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）若，则的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则 ． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ． 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 例题：（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）若的乘积中不含项，求n的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 2．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 类型三、整式的乘法混合运算 例题：（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 类型四、整式的乘法中化简求值 例题：（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）（1）先化简，再求值： ，其中 （2）先化简，再求值： ，其中，． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）先化简，再求值，其中，． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 3．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）先化简，再求值：，其中 类型五、(x+p)(x+q)型多项式乘法 例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 类型六、整式的乘法与图形面积 例题：（24-25八年级上·吉林松原·期末）在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道． (1)用含a、b的式子表示剩余草坪的面积； (2)若，，求剩余草坪的面积． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，某小区有一块长为，宽为，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米． (1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积S； (2)若，求出此时绿化的总面积S． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)若，，求篮球场的面积． 3．（24-25八年级上·山西·阶段练习）晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南方的晋阳湖水域周边．小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长3a米，宽米，中间修有一条“S”型等宽小路供游客行走，已知小路宽2米，其余区域皆为草坪． (1)求该观景区草坪的面积． (2)当，时，草坪的面积是多少？ 类型七、多项式乘法中的规律性问题 例题：（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ① ② ③ ④ (1)规律探究：(________________)； (2)知识运用： ①________________； ②利用上述规律计算：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 类型八、整式的乘法中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·重庆·期末）定义：对于一组关于x的多项式，，，（a．b，c，d是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式，，，，因为，所以多项式，，，是一组黄金多项式，其黄金因子为． (1)小贤发现多项式，，，是一组黄金多项式，其列式为 请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子． (2)若多项式，，，（n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值． (3)若多项式（m为有理数），，是一组黄金多项式，且黄金因子为5，请直接写出m的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．    请解答下列问题： (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·北京·期中）若，则的值为（   ） A．6 B．10 C．9 D．7 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）若关于的代数式与的乘积结果化简后，既不含项，也不含项，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东广州·期中）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．（24-25八年级上·山东泰安·期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，，由图2所表示的数学等式，则的值为（    ） A．1 B．12 C．13 D．14 二、填空题 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是 ． 7．（24-25七年级上·上海·期中）已知代数式的积中不含x的一次项，则 ． 8．（24-25八年级上·山西临汾·期中）若，，则代数式的值为 ． 9．（24-25七年级上·上海·期中）已知是关于的一次二项式，且的积是二项式，请写出一个满足条件的可以是 ．（只要写一个即可） 10．（2024七年级上·全国·专题练习）一块长方形铁皮，长为，宽为，在它的四个角上都剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．这个无盖盒子的内表面积为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25八年级上·云南文山·期中）先化简再求值：，其中． 13．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 14．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，晴晴家有一块长为米，宽为米的长方形耕地，为响应国家“把饭碗牢牢端在自己手中”的号召，爸爸决定只留一块长为米，宽为米的长方形耕地来种植经济作物，其余耕地用来种植小麦． (1)求种植小麦的耕地面积．（用含a、b的代数式表示，要求化简） (2)当米，米时，求种植小麦的耕地面积． 15．（2023·浙江·一模）若规定符号的意义：． (1)计算：_________． (2)若，，则的值为________． 16．（23-24七年级下·广东清远·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 17．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图是这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． (1)根据上图的规律，写出的展开式． (2)求的展开式共有多少个项． (3)在演算纸上计算一下图中每个展开式的系数之和，结合计算结果所呈现的规律，直接写出展开式中各项系数的和是多少． 18．（24-25八年级上·四川内江·期末）[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式的乘法的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 2 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 3 类型三、整式的乘法混合运算 5 类型四、整式的乘法中化简求值 7 类型五、(x+p)(x+q)型多项式乘法 9 类型六、整式的乘法与图形面积 11 类型七、多项式乘法中的规律性问题 14 类型八、整式的乘法中的新定义型问题 17 压轴能力测评（18题） 22 解题知识必备 知识点01 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 知识点02 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 知识点03 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 压轴题型讲练 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 例题：（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用单项式乘以多项式去括号后即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则 ． 【答案】1 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ． 【答案】 1 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查单项式乘以多项式，整式加减运算中的恒等问题，将等式左边的多项式去括号，合并同类项后，根据对应项的系数相同，进行求解即可． 【详解】恒成立， ． 故答案为：1，． 类型二、已知多项式乘积不含某项求字母的值 例题：（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）若的乘积中不含项，求n的值． 【答案】4 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．先根据整式的乘法运算算出结果，然后令项前面的系数为零，求出n的值． 【详解】解： ， ∵乘积中不含项， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)12 【知识点】积的乘方的逆用、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，积的乘方的逆运算． （1）将展开，根据结果不含与项，即含与项的系数为0进行求解即可； （2）将（1）所求值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 的积中不含与项， ， ； （2）解：∵，， ∴ ． 2．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 【答案】(1)， (2)35 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项，常数项是， ∴，， 解得，； （2）原式 ， ∵，， ∴原式 ． 类型三、整式的乘法混合运算 例题：（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式除以单项式、整式四则混合运算 【分析】此题考查了整式的运算． （1）利用多项式除以单项式的法则计算即可； （2）利用单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算、计算多项式乘多项式 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． （1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解； （2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解； 【详解】（1）解： ； （2） 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查整式乘法的混合运算，熟记单项式乘多项式，合并同类项法则是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （2）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （4）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 类型四、整式的乘法中化简求值 例题：（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）（1）先化简，再求值： ，其中 （2）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】（1），；（2），； 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、整式四则混合运算 【分析】本题考查整式的化简求值： （1）先根据乘法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案； （2）先根据乘除法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案； 【详解】解：（1）原式 ， 当时， 原式 ； （2）原式 ， 当，时， ∴原式， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）先化简，再求值，其中，． 【答案】；6 【知识点】已知字母的值，化简求值、整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式乘法混合运算法则进行化简，然后再代入数值进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时， ． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【知识点】已知字母的值，化简求值、整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据多项式乘法运算法则进行化简计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 3．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式四则混合运算、计算单项式乘多项式及求值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，先根据多项式乘以多项式法则和单项式乘以多项式法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 类型五、(x+p)(x+q)型多项式乘法 例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察题目中的四个式子发现规律：二次项系数都是1，一次项系数为左边括号中两个常数的和，常数项为左边括号中两个常数的积，据此求解即可； （2）利用（1）的猜想展开左边，再根据一次项系数和常数项列方程，最后根据a，b，m均为整数求解即可． 【详解】（1）解：根据上面的计算，可发现：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∵a，b，m均为整数， ∴， ∴或或或， ∴或， ∴m的值为或． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)n的值为 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及常数项，发现规律得猜想； （2）利用（1）的猜想先求出，再根据得关于m、n的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 根据上面的计算，可发现： 故答案为：；； （2）解：由（1）的规律知：， ∵， ∴． ∴，． ∴． 答：n的值为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式法则发现规律得到猜想是解决本题的关键． 类型六、整式的乘法与图形面积 例题：（24-25八年级上·吉林松原·期末）在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道． (1)用含a、b的式子表示剩余草坪的面积； (2)若，，求剩余草坪的面积． 【答案】(1)平方米 (2)260平方米 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用； （1）根据图形利用平移的性质可得剩余草坪的面积为宽为米，长为米的长方形面积，根据多项式乘以多项式，即可求解； （2）将，代入（1）中结果，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：依题意，剩余草坪的面积为 答：剩余草坪的面积为平方米． （2）当，时，原式， ∴剩余草坪的面积是260平方米． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，某小区有一块长为，宽为，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米． (1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积S； (2)若，求出此时绿化的总面积S． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式加减运算的应用，代数式求值．熟练掌握整式加减运算的应用，代数式求值是解题的关键． （1）由题意得：，计算求解即可； （2）将，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：当时，， ∴当时，绿化的总面积为． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)若，，求篮球场的面积． 【答案】(1)安装健身器材的区域面积为平方米； (2)篮球场的面积为420平方米． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，代数式表示式，求代数式的值，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据“安装健身器材的区域面积长方形场地面积篮球场面积”列式计算，即可解题； （2）根据长方形面积列出代数式，再将，代入式子中计算，即可解题． 【详解】（1）解：安装健身器材的区域面积为： 平方米； （2）解：由题知，篮球场的面积为：， 当，时， 篮球场的面积为：（平方米）， 答：篮球场的面积为420平方米． 3．（24-25八年级上·山西·阶段练习）晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南方的晋阳湖水域周边．小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长3a米，宽米，中间修有一条“S”型等宽小路供游客行走，已知小路宽2米，其余区域皆为草坪． (1)求该观景区草坪的面积． (2)当，时，草坪的面积是多少？ 【答案】(1) (2)草坪的面积是4400平方米． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值． （1）根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）把，代入（1）中的代数式，即可得到结论． 【详解】（1）解：该观景区草坪的面积平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：草坪的面积是4400平方米． 类型七、多项式乘法中的规律性问题 例题：（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ① ② ③ ④ (1)规律探究：(________________)； (2)知识运用： ①________________； ②利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了整式的乘法，有理数的乘方等知识点， (1)根据探索材料找到规律直接写出答案； (2)把代入(1)中的等式进行求值即可；把代入(1)中式子计算即可； 熟练掌握相应的运算法则，找到规律是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵① ② ③ ④ ， ∴ 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ， 故答案为： 把代入中得， ， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 【答案】(1)①；② (2)①；②；③ 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了多项式与多项式相乘，以及规律的探索，解题的关键是总结所给式子的特点，从而进行解题． （1）①直接利用题中的结论代入数值计算；②中，把按升幂进行排列，把化为，然后套用规律进行解答，需要处理好符号； （2）仿照所给等式的规律即可直接写出答案． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：①； ②； 同理可知： ③ 故答案为∶①；②；③． 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 【答案】(1)6项，； (2)共有（）项，系数和为； (3)1； (4)三． 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了整式乘法运算，多项式乘多项式规律探究，学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键． （1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）的展开式共有项，写出前几项系数，得出一般规律即可； （3）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （4）根据规律展开后看最后一项即可． 【详解】（1）解：根据上面规律，的展开式共有6项， 则； （2）解：的展开式共有项， 系数和为， 系数和为， 系数和为， 故系数和为； （3）解：根据规律可知： ； （4）解：的最后一项是1， 则的余数是1， 若今天是星期二，经过天后是星期三． 类型八、整式的乘法中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·重庆·期末）定义：对于一组关于x的多项式，，，（a．b，c，d是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式，，，，因为，所以多项式，，，是一组黄金多项式，其黄金因子为． (1)小贤发现多项式，，，是一组黄金多项式，其列式为 请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子． (2)若多项式，，，（n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值． (3)若多项式（m为有理数），，是一组黄金多项式，且黄金因子为5，请直接写出m的值． 【答案】(1)12 (2)的值为或8或2 (3)的值为 【知识点】新定义下的实数运算、计算多项式乘多项式、多项式乘多项式——化简求值 【分析】（1）根据整式的四则混合运算法则计算，根据“黄金因子”的定义即可解答； （2）分三种情况，分别计算①②；③，根据“黄金多项式”的定义即可解答； （3）分三种情况，分别计算①，②，③，根据这是一组黄金多项式，且黄金因子为4，进行判断即可解答． 本题考查定义新概念，整式的四则混合运算，读懂题意，理解“黄金多项式”，“黄金因子”等定义是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 这组黄金多项式的黄金因子是； （2）解：若多项式，，，是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况， ① ． 这是一组黄金多项式， ， ； ② ． 这是一组黄金多项式， ， ； ③ ． 这是一组黄金多项式， ， ， 综上所述，的值为或8或2； （3）解：① ， 这是一组黄金多项式， ， ， 黄金因子为，不合题意，舍去； ② ， 这是一组黄金多项式， ， ， 黄金因子为，不合题意，舍去； ③ ， 这是一组黄金多项式， ， ， 黄金因子为，符合题意， 综上所述，的值为． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂除法的逆用 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．    请解答下列问题： (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)24 【知识点】新定义下的实数运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解： ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解： ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴ ． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·北京·期中）若，则的值为（   ） A．6 B．10 C．9 D．7 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查同底数的乘法、解一元一次方程，代数式求值，先根据同底数的乘法法则可得，求得，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选D． 3．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）若关于的代数式与的乘积结果化简后，既不含项，也不含项，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了利用多项式的不含某项问题求字母的值，解答的关键是先按照多项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令不含项的系数等于零，列方程组求解即可． 把与的乘积结果化简后令项、x项的系数为0求解即可． 【详解】 ∵结果化简后令项、x项， ∴， ∴． 故选A． 4．（24-25八年级上·广东广州·期中）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式的乘法运算.根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案. 【详解】解：∵①； ②； ③； ④， ……， ∴，，． ∴ ， 因为，，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为2，所以的末位数字为1， 即的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 5．（24-25八年级上·山东泰安·期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，，由图2所表示的数学等式，则的值为（    ） A．1 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘以单项式与图形的等面积，根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式，即可求解． 【详解】解：由图2可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是 ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，以及同类项的定义．根据同类项的定义，先求出m、n的值，然后计算单项式乘以单项式即可． 【详解】解：因为单项式与是同类项， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海·期中）已知代数式的积中不含x的一次项，则 ． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查整式的乘法，先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的一次项系数为0求解即可． 【详解】解： ， ∵该代数式的积中不含x的一次项， ∴，解得， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·山西临汾·期中）若，，则代数式的值为 ． 【答案】3 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】此题考查了多项式乘多项式以及代数求值，首先根据多项式乘多项式法则化简，然后整体代数求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：3． 9．（24-25七年级上·上海·期中）已知是关于的一次二项式，且的积是二项式，请写出一个满足条件的可以是 ．（只要写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘以多项式，设，利用多项式乘以多项式的法则，进行计算，根据积为二项式，得到的关系，写出一个满足题意的多项式即可． 【详解】解：设（）， 则：， ∵积为二项式，， ∴， ∴可以为1，可以为2； ∴可以是； 故答案为：（答案不唯一） 10．（2024七年级上·全国·专题练习）一块长方形铁皮，长为，宽为，在它的四个角上都剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．这个无盖盒子的内表面积为 ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算的应用，根据题意列式，再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 三、解答题 11．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题主要考查了整式的乘除，解决本题的关键是根据整式的乘法法则和除法法则进行计算． 首先根据积的乘方的法则计算可得，再根据单项式乘以单项式的法则计算可得结果； 根据单项式乘以多项式的法则，把单项式与多项式里的每一项分别相乘可得结果； 根据多项式除以单项式的法则计算即可； 根据多项式乘以多项式的法则，用一个多项式里的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（24-25八年级上·云南文山·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及多项式乘以多项式、多项式除以单项式及整式加减混合运算等知识，先由多项式乘以多项式、多项式除以单项式分别计算，再去括号，最后合并同类项即可得到化简结果，再将代入求解即可得到答案．熟练掌握整式加减乘除混合混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 13．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)，6 (2)， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法，多形式与多项式的乘法－化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据单项式与单项式的乘法法则化简，再把代入计算； （2）先根据多形式与多项式的乘法法则化简，再把代入计算． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解： ， 当时，原式． 14．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，晴晴家有一块长为米，宽为米的长方形耕地，为响应国家“把饭碗牢牢端在自己手中”的号召，爸爸决定只留一块长为米，宽为米的长方形耕地来种植经济作物，其余耕地用来种植小麦． (1)求种植小麦的耕地面积．（用含a、b的代数式表示，要求化简） (2)当米，米时，求种植小麦的耕地面积． 【答案】(1)种植小麦的耕地面积为平方米 (2)种植小麦的耕地面积平方米 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，代数式求值，含乘方的有理数混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知退耕还林的面积为平方米，然后把米，米代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 平方米 （2）解：当，时， 平方米 答：退耕还林的面积平方米． 15．（2023·浙江·一模）若规定符号的意义：． (1)计算：_________． (2)若，，则的值为________． 【答案】(1)5 (2)8或15 【知识点】整式乘法混合运算、计算单项式乘多项式及求值 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）由题意求得或，根据新定义化简所求式子后整体代入即可得解． 【详解】（1）根据题中的新定义得， ； （2）∵，， ∴， 得， ∴或， 当时，， 当时． ∴的值为8或15． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 16．（23-24七年级下·广东清远·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【答案】(1)，，，， (2)①；② (3)19，11，9，，， 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、多项式乘法中的规律性问题 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则即可得，然后总结规律即可； （2）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得； （3）运用（1）的规律即可得． 【详解】（1）；； ；； ∴； （2）①； ②； （3）∵ ∴， ∵均为整数， ∴当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，，，． 17．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图是这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等． (1)根据上图的规律，写出的展开式． (2)求的展开式共有多少个项． (3)在演算纸上计算一下图中每个展开式的系数之和，结合计算结果所呈现的规律，直接写出展开式中各项系数的和是多少． 【答案】(1)； (2)有个项； (3)． 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查多项式乘法中的规律探究： （1）根据图中规律，写出的展开式即可； （2）根据前三个展开式中的项数，得出规律，进行作答即可； （3）求出前几个的系数和，找到规律，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ； （2）解：∵，有项； ，有项； ，有项； ∴的展开式中有个项； （3）∵，展开式的系数和为：； ，展开式的系数和为：； ，展开式的系数和为：； ∴，展开式的系数和为：． 18．（24-25八年级上·四川内江·期末）[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】整式加减中的无关型问题、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$