专题03 一元一次不等式（组）含参数问题的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北京版2024）

专题03 一元一次不等式（组）含参数问题的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、利用一元一次不等式的定义求参数的值 3 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 4 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 5 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 7 类型五、根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 8 类型六、整式方程与一元一次不等式结合求参数的问题 10 类型七、整式方程与一元一次不等式组结合求参数的问题 12 类型八、一元一次不等式（组）中的新定义型问题 15 压轴能力测评（12题） 21 解题知识必备 1.一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式 （1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 2.一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 2.解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3.一元一次不等式（组）的整数解 1.解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 2.一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 压轴题型讲练 类型一、利用一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得出，解一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级·山东潍坊·期中）是关于x的一元一次不等式，则此不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义，得到，求出的值，再解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， ∴， ∴不等式为：， 解得：； 故答案为：． 2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义可知，，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴． 解得：． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式定义求参数及解一元一次不等式，根据一元一次不等式定义先求出，代入原不等式求解即可得到答案，熟记一元一次不等式定义及一元一次不等式的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ，且，解得， 题中的不等式为，解得， 故答案为：． 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期中）关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 【答案】3 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据题意得出不等式的解集是解题的关键．先用表示出不等式的解集，再由数轴上不等式的解集得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：解不等式得，， 由数轴上不等式的解集可知，， ， 解得， 故答案为：3． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川达州·期中）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 由不等式的性质可知，不等式两边同时除以时，不等式方向改变了，由此可确定的符号，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．解不等式得出，结合数轴知，据此可得关于的方程，解之可得答案． 【详解】解：解不等式得：， 由数轴知不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：1． 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查一元一次不等式的含参问题，掌握求一元一次不等式的方法，取值方法是解题的关键． 首先解不等式，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解： 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得： ， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为： ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·天津南开·期末）关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算可得，然后再根据题意可得：，从而进行计算即可解答． 本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵不等式有2个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的整数解、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式求出解集是解题关键．先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式有最小整数解2， ， 解得：， 故答案为：． 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 例题：（24-25八年级上·四川成都·期中）若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解情况可得关于a的不等式组，解之即可得出答案． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组只有3个整数解， 不等式组的整数解为3、2、1， 则， 解得， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）关于x的不等式有5个整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．按照解一元一次不等式的步骤进行计算可得，然后再根据题意可得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：， ∴， ∵关于x的不等式有5个整数解， 即2,3，4，5，6， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，根据其整数解的个数得出关于m的不等式，解之即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集是， 关于的不等式组恰好有3个整数解， 即整数解是4，5，6， ， 解得， 故答案为：． 类型五、根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 例题：（23-24七年级下·全国·期中）若不等式组，的解集为，则m应满足的条件是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，先用含有m的式子表示不等式组的解集，再结合不等式组的解集得出答案． 【详解】解不等式组，得． ∵不等式组的解集是， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及由不等式解的情况求参数， 分别解不等式①②，根据不等式组有解，得出，解不等式即可求解． 【详解】解： 解①式得：， 解②式得：， ∵x的一元一次不等式组有解， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）已知不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 解得，解得，由不等式组无解，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， ， 解得，， ∵不等式组无解， ∴， 解得，， 故答案为：． 类型六、整式方程与一元一次不等式结合求参数的问题 例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式及非负数的意义，根据题意得出不等式及熟练应用以上知识点是解题的关键． 解方程得出 ，由解是非负数列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 解得 关于的方程的解为非负数， 解得． 故答案为： 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）若关于x的方程的解是非正数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先解方程得到，再根据方程的解为非正数得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是非正数， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x 的方程的解是负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次方程、一元一次不等式，先解方程得，即可得，再求解即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， ∴， ∵原方程的解是负数， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ． 【答案】2 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握不等式和方程的解题技巧．先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整数解，即可求出m的值，将m的值代入方程即可求出的值． 【详解】解： ， 不等式的最大整数解为2， 关于的方程的解是， ， ， 故答案为：2． 类型七、整式方程与一元一次不等式组结合求参数的问题 例题：（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的一元一次不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数的和为 ． 【答案】3 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的整数解问题，正确理解题意是借的关键．求得不等式组的解集为，则，故，对于一元一次方程的解为，而，可得，由于的解为正整数，即可确定m的值，即可求解． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得， ∴， ∴， ∴ 对于方程，解得：，则， ∴， ∴， ∵的解为正整数， ∴符合题意的有， ∴符合条件的整数的和为：， 故答案为：3． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·重庆大足·期末）若关于的不等式组的解集为，且关于的方程有非负数解，则满足条件的所有整数的和为 . 【答案】18 【知识点】一元一次方程解的综合应用、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，一元一次不等式的整数解，关键是先解该不等式组并求得符合题意的的取值范围，再解关于的方程并求得符合题意的的取值范围，然后确定的所有取值，最后计算出此题结果． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 由题意得， 解方程得，， 关于的方程有非负数解， ， 解得，， 的取值范围为：， 整数的取值为5，6，7， 符合条件的所有整数的和为：． 故答案为：18． 2．（23-24七年级下·重庆合川·期末）已知关于x的方程的解为负数，且关于y的不等式组有解且至多有三个整数解，则满足条件的所有整数m的值之和为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、由不等式组解集的情况求参数 【分析】先根据不等式的解集确定m，再求得方程的解，根据负数转化为不等式，求解集，确定整数解，求和即可． 本题考查了不等式解集的应用，一元一次方程的解，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：不等式组得解集为：， ∵至多有三个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得， 解方程的解为， ∵方程的解为负数， ∴，解得， ∴整数m的值为和， 他们的和为， 故答案为：． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）关于的不等式组至少有3个整数解，关于的方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】此题考查了一元一次不等式组和一元一次方程含字母参数问题的解决能力，关键是能准确根据题意运用以上知识进行求解． 先通过解一元一次不等式组确定的取值范围，再通过解一元一次方程确定的具体值，再代入计算． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集是， 该不等式组至少有3个整数解， ， 解得； 解方程得，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当m为小于的整数时，，不可能为整数， 所有满足条件的整数的值为，，， 所有满足条件的整数的值之和为：， 故答案为：． 类型八、一元一次不等式（组）中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·江西宜春·期末）对于实数x，y定义一种新运算“”：（其中m，n均为非零常数），这里等式的右边是通常的四则运算．例如：．已知，． (1)求m，n的值． (2)若关于a的不等式组恰好有2个整数解，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、构造二元一次方程组求解、新定义下的实数运算 【分析】考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式组，理解题中的新定义，并熟练掌握一元一次不等式组的解法是解本题的关键． （1）根据题意列出方程组求解即可； （2）利用题中的新定义化简已知不等式组，求出解集，根据关于a的不等式组恰好有2个整数解，确定b的范围即可． 【详解】（1）根据题意得： ， 解得； （2）根据题意得： 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有2个整数解，即，1， ∴， 解得 即实数P的取值范围是． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）定义运算：．已知，． (1)直接写出：________，________； (2)若关于x的不等式组无解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值； （2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故答案为：；； （2）把，代入得， ∴不等式组可转化为， 解得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； （3）不等式转化为， 整理，得：， ∵的解集为， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 不等式转化为， 整理，得：， ∴， ∴， ∴， ∴不等式的解集为． 2．（24-25七年级上·吉林·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①②；（2）；（3） 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， 解方程得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是①②． （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴， 解得：； （3）解方程，得：， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴在范围内， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解题中定义，正确得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为， 的解集为，在的范围内，所以是 的“子方程”． 问题解决： (1)若关于x的方程是不等式组 的“子方程”，求k的取值范围； (2)若方程 ，都是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“子方程”的定义列出关于的不等式组，进行计算即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， ， 解得：， 方程是不等式组的“子方程”， ， 解得：； （2）， 解得：， ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 方程，都是关于的不等式组的“子方程”， ， 解得： 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元一次不等式的定义、求一元一次不等式的解集 【分析】根据一元一次不等式的定义得出、求出k的值，然后代入不等式就x的解集． 【详解】解：是关于x的一元一次不等式， ∴ 解得 ∴不等式为：， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式的解法，注意一次项系数不为0是解题关键． 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式，先解方程得出，再根据关于的方程的解是非负数得出，求解即可得出答案． 【详解】解：解得：， 关于的方程的解是非负数， ， 解得：， 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式， 可得：， ∵原不等式组的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：C． 4．（23-24七年级下·重庆渝北·期末）若关于x的方程的解为正整数，且关于y的不等式组有解，则满足条件的所有整数a的值之积是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，先求出方程的解，和不等式组的解集，根据方程的解为正整数，以及不等式组有解，求出整数的值，即可． 【详解】解：解，得：； ∵方程的解为正整数， ∴， ∴ 解，得：， ∵不等式组有解， ∴， ∴， ∵， 故选B． 二、填空题 5．（22-23七年级下·河南驻马店·阶段练习）若关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、求一元一次不等式的解集 【分析】根据解方程的方法把的解表示出来，根据解是正数，列式求不等式的解集即可． 【详解】解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得，， ∵解是正数，即 ∴，解得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解方程的方法，根据方程的解的情况求不等式的解集，掌握以上知识是解题的关键． 6．（22-23八年级下·四川成都·期中）若关于x不等式组无解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组无解，建立起新的不等式，解之即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无解建立新不等式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴解①得，，解②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）若关于的不等式组有4个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查不等式组含参数问题，关键在于根据题中给出整数解的个数或其他条件逆推不等式组的解集． 先将当成已知量，解不等式组，将不等式组的解集表示出来，然后根据有4个整数解，可得出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有4个整数解，依次为：9，8，7，6， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）若数m使关于x的不等式组的解集为，且使关于x的方程的解为负整数，则符合条件的所有整数m的和是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、一元一次方程解的综合应用 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和一元一次方程的整数值，解不等式组，结合其解集得出；解方程得出其解，结合解均为整数得出整数m的值；综合前面m的取值范围确定m的最终取值，从而得出答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式的解集为， ∴， 解方程得， ∵解为负整数， ∴或或或， ∴或或或， ∵， ∴或， ∴整数的和是， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级上·浙江温州·期中）已知关于x的方程的解为负数． (1)求a的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集 【分析】本题是一个方程与不等式的综合题目， （1）先解出关于x的方程的解，再根据解是负数列出不等式，解关于a的不等式即可， （2）变形，把第一问的结果代入，即可 【详解】（1）解∶解关于x的方， 得 因为解为负数， 所以 解这个不等式，得 所以a的取值范围是 （2） ∴， 10．（24-25八年级上·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集即可得出a的取值范围． 【详解】解：．不等式可化为， ∴． ； 不等式可化为， ∴． ∴， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴． ． 11．（23-24七年级下·北京·期末）若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)请你写出一个方程，使它为不等式组的“友好方程”； (2)若关于x的方程是不等式组的“友好方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组有3个整数解，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、解不等式组，熟练掌握一元一次方程及不等式组的解法，读懂题意，理解“友好方程”的定义，是解题的关键． （1）分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再根据“友好方程”的定义即可得到答案； （2）分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再求出方程的解，根据“友好方程”的定义即可得到关于的不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再求出方程的解，最后根据不等式组有3个整数解，以及“友好方程”的定义进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：解不等式， 得， 解不等式， 得， 不等式组的解集为：， 的解为，且， 是不等式组的“友好方程”， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：解不等式， 得， 解不等式， 得， ∴的解集为：， 关于的方程的解为：， ∵关于的方程是不等式组的“友好方程”， ∴在范围内， ∴， 解得：； （3）解：解不等式， 得， 解不等式， 得， ∴的解集为：， ∵此时不等式组有3个整数解， ∴， 解得： 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“友好方程”， ∴在范围内， ∴， 解得：， 综上所述，． 12．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们此称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程和为“活力方程”，方程是方程的“领先方程”． (1)若关于x的方程和方程是“活力方程”，求s的值． (2)若“活力方程”的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围． (3)方程是若关于x的方程的“领先方程”，关于x的不等式组有解且均为非负解，若，，，求M的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】一元一次方程解的综合应用、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组．理解“活力方程”的定义是解题的关键． （1）先求出与的解，再根据“活力方程”的定义列出求解即可； （2）先求出关于x的不等式组的解集，根据题目条件“‘活力方程’的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解”得出，，从而可得，最后即可求出的取值范围； （3）先求出方程与方程的解，再根据“领先方程”的定义得到或，求得的取值范围；根据关于x的不等式组有解且均为非负解，进一步求出的取值范围，最后根据，，求出的代数式即可解答． 【详解】（1）解关于x的方程，得， 解方程，得. ∵关于x的方程和方程是“活力方程”， ∴， 解得或． （2）解：解关于x的不等式组得， a，b分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，且a，b为“活力方程”的最大整数解和最小整数解 ，， ， ． （3）解：方程的解是，关于x的方程的解是， ∵方程是若关于x的方程的“领先方程”， ∴或，即或， ∵关于x的不等式组有解且均为非负解， ∴，且， ∴． 综上所述，． 解得， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次不等式（组）含参数问题的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、利用一元一次不等式的定义求参数的值 3 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 4 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 5 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 7 类型五、根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 8 类型六、整式方程与一元一次不等式结合求参数的问题 10 类型七、整式方程与一元一次不等式组结合求参数的问题 12 类型八、一元一次不等式（组）中的新定义型问题 15 压轴能力测评（12题） 21 解题知识必备 1.一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式 （1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 2.一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 2.解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3.一元一次不等式（组）的整数解 1.解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 2.一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 压轴题型讲练 类型一、利用一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则m的值是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级·山东潍坊·期中）是关于x的一元一次不等式，则此不等式的解集是 ． 2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）若是关于x的一元一次不等式，则 ． 3．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期中）关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川达州·期中）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·天津南开·期末）关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是 ． 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 例题：（24-25八年级上·四川成都·期中）若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）关于x的不等式有5个整数解，则a的取值范围为 ． 2．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围 ． 类型五、根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 例题：（23-24七年级下·全国·期中）若不等式组，的解集为，则m应满足的条件是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是 ． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）已知不等式组无解，则a的取值范围是 ． 类型六、整式方程与一元一次不等式结合求参数的问题 例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）若关于x的方程的解是非正数，则m的取值范围是 ． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x 的方程的解是负数，则m的取值范围是 ． 3．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ． 类型七、整式方程与一元一次不等式组结合求参数的问题 例题：（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的一元一次不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数的和为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·重庆大足·期末）若关于的不等式组的解集为，且关于的方程有非负数解，则满足条件的所有整数的和为 . 2．（23-24七年级下·重庆合川·期末）已知关于x的方程的解为负数，且关于y的不等式组有解且至多有三个整数解，则满足条件的所有整数m的值之和为 ． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）关于的不等式组至少有3个整数解，关于的方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 类型八、一元一次不等式（组）中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·江西宜春·期末）对于实数x，y定义一种新运算“”：（其中m，n均为非零常数），这里等式的右边是通常的四则运算．例如：．已知，． (1)求m，n的值． (2)若关于a的不等式组恰好有2个整数解，求实数b的取值范围． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）定义运算：．已知，． (1)直接写出：________，________； (2)若关于x的不等式组无解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 2．（24-25七年级上·吉林·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为， 的解集为，在的范围内，所以是 的“子方程”． 问题解决： (1)若关于x的方程是不等式组 的“子方程”，求k的取值范围； (2)若方程 ，都是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·重庆渝北·期末）若关于x的方程的解为正整数，且关于y的不等式组有解，则满足条件的所有整数a的值之积是（    ） A．0 B．2 C． D． 二、填空题 5．（22-23七年级下·河南驻马店·阶段练习）若关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 6．（22-23八年级下·四川成都·期中）若关于x不等式组无解，则m的取值范围是 ． 7．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）若关于的不等式组有4个整数解，则的取值范围为 ． 8．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）若数m使关于x的不等式组的解集为，且使关于x的方程的解为负整数，则符合条件的所有整数m的和是 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·浙江温州·期中）已知关于x的方程的解为负数． (1)求a的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围． 10．（24-25八年级上·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 11．（23-24七年级下·北京·期末）若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)请你写出一个方程，使它为不等式组的“友好方程”； (2)若关于x的方程是不等式组的“友好方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组有3个整数解，直接写出m的取值范围． 12．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们此称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程和为“活力方程”，方程是方程的“领先方程”． (1)若关于x的方程和方程是“活力方程”，求s的值． (2)若“活力方程”的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围． (3)方程是若关于x的方程的“领先方程”，关于x的不等式组有解且均为非负解，若，，，求M的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$