专题02 一元一次不等式组的七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北京版2024）

专题02 一元一次不等式组的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、一元一次不等式组的定义 2 类型二、求一元一次不等式组的解集 4 类型三、求一元一次不等式组的整数解 6 类型四、解一元一次不等式组中错解复原问题 8 类型五、由一元一次不等式组的解集求参数 11 类型六、一元一次不等式组和方程结合的问题 13 类型七、用一元一次不等组解决实际问题 14 压轴能力测评（16题） 19 解题知识必备 1.一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3.一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 4.一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 压轴题型讲练 类型一、一元一次不等式组的定义 例题：（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型二、求一元一次不等式组的解集 例题：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）解不等式组请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得______． (2)解不等式②，得______． (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是______． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来 (1)； (2)． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）解下列不等式组． (1) (2) 类型三、求一元一次不等式组的整数解 例题：（2025九年级下·全国·专题练习）不等式组的整数解有 个． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不等式组的整数解是 ． 2．（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）不等式组的正整数解是 ． 类型四、解一元一次不等式组中错解复原问题 例题：（2024九年级下·山西·专题练习）下面是小李解不等式组，的部分过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 解不等式①，得． 去分母，得． 第一步 移项、合并同类项，得． 第二步 系数化为1，得． 第三步 …… 任务一： 上述解不等式①的过程第______步出现了错误，其原因是______； 任务二：请你写出解此不等式组的正确过程． 【变式训练】 1．（2024·宁夏银川·二模）下面是小林同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得．………………第一步 去括号，得．…………………………第二步 移项，得．………………………… 第三步 合并同类项，得．…………………………………第四步 系数化为1，得．…………………………………第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步的依据是_____________________________； （2）第_______________步开始出现错误，错误的原因是_______________________； 任务二： （1）解不等式②得___________________； （2）把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，并写出该不等式组的正确解集_____________． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下面是小明作业本上解不等式组 的部分过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：由不等式①得， 第1步 ∴第2步 ∴第3步 ∴第4步 ∴第5步 任务一：小明的解答过程中，第______步是依据乘法分配律进行变形的；第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：不等式②的解集是 ；直接写出这个不等式组的整数解是 ． 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式组需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条） 类型五、由一元一次不等式组的解集求参数 例题：（23-24九年级上·浙江·期末）关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·四川成都·期中）若关于x的不等式组有且仅有个整数解，则实数的取值范围为 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 类型六、一元一次不等式组和方程结合的问题 例题：（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的方程有正整数解， 则符合条件的整数k的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）已知关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 2．（2025七年级下·江苏扬州·专题练习）若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ． 类型七、用一元一次不等组解决实际问题 例题：（23-24八年级下·全国·期中）某熟食加工厂为扩大生产经营，计划新进8台真空包装机，现有甲、乙两种机器可供选择，每种机器的价格和包装速度信息如下表，公司为本次采购准备的预算资金共万元． 甲 乙 价格 元/台 元/台 包装速度 480包/时 720包/时 (1)在不超过公司预算资金的条件下，求该公司共有几种购进方案可供选择； (2)若考虑到在春节前期，公司的订单会迅猛增加，为满足客户需求，每台机器每天可连续工作10个小时，要求每天的包装量不低于2400箱（每箱装17包），问：公司应该如何购买这两种机器，才能既满足公司要求，又最节约资金？ 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问哪有几种购买方案？ 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）为提高学生综合素养，我市某中学拟组织学生进行红色之旅研学活动，相关组织老师发现：若按原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人将没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则比原计划可少租6辆，且恰好坐满． (1)求本次红色之旅研学活动共有多少人参加？原计划租用种客车多少辆？ (2)若该校更改计划，同时租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且座位有剩余，则有哪些租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金每辆300元，种客车租金为每辆220元，应该怎样租车才最合算？ 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）湘乡市准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买个温馨提示牌和个垃圾箱共需元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共个且费用不超过元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？ 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2022·四川乐山·二模）不等式组的非负整数解为（　　） A．、、0、1 B．1、2 C．1 D．0、1 3．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）若不等式组无解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·重庆·期末）为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在校园内；已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．设搭配A种造型x个，你认为下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·重庆·期末）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 二、填空题 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组的解集是 ． 7．（23-24七年级下·全国·课后作业）不等式组的所有整数解的和为 ． 8．（22-23八年级下·四川成都·期中）已知不等式组的解集是，则的值是 ． 9．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是 ． 10．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）解不等式组：，并求出它的非负整数解． 12．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 13．（24-25八年级上·湖南常德·期末）解不等式组：，把解集表示在数轴上．并求其整数解． 14．（2024·浙江温州·二模）小南解不等式组的过程如下： 解：由①，得，    第一步 ∴，        第二步 ∴．        第三步 由②，得，    第四步 ∴，        第五步 所以原不等式组的解为．    第六步 (1)老师批改时说小南的解题过程有错误，小南从第_______步开始出现错误． (2)请你写出正确的解答过程． 15．（22-23七年级下·福建泉州·期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵元，买套甲型号和套乙型号共用元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 16．（24-25八年级上·广东深圳·期末）若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． (3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元一次不等式组的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、一元一次不等式组的定义 2 类型二、求一元一次不等式组的解集 4 类型三、求一元一次不等式组的整数解 6 类型四、解一元一次不等式组中错解复原问题 8 类型五、由一元一次不等式组的解集求参数 11 类型六、一元一次不等式组和方程结合的问题 13 类型七、用一元一次不等组解决实际问题 14 压轴能力测评（16题） 19 解题知识必备 1.一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3.一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 4.一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 压轴题型讲练 类型一、一元一次不等式组的定义 例题：（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 类型二、求一元一次不等式组的解集 例题：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）解不等式组请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得______． (2)解不等式②，得______． (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）求出不等式的解集即可； （2）求出不等式的解集即可； （3）在数轴上表示出不等式组的解集即可； （4）根据数轴写出不等式组的解集． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：； （2）解： ， ， 故答案为：； （3）解：不等式组的解集在数轴上表示如下： （4）解：不等式组的解集为：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来 (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： （2）由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）解下列不等式组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集、不等式的性质 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式的性质，根据不等式的性质进行变形是解题的关键． （1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． （2）解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 类型三、求一元一次不等式组的整数解 例题：（2025九年级下·全国·专题练习）不等式组的整数解有 个． 【答案】4 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握求一元一次不等式组的整数解的一般步骤是解题的关键：先求出不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解． 按照求一元一次不等式组的整数解的一般步骤进行计算即可，即：先求出不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解． 【详解】解：， 由解得：， 由解得：， 不等式组的解集为：， 它的整数解有：，，，，共个， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不等式组的整数解是 ． 【答案】，，， 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，求解不等式组的整数解，掌握“解一元一次不等式组的方法与步骤”是解本题的关键．先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分，再确定整数解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：，，，． 故答案为：，，，． 2．（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）不等式组的正整数解是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查不等式组的正整数解，熟练掌握解不等式的运算法则是解题的关键．根据题意求出不等式组的解集，即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②：， 故不等式的解集为， 故不等式组的正整数解是． 故答案为：． 类型四、解一元一次不等式组中错解复原问题 例题：（2024九年级下·山西·专题练习）下面是小李解不等式组，的部分过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 解不等式①，得． 去分母，得． 第一步 移项、合并同类项，得． 第二步 系数化为1，得． 第三步 …… 任务一： 上述解不等式①的过程第______步出现了错误，其原因是______； 任务二：请你写出解此不等式组的正确过程． 【答案】任务一：三；不等式的两边同时除以时不等号的方向未改变；任务二：． 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤成为解题的关键． 任务一：根据解一元一次不等式的步骤以及等式的基本性质即可解答； 任务二：先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可 【详解】任务一： 解：第三步出现了错误，不等式的两边同时除以时不等号的方向未改变； 故答案为：三；不等式的两边同时除以时不等号的方向未改变 任务二： 解：由①得，， ， ， ； 由②得：即； 所以原不等式组的解集为． 【变式训练】 1．（2024·宁夏银川·二模）下面是小林同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得．………………第一步 去括号，得．…………………………第二步 移项，得．………………………… 第三步 合并同类项，得．…………………………………第四步 系数化为1，得．…………………………………第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步的依据是_____________________________； （2）第_______________步开始出现错误，错误的原因是_______________________； 任务二： （1）解不等式②得___________________； （2）把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，并写出该不等式组的正确解集_____________． 【答案】任务一：（1）不等式的性质；（2）三，移项没变号； 任务二：（1）；（2），在数轴上表示见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 任务一：（1）根据不等式的性质作答即可； （2）根据移项可判断第三步错误； 任务二：（1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤求解①，从而得解． 【详解】解：任务一：（1）以上解题过程中，第一步的依据是不等式的性质， 故答案为：不等式的性质； （2）第三步开始出现错误，错误的原因是移项没变号， 故答案为：三，移项没变号； 任务二：解不等式②：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故答案为：； （2）由①去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，如图： 故不等式组的解集为：， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下面是小明作业本上解不等式组 的部分过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：由不等式①得， 第1步 ∴第2步 ∴第3步 ∴第4步 ∴第5步 任务一：小明的解答过程中，第______步是依据乘法分配律进行变形的；第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：不等式②的解集是 ；直接写出这个不等式组的整数解是 ． 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式组需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条） 【答案】任务一：2，5，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变；任务二：，1；任务三：不唯一，如不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变；去分母时不要漏乘；移项要变号 【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式组，求一元一次不等式组的整数解．熟练掌握不等式的性质，解一元一次不等式组是解题的关键． 根据不等式的性质以及解一元一次不等式（组）的步骤，判断、求解、作答即可． 【详解】任务一：解：小明的解答过程中，第2步是依据乘法分配律进行变形的；第5步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变； 故答案为：2，5，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变； 任务二：解：， ， ， 解得， 解不等式①得，， ∴不等式组的解集为， ∴这个不等式组的整数解是1， 故答案为：，1； 任务三：解：由题意知，①不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变；②去分母时不要漏乘；移项要变号． 类型五、由一元一次不等式组的解集求参数 例题：（23-24九年级上·浙江·期末）关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集为， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·四川成都·期中）若关于x的不等式组有且仅有个整数解，则实数的取值范围为 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，由关于的不等式组有且仅有个整数解，得出关于的不等式组，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 关于的不等式组有且仅有个整数解， 整数解为，，， ， ． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了根据不等式组无解的求参数，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．分别解不等式组的两个不等式，结合该不等式组无解，可得关于的不等式，，然后求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，可得 解不等式②，可得 ， ∵该不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 故答案为：． 类型六、一元一次不等式组和方程结合的问题 例题：（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的方程有正整数解， 则符合条件的整数k的值为 ． 【答案】1 【知识点】一元一次方程解的综合应用、由一元一次不等式组的解集求参数、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组、一元一次方程的解和解一元一次方程．先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是，可以求得k的取值范围，再求出关于y的方程的解，然后根据关于y的方程有正整数解，即可求出k的值，从而可以解答本题． 【详解】解：， 解不等式得： 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ， 解得：， ∵关于y的方程有正整数解， ∴整数k的值为1． 故答案为：1 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）已知关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】9 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，根据一元一次方程的解的情况求参数的范围，根据题意，求出满足题意的整数的值，求和即可． 【详解】解：由，得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的解为非负数， ∴， ∴， ∴， ∴满足题意的整数， ∴满足条件的所有整数a的和为； 故答案为：9． 2．（2025七年级下·江苏扬州·专题练习）若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、一元一次方程解的综合应用 【详解】解关于x的不等式组得．因为该不等式组至少有4个整数解，所以，解得．解关于y的方程，得．因为y为整数，所以的值为或或或，即m的值为0或或1或或3或或7或9．因为，所以所有满足条件的整数m的值为，，其和为． 类型七、用一元一次不等组解决实际问题 例题：（23-24八年级下·全国·期中）某熟食加工厂为扩大生产经营，计划新进8台真空包装机，现有甲、乙两种机器可供选择，每种机器的价格和包装速度信息如下表，公司为本次采购准备的预算资金共万元． 甲 乙 价格 元/台 元/台 包装速度 480包/时 720包/时 (1)在不超过公司预算资金的条件下，求该公司共有几种购进方案可供选择； (2)若考虑到在春节前期，公司的订单会迅猛增加，为满足客户需求，每台机器每天可连续工作10个小时，要求每天的包装量不低于2400箱（每箱装17包），问：公司应该如何购买这两种机器，才能既满足公司要求，又最节约资金？ 【答案】(1)四种，详见解析； (2)7台甲种机器，1台乙种机器． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用．正确的列出不等式，是解题的关键． （1）设购进甲种机器台，则购进乙种机器台，根据本次购买机器所用资金不能超过万元，列出不等式，求出非负整数解即可； （2）根据该公司购进的8台机器的日生产量不能低于箱（每箱17包），列出不等式，结合（1）中结果，求出的取值范围，确定方案，再求出每种方案花费的费用，进行判断即可． 【详解】（1）解：设购进甲种机器台，则购进乙种机器台，由题意，得： ， 解得：， ∴不等式的非负整数解为：5，6，7，8； ∴共有4种方案： 方案一：购进5台甲种机器，3台乙种机器； 方案二：购进6台甲种机器，2台乙种机器； 方案三：购进7台甲种机器，1台乙种机器； 方案四：购进8台甲种机器. （2）解：由题意，得：， 解得：， ∴有3种方案可以选择： 方案一：购进5台甲种机器，3台乙种机器，所需费用为：（元）； 方案二：购进6台甲种机器，2台乙种机器，所需费用为：（元）； 方案三：购进7台甲种机器，1台乙种机器，所需费用为：（元）； ∵， ∴应购进7台甲种机器，1台乙种机器．能既满足公司要求，又最节约资金． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问哪有几种购买方案？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元 (2)有两种购买方案，方案一：购进甲型号“文房四宝”31套，乙型号“文房四宝”89套；方案二：购进甲型号“文房四宝”32套，则购进乙型号“文房四宝”88套 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程或不等式是解答的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为a元，则每套乙型号“文房四宝”的价格为元，根据“买5套甲型号和10套乙型号共用1100元”列方程求解即可； （2）设购进甲型号“文房四宝”x套，则购进乙型号“文房四宝”套，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为a元，则每套乙型号“文房四宝”的价格为元， 根据题意，得， 解得， ， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元； （2）解：设购进甲型号“文房四宝”x套，则购进乙型号“文房四宝”套， 根据题意，得， 解得，又x为正整数， ∴x可取31或32， ∴有两种购买方案，方案一：购进甲型号“文房四宝”31套，乙型号“文房四宝”89套；方案二：购进甲型号“文房四宝”32套，则购进乙型号“文房四宝”88套． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）为提高学生综合素养，我市某中学拟组织学生进行红色之旅研学活动，相关组织老师发现：若按原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人将没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则比原计划可少租6辆，且恰好坐满． (1)求本次红色之旅研学活动共有多少人参加？原计划租用种客车多少辆？ (2)若该校更改计划，同时租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且座位有剩余，则有哪些租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金每辆300元，种客车租金为每辆220元，应该怎样租车才最合算？ 【答案】(1)1200人；26辆 (2)方案1： B种：6辆，A种：19辆；方案2：B种：7辆，A种客：18辆 (3)B种：6辆，A种：19辆 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）设原计划租用种客车辆，则这次研学去了人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的种客车不超过7辆”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆种客车的租金租用种客车的辆数每辆种客车的租金租用种客车的辆数，可分别求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了人， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用4种客车26辆，这次研学去了1200人； （2）解：设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆， 根据题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为6，7，     ∴该学校共有2种租车方案， 方案1：租用6辆B种客车，19辆A种客车； 方案2：租用7辆B种客车，18辆A种客车； （3）解：选择方案1的总租金为（元）； 选择方案2的总租金为（元）． ∵， ∴租用6辆B种客车，19辆A种客车最合算． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）湘乡市准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买个温馨提示牌和个垃圾箱共需元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共个且费用不超过元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？ 【答案】(1)温馨提示牌的单价为元，则垃圾箱的单价为元 (2)方案见解析，当购买垃圾箱个，购买温馨提示牌个，所需资金最少，最少费用为元． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程和不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设温馨提示牌的单价为，则垃圾箱的单价为，根据题意列方程即可求解； （2）设购买垃圾箱个，则购买温馨提示牌个，根据题意列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设温馨提示牌的单价为，则垃圾箱的单价为， 根据题意得：， 解得：， 则， 温馨提示牌的单价为元，则垃圾箱的单价为元； （2）设购买垃圾箱个，则购买温馨提示牌个， 根据题意可得：， 解得：， 为正整数， 取，，， 即有三种购买方案： ①购买垃圾箱个，购买温馨提示牌个，所需费用为：（元）； ②购买垃圾箱个，购买温馨提示牌个，所需费用为：（元）； ③购买垃圾箱个，购买温馨提示牌个，所需费用为：（元）； 当购买垃圾箱个，购买温馨提示牌个，所需资金最少，最少费用为元． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 2．（2022·四川乐山·二模）不等式组的非负整数解为（　　） A．、、0、1 B．1、2 C．1 D．0、1 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． 分别求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的所有非负整数解是：， 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）若不等式组无解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组（由不等式组解集的情况求参数），熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 先解不等式组中的两个不等式，然后由不等式组无解可得出关于的不等式，解不等式即可求出实数的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组无解， ， ， 故选：A． 4．（24-25八年级上·重庆·期末）为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在校园内；已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．设搭配A种造型x个，你认为下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，找准不等式关系是解题关键．根据两种园艺造型使用的甲、乙两种花卉的盆数不超过两种花卉各自的总盆数建立不等式组即可得． 【详解】解：由题意可知，搭配种造型个， 则可列不等式组为， 故选：A． 5．（24-25八年级上·重庆·期末）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组和一元一次方程，熟练掌握不等式组和方程的解法是解题关键．先求出不等式组的解集，从而可得的取值范围，再解一元一次方程可得方程的解，根据方程的解是非负整数可得出满足条件的所有整数的值，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵这个不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得， ， ， ， ∵这个方程的解是非负整数， ∴满足条件的所有整数的值为3和5， ∴满足条件的所有整数的和为， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组的解集是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤并正确求解是关键． 先求出每个一元一次不等式的解集，再求出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 7．（23-24七年级下·全国·课后作业）不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】7 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组，求不等式组的整数解，是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，得到不等式组的解集和整数解，即得． 【详解】， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组的解集为：， 整数解为：3、4， 其和为：7， 故答案为：7． 8．（22-23八年级下·四川成都·期中）已知不等式组的解集是，则的值是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出、的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集为， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组有3个整数解， ∴不等式组的3个整数解为4、5、6， 则， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查解一元一次方程，根据一元一次不等式组解集的情况求参数，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法． 根据不等式组有且只有3个整数解，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据关于y的一元一次方程的解为非负数，确定a的值，求和即可． 【详解】解：解不等式组得， ∵该不等式组有且只有3个整数解 ∴该不等式组的三个整数解为3，2，1 ∴， 解得， 解方程得：， ∵该方程的解为非负数， ∴， ∴， ∴所有满足条件的整数a为，，，，它们的和为． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）解不等式组：，并求出它的非负整数解． 【答案】，0，1 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查解一元一次不等式组的解集，非负整数的定义．根据题意先解出一元一次不等式组，再找出其中的非负整数即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， 的非负整数解是：0，1． 12．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式组的解集是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示如下： ． 13．（24-25八年级上·湖南常德·期末）解不等式组：，把解集表示在数轴上．并求其整数解． 【答案】数轴见解析，不等式组的整数解为：，，． 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示，再找出不等式组的整数解即可，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 解不等式得：， 解不等式得：， 在数轴上表示不等式的解集： ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为：，，． 14．（2024·浙江温州·二模）小南解不等式组的过程如下： 解：由①，得，    第一步 ∴，        第二步 ∴．        第三步 由②，得，    第四步 ∴，        第五步 所以原不等式组的解为．    第六步 (1)老师批改时说小南的解题过程有错误，小南从第_______步开始出现错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)四 (2) 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是： （1）根据解不等式的方法得到开始出现错误的步骤； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：小南的解答过程从第四步开始出现错误， 故答案为：四 （2）解：由①，得， ∴， ∴． 由②，得， ∴， ∴， ∴， 所以原不等式组的解为． 15．（22-23七年级下·福建泉州·期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵元，买套甲型号和套乙型号共用元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元 (2)种；元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据买套甲型号和套乙型号共用元列一元一次方程求解即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 根据总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的倍列一元一次不等式组求解得可以取，，分别求出每种方案得费用比较即可． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元； （2）解：设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 由题意可得：，   解得， 又∵为正整数， ∴可以取，； ∴共有种购买方案， 方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”； 方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”； ∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵元， ∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低， ∴最低费用是（元）． 16．（24-25八年级上·广东深圳·期末）若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． (3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 【答案】(1)①； ②是 (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】（）①求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组的解集判断即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而得到，据此即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而可得，再根据所有符合要求的整数之积为，可得，即得到，据此即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 故答案为：； ②∵不等式组：，不等式组的解集中点值为， ∴不等式组对于不等式组是中点包含， 故答案为：是； （2）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴ 解得； （3）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴， 解得， ∵所有符合要求的整数之积为， ∴可取或可取， ∴或， 即． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$