1.1 整式乘法 暑假巩固练习 2025--2026学年湘教版七年级数学下册

**基本信息** 以“基础巩固-进阶挑战-核心突破-思维拓展-综合应用”为逻辑主线，系统整合整式乘法知识，提炼逆用幂的运算、整体代入等方法，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂的运算与整式乘法基础|5题/符号与指数运算|法则直接应用|从幂的基本运算到整式乘法，构建运算基础| |幂的运算逆用与整体代入|6题/已知幂求代数式值|逆用幂的运算法则、整体代入|深化运算可逆性，建立代数变形思维| |多项式乘法与系数问题|6题/不含某项求系数|多项式展开对比系数|连接乘法法则与方程思想，强化推理意识| |规律探索与数形结合|3题/杨辉三角、面积拼图|规律归纳、几何代数互化|通过杨辉三角、面积模型培养抽象能力| |综合应用与速算技巧|3题/超级计算机运算、速算规律|实际问题建模、新定义运算|运用模型意识解决跨情境问题，提升应用能力|

2026年七年级数学暑假作业（湘教版） 1.1整式乘法基础巩固练习 学校:___________姓名：___________班级：___________ 复习寄语：暑假是查漏补缺、夯实基础的好时机。这份复习指南将整式乘法的核心知识点进行了梳理，去除了繁琐的标准化考试格式，希望同学们能在轻松的氛围中巩固所学，做到举一反三。 一、 幂的运算与整式乘法基础 复习提示：这部分主要考察同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及单项式乘多项式等基础法则。做题时要注意符号的变化和指数的运算规则。 【基础巩固】 1. 下面运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算 __________。 3. 计算： __________。 4. 计算： (1) (2) 5. 先化简，再求值： ，其中 。 【思路点拨】 · 第1题：A选项同底数幂相乘，底数不变指数相加，应为 ；B选项合并同类项，系数相加字母部分不变，应为 ；C选项单项式乘法，系数相乘，同底数幂相乘，计算正确；D选项积的乘方，每个因式都要乘方，应为 。故选C。 · 第2题：先算括号内的乘法 ，再算乘方 。 · 第3题：先算积的乘方得 ，再算同底数幂乘法得 ，最后合并同类项得 。 · 第4题：(1) 先算单项式乘单项式和积的乘方，再算减法，结果为 ；(2) 将系数相乘，同底数幂相乘，结果为 。 · 第5题：展开后合并同类项，化简结果为 ，代入 得 10。 二、 幂的运算逆用与整体代入思想 复习提示：遇到已知幂的值求代数式的值时，要学会“逆用”幂的运算法则，或者将已知条件作为一个整体代入，避免盲目展开。 【进阶挑战】 1. 已知 ，则 的值为（ ） A. 8 B. 16 C. 6 D. 4 2. 已知 ，则 的值是（ ） A. 2048 B. 60 C. 120 D. 360 3. 若 ，则 的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 4. 计算： __________。 5. 已知 ，则 的值为 __________。 6. 已知 ，则代数式 的值为 __________。 【思路点拨】 · 第1题：将 化为 。所求式子 。故选A。 · 第2题： 。故选D。 · 第3题：由 得 ；由 得 ，即 。所以 。故选C。 · 第4题：将高次幂拆分，原式 。 · 第5题：由已知得 。将所求式子化为同底数幂： 。 · 第6题：将所求式子展开得 。因为 ，直接整体代入得 。 三、 多项式乘法与系数问题 复习提示：多项式相乘时，要注意不漏乘、不重复。遇到“不含某一项”或“求特定系数”的问题，通常是将式子展开后，令该项的系数为0或进行对应项的比较。 【核心突破】 1. 若 与 的乘积中不含 的一次项，则 的值为（ ） A. 1 B. 0 C. -1 D. -2 2. 在学习完《多项式乘以多项式》后，思考：若 ，则 __________。 3. 若 ，其中 为常数，则 __________。 4. 若 与 的乘积中，不含 的一次项，则常数 的值是 __________。 5. 若 ，则 表示的单项式是（ ） A. B. C. D. 6. 若 ，那么 （ ） A. B. C. D. 【思路点拨】 · 第1题：展开得 。因为不含一次项，所以 ，解得 。故选A。 · 第2题：左边展开为 。对比右边系数，得 ，解得 。 · 第3题：右边展开为 。对比左边得 且 。解得 ，所以 。 · 第4题：两绝对值相乘即多项式相乘，一次项由 和 组成，系数为 。令 ，得 。 · 第5题：利用积的乘方逆运算， ，所以 。故选B。 · 第6题：根据“被除数 = 除数 × 商”，将右边乘以 得到 。再与左边对比，得出 。故选C。 四、 规律探索与数形结合 复习提示：暑假复习中，不要只盯着计算，还要多关注数学规律和图形背后的代数意义。杨辉三角、面积拼图等都是很好的载体。 【思维拓展】 1. 杨辉三角规律：我国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了“杨辉三角”，它给出了 展开式的系数规律。根据规律，在 的展开式中 的系数为（ ） A. 1 B. 5 C. 10 D. 15 2. 贾宪三角形应用：如图所示的“贾宪三角形”揭示了 的展开规律： (1) 观察规律， 展开式中第三项的系数 的值为 __________； (2) 写出 的展开式：____________________； (3) 利用规律计算： 。 3. 几何拼图与代数：小明制作了A类（边长为 的正方形）、B类（边长为 的正方形）、C类（长为 宽为 的长方形）卡片各20张。要拼出一个长为 ，宽为 的大长方形，则他准备的 C 类卡片（ ） A. 够用，剩余 2 张 B. 不够用，还缺 2 张 C. 够用，剩余 3 张 D. 不够用，还缺 3 张 【思路点拨】 · 第1题：根据杨辉三角规律，下一行的数等于上一行相邻两数之和。 的系数依次为 1, 5, 10, 10, 5, 1。 是第四项，系数为 10。故选C。 · 第2题：(1) 根据规律推导 ，所以 ；(2) 同理写出 ；(3) 观察所求式子，恰好是 时的 展开式，即 。 · 第3题：大长方形面积为 。其中 的系数 17 代表需要 17 张 C 类卡片。准备了 20 张，所以够用且剩余 3 张。故选C。 五、 综合应用与速算技巧 复习提示：数学来源于生活，也服务于生活。将整式乘法应用于实际计算和探究题中，能有效提升我们的数学素养。 【学以致用】 1. 超级计算机运算：“神威·太湖之光”超级计算机的持续计算能力为 次/s。该计算机按此能力运算 s 可做多少次运算？ 2. 两位数速算规律：若两个两位数的十位数字相同，且个位数字之和为 10，则这两个数相乘时，可将十位数字与比它大 1 的数相乘，再乘 100，最后加上两个个位数字的积。例如： 。 (1) 参照上述方法，写出 的速算过程与结果； (2) 设两个两位数的十位数字为 ，个位数字分别为 ，且 ，用含 的代数式表示上述速算的结论： __________； (3) 若两个满足上述条件的两位数，它们的积是小于 5000 的四位数，且该四位数的十位数字为 1，个位数字为 6，请直接写出这两个两位数。 3. 新定义运算探究：对于两个正数 ( )，定义一种新运算 ：如果 ，那么 。例如： ，则 。 (1) ______， ______ (填“=”或“ ”)； (2) 猜想： __________； (3) 请验证你的猜想。 【思路点拨】 · 第1题：总运算次数 = 持续计算能力 时间。即 次。 · 第2题：(1) ；(2) 展开 并利用 化简，得 ；(3) 由题意个位积 ，结合 得个位数为 2 和 8。再根据积是小于 5000 的四位数，推断十位数 可以是 3, 4, 5, 6。故这四个两位数为：32和38，42和48，52和58，62和68。 · 第3题：(1) 因为 ，所以 ；又 ，所以两者之和等于 ；(2) 猜想 ；(3) 证明：设 ，则 。所以 ，即 ，猜想成立。 学科网（北京）股份有限公司 $