专题3 整式乘法与几何问题综合 暑假专项练习 2025--2026学年湘教版七年级数学下册

**基本信息** 以“数形结合”和“等量关系建模”为核心方法，系统整合整式乘法与几何面积、实际问题的应用，强化知识迁移与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何图形面积问题|10题（含组合图形、正方形/长方形组合等）|数形结合，分割求和/总面积减空白，整式乘法与边长对应|整式乘法法则→几何面积公式→复杂图形面积计算| |实际问题建模|3题（含绿化、公园规划等）|找等量关系，提取关键信息列代数式，乘法公式化简|整式乘法法则→实际情境抽象→代数式表达与化简|

2026年七年级数学暑假作业（湘教版） 专题3整式乘法与几何问题综合 一、 核心考点与解题策略 本专题聚焦湘教版七年级下册整式乘法在几何图形及实际问题中的应用，旨在培养学生的数学建模与知识迁移能力。 1. 几何图形面积问题：核心策略是“数形结合”。熟练掌握长方形、正方形面积公式（面积=长×宽），将代数式中的整式乘法与几何图形的边长相对应。对于复杂的组合图形或挖空图形，常采用“总面积减去空白面积”或“分割求和”的方法列式。 2. 实际问题建模：核心策略是“找等量关系”。从实际情境（如种植面积、工程规划）中提取长、宽等关键信息，列出含有字母的代数式，最后利用整式乘法法则（特别是乘法公式）进行化简计算。 二、 巩固训练 1．如图，将三张大小一样的正方形纸片放入一个大长方形中，其中两个正方形重叠部分．若已知小长方形①、②的面积差，则可求出下列哪个图形的面积？（     ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 【答案】B 【分析】设三个正方形的边长为，，长方形的长为，则宽为，表示出相关线段的长度，得出，即可得出结论． 【详解】解：设三个正方形的边长为，，长方形的长为，则宽为，小长方形①和小长方形②的面积分别为， ∴小长方形①的长为，宽为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴可求出四边形的面积． 2．如图，点是线段上一点，在的上方分别以，为边长作正方形和正方形，点是的中点，连接，，，．若，则四边形的面积等于（     ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】D 【分析】设，，且，根据点是的中点，得出，根据，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：设，，且， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴ ． 3．2025年中国国际服务贸易交易会展示了新型模块化建筑材料，其中正方形模块A类（边长为）、B类（边长为）和长方形模块C类（长宽）可组合成不同规格的墙体．如图，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据题意，大长方形的面积等于长与宽的乘积，同时也等于所有小模块面积之和．通过多项式乘法展开长与宽的积，其中项的系数即为C类卡片的张数． 【详解】解：大长方形的长为，宽为， 大长方形的面积为： ， A类卡片面积为，B类卡片面积为，C类卡片面积为， 需要A类卡片6张，B类卡片3张，C类卡片11张． 4．如图，有一块长为，宽为的长方形土地，规划部门计划在中间长方形部分修建一个喷泉广场，将其余部分都留出宽为的绿化带，则绿化带的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由大的长方形的面积减去喷泉广场的面积列式计算即可. 【详解】解：根据题意，绿化带的面积为 . 5．甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】设甲，乙两个正方形的边长分别为a，b，根据梯形面积公式可得，由此求出，结合求出的值，进而求出，最后利用平方差公式可得． 【详解】解：设甲，乙两个正方形的边长分别为a，b， 甲乙两个正方形的面积和为10， ， 图1中阴影部分面积为8， ， ， ， ， ，， ，即， ， ， ， 即图2中阴影部分面积为8． 6．如图1是七年级两个社团的手工创作展示区，图2是从手工创作展示区抽象后的几何模型：两块边长分别为、的正方形，其中重叠部分为公共通道，阴影部分、分别表示两个社团的手工创作展示区面积．若，，则（     ） A．16 B．15 C．14 D．12 【答案】D 【分析】先根据，，利用完全平方公式求出的值，得到，根据题意，，求得，最后代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ∴， 根据题意，得，， ． 7．如图，在直角三角形中，，以直角的两条直角边向外作正方形，、和分别是两个正方形和的面积．已知，，则等于（     ） A．10 B．20 C．40 D．60 【答案】D 【分析】根据已知条件得出，，再由完全平方公式得出，然后，代入相关数据，由，得出即可得出答案． 【详解】解：∵在直角三角形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么需要准备的A，B，C三种卡片共______张． 【答案】 【分析】求出三种卡片的面积，利用多项式乘多项式求出大长方形的面积，即可得出各卡片的张数． 【详解】解：A，B，C三种卡片的面积分别为， 大长方形的面积为， ∴需要准备的A，B，C三种卡片的张数为． 9．如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为5的小正方形（正方形和正方形），3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为______． 【答案】77 【分析】设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积. 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为. 10．如图，四边形是长方形，四边形是面积为24的正方形，点M、N分别在、上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为5，则图中阴影部分的总面积为___________． 【答案】9.5 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，，，，再根据图中阴影部分的总面积为，计算即可得出结果． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，， ∵四边形是面积为24的正方形，正方形的面积为5， ∴，， ∴图中阴影部分的总面积为 ． 11．按要求完成下列各题 (1)如图1，由两个等宽的长方形和拼接而成的大长方形，在计算大长方形的面积时，小明采用了两种不同的方法： 方法一：大长方形的面积等于其长乘以宽，即________； 方法二：大长方形的面积等于两个小长方形的面积和，即________； 因为大长方形的面积相同，可得等量关系为________； (2)请你运用小明的思路方法，探究图2中包含的等量关系． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）分别用整体长×宽、两个小长方形面积相加两种方式表示总面积，面积相等得到单项式乘多项式的等式； （2）同理，先用整体长宽乘积表示大长方形面积，再拆成四个长方形面积相加整理化简，两种面积表达式相等，得到多项式乘多项式展开恒等式． 【详解】（1）方法一：大长方形长为，宽为，面积； 方法二：长方形面积，长方形面积，总面积 ； ∴等量关系： （2）由图可知，大长方形由四部分组成，设其面积为，则 ， 又大长方形的长为，宽为，则， 由此可得等量关系为：． 12．如图，有一块长、宽的长方形地块．现计划在其中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．（） (1)用含的代数式表示草坪的面积．（结果需化简） (2)已知草坪的单价为每平方米20元，当时，求购买草坪所需要的总费用． 【答案】(1) (2)12500元 【分析】（1）根据长方形面积公式求出长方形地块和塑像的面积，再通过两者面积的关系求出草坪的面积， （2）将a、b的值代入草坪面积的表达式中求出具体数值即可． 【详解】（1）解： ， 答：草坪面积为； （2）解：当，时， ， （元） 答：购买草坪所需要的总费用为12500元． 13．为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 【答案】(1)游戏娱乐区的面积；文化体验区的面积；绿化休息区的面积 (2)元 【分析】（1）根据题干中的图形列式计算即可； （2）结合（1）中所求结果列式计算即可． 【详解】（1）解：游戏娱乐区的面积 ． 文化体验区的面积 ． 绿化休息区的面积． （2）解：处理这片儿童活动区域的地面所需的费用 元． 14．如图，在数学兴趣活动中，同学将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为P，Q，判断P与Q的大小并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】先根据多项式乘多项式求出，根据甲、乙两个长方形周长相等，求出乙长方形的另外一条边长，根据多项式乘多项式再求出，求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意得 ， 图乙中长方形的长为： ， ， ． 15．综合与实践 【阅读材料】 著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”．利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． (1)在学习“整式的乘法”时，图1是一个边长为的正方形，分成四个部分，分格线均与正方形或长方形的边平行．根据面积相等可得等式______． 如图2，模仿图1，可得等式______． 【进一步探究】 (2)如图3，可得等式______． 【直接应用】 (3)当时，，求和的值． 【答案】(1)； (2) (3)20；80 【分析】（1）结合图形和正方形面积求解； （2）结合图形和正方形面积求解； （3）把和代入（2）中式子可求出，再把整理为，再代入和，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：∵ 把和代入得： ， ∴， ∵和， ∴原式． 16．小明和小亮玩纸片拼图游戏，发现利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如，图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为____________； (2)请你利用图1中的三种材料各若干拼出一个正方形来解释，画出你拼出的正方形示意图． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用不同的方法表示图3的面积，即可得出等式； （2）将边长为a的正方形1张，长为b，宽为a的长方形纸片2张，和边长为b的正方形纸片1张，拼成边长为的正方形即可． 【详解】（1）解：图3的面积可表示为：，也可以表示为：， 则 （2）解：，将边长为a的正方形1张，长为b，宽为a的长方形纸片2张，和边长为b的正方形纸片1张，拼成边长为的正方形即可， 17．如图1，现有一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线将长方形用剪刀平均分成四块大小、形状完全相同的小长方形，将这四块小长方形拼成一个正方形（如图2），四张小长方形卡片之间不重叠、无缝隙． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系是__________； (2)根据（1）中的结论，若，求的值． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）由图1和图2可得阴影部分面积即为边长的正方形面积，等于边长为的正方形面积减去四个长为a，宽为b的长方形面积； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：由图1和图2可得阴影部分面积即为边长的正方形面积，等于边长为的正方形面积减去四个长为a，宽为b的长方形面积， ∴． （2）解：由（1）可得，， ∵，， ∴． 18． 阅读下列材料：若满足，求的值． 解：设，则， 所以．请根据材料解答下列问题： (1)若满足，求的值． (2)如图，在长方形中，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形． ①用含的代数式表示： ， ； ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由阅读材料中的解法求解即可； （2）①根据题意，结合长方形性质即可用含代数式表示出；②由题意得到，再由阴影部分的面积为，由阅读材料中的解法求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ， ， ， ，即的值为； （2）解：①， 在长方形中，，， ； ②∵长方形的面积为， ， ， 根据题意，可知阴影部分的面积为， 设， 则， ， 则图中阴影部分的面积和为． 19．如图，4个长为a、宽为b的小长方形围成了一个大正方形，请用不同方法计算阴影部分的面积．你能得到怎样的等式？请验证它的正确性． 【答案】解：图中阴影部分的面积为四个长方形的面积：即， 图中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积：即， ∴； 验证如下： ． 【详解】略 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年七年级数学暑假作业（湘教版） 专题3整式乘法与几何问题综合 一、 核心考点与解题策略 本专题聚焦湘教版七年级下册整式乘法在几何图形及实际问题中的应用，旨在培养学生的数学建模与知识迁移能力。 1. 几何图形面积问题：核心策略是“数形结合”。熟练掌握长方形、正方形面积公式（面积=长×宽），将代数式中的整式乘法与几何图形的边长相对应。对于复杂的组合图形或挖空图形，常采用“总面积减去空白面积”或“分割求和”的方法列式。 2. 实际问题建模：核心策略是“找等量关系”。从实际情境（如种植面积、工程规划）中提取长、宽等关键信息，列出含有字母的代数式，最后利用整式乘法法则（特别是乘法公式）进行化简计算。 二、 巩固训练 1．如图，将三张大小一样的正方形纸片放入一个大长方形中，其中两个正方形重叠部分．若已知小长方形①、②的面积差，则可求出下列哪个图形的面积？（     ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 2．如图，点是线段上一点，在的上方分别以，为边长作正方形和正方形，点是的中点，连接，，，．若，则四边形的面积等于（     ） A．2 B．3 C．6 D．12 3．2025年中国国际服务贸易交易会展示了新型模块化建筑材料，其中正方形模块A类（边长为）、B类（边长为）和长方形模块C类（长宽）可组合成不同规格的墙体．如图，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．如图，有一块长为，宽为的长方形土地，规划部门计划在中间长方形部分修建一个喷泉广场，将其余部分都留出宽为的绿化带，则绿化带的面积为（     ） A． B． C． D． 5．甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 6．如图1是七年级两个社团的手工创作展示区，图2是从手工创作展示区抽象后的几何模型：两块边长分别为、的正方形，其中重叠部分为公共通道，阴影部分、分别表示两个社团的手工创作展示区面积．若，，则（     ） A．16 B．15 C．14 D．12 7．如图，在直角三角形中，，以直角的两条直角边向外作正方形，、和分别是两个正方形和的面积．已知，，则等于（     ） A．10 B．20 C．40 D．60 8．某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么需要准备的A，B，C三种卡片共______张． 9．如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为5的小正方形（正方形和正方形），3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为______． 10．如图，四边形是长方形，四边形是面积为24的正方形，点M、N分别在、上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为5，则图中阴影部分的总面积为___________． 11．按要求完成下列各题 (1)如图1，由两个等宽的长方形和拼接而成的大长方形，在计算大长方形的面积时，小明采用了两种不同的方法： 方法一：大长方形的面积等于其长乘以宽，即________； 方法二：大长方形的面积等于两个小长方形的面积和，即________； 因为大长方形的面积相同，可得等量关系为________； (2)请你运用小明的思路方法，探究图2中包含的等量关系． 12．如图，有一块长、宽的长方形地块．现计划在其中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．（） (1)用含的代数式表示草坪的面积．（结果需化简） (2)已知草坪的单价为每平方米20元，当时，求购买草坪所需要的总费用． 13．为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 14．如图，在数学兴趣活动中，同学将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为P，Q，判断P与Q的大小并说明理由． 15．综合与实践 【阅读材料】 著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”．利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． (1)在学习“整式的乘法”时，图1是一个边长为的正方形，分成四个部分，分格线均与正方形或长方形的边平行．根据面积相等可得等式______． 如图2，模仿图1，可得等式______． 【进一步探究】 (2)如图3，可得等式______． 【直接应用】 (3)当时，，求和的值． 16．小明和小亮玩纸片拼图游戏，发现利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如，图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为____________； (2)请你利用图1中的三种材料各若干拼出一个正方形来解释，画出你拼出的正方形示意图． 17．如图1，现有一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线将长方形用剪刀平均分成四块大小、形状完全相同的小长方形，将这四块小长方形拼成一个正方形（如图2），四张小长方形卡片之间不重叠、无缝隙． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系是__________； (2)根据（1）中的结论，若，求的值． 18． 阅读下列材料：若满足，求的值． 解：设，则， 所以．请根据材料解答下列问题： (1)若满足，求的值． (2)如图，在长方形中，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形． ①用含的代数式表示： ， ； ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 19．如图，4个长为a、宽为b的小长方形围成了一个大正方形，请用不同方法计算阴影部分的面积．你能得到怎样的等式？请验证它的正确性． 学科网（北京）股份有限公司 $