专题01 解一元一次不等式的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北京版2024）

专题01 一元一次不等式的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、不等式的基本性质 3 类型二、不等式的解与解集 4 类型三、一元一次不等式的识别 6 类型四、利用一元一次不等式的定义求参数的值 7 类型五、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集 8 类型六、求一元一次不等式的整数解 10 类型七、一元一次不等式求解中错解复原问题 11 类型八、用一元一次不等式的解决实际问题 13 压轴能力测评（16题） 16 解题知识必备 1.不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 2.不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 4.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 5.一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 6.一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 压轴题型讲练 类型一、不等式的基本性质 例题：（23-24七年级下·四川内江·期末）已知，那么下列各式中，不一定成立的是(　　) A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知，下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 类型二、不等式的解与解集 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【变式训练】 1．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（　　） ①不是不等式的解； ②不等式的解集是； ③不等式的负数解有无限多个； ④不等式的负数解有无限多个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型三、一元一次不等式的识别 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川内江·期中）下列各式是一元一次不等式的有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）下列不等式中，一元一次不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型四、利用一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（24-25八年级上·重庆·开学考试）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知不等式是关于x的一元一次不等式，则 ． 2．（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 类型五、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）解不等式并把解表示到数轴上： (1)； (2) 【变式训练】 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来；    类型六、求一元一次不等式的整数解 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）关于x的不等式的非负整数解为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·北京朝阳·期末）不等式的正整数解是 ． 2．（22-23七年级下·云南曲靖·期末）不等式的负整数解的和等于 ． 类型七、一元一次不等式求解中错解复原问题 例题：（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以5，得……第五步 (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ． (2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上． 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：第一步 第二步 ．第三步 ．第四步 第五步 任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 （填运算律）进行变形的；②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来． 类型八、用一元一次不等式的解决实际问题 例题：（23-24八年级上·湖南娄底·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，竞赛共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣1分，不答得0分． (1)若小明只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则小明答对了多少道题？ (2)若规定参赛者每道题都必须作答，且总得分大于或等于95分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东湛江·期末）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，七年级1班代表队被评为优秀（90分或90分以上），求这个队至少要答对多少道题？ 2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京某厂可支援外地12台，上海某厂可支援外地6台，现在决定支援汉口10台，重庆8台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4万元/台、8万元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3万元/台、5万元/台． (1)若总运费恰好为90万元，则如何调运？ (2)若总运费不超过91万元，问共有几种调运方法？ (3)在（2）中，求总运费最低的调运方法，最低费用是多少？ 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南常德·期末）若，且为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）解不等式时，下列去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）不等式的负整数解有（   ）个． A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校的预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元，一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·陕西咸阳·期末）定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 二、填空题 6．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则 ． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若不等式的解的解是，则的取值范围是 ． 8．（22-23七年级下·重庆万州·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 10．（24-25七年级上·重庆江津·期末）若整数，关于的一元一次方程有非正整数解，那么符合条件的所有整数之和为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． 12．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）解不等式，并把它的解表示在数轴上． 13．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）解不等式：． 去分母，得． (1)“去分母”这一步的变形依据是_______（填“A”或“B”）． A．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． B．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． (2)请完成上述解不等式的余下步骤． 14．（2024·浙江嘉兴·一模）以下是甲、乙两位同学解不等式的过程： 甲： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 乙： 裂项，得： 移项，得： 合并同类项，得： 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 15．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共80本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本? 16．（24-25七年级上·上海·假期作业）如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元一次不等式的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、不等式的基本性质 3 类型二、不等式的解与解集 4 类型三、一元一次不等式的识别 6 类型四、利用一元一次不等式的定义求参数的值 7 类型五、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集 8 类型六、求一元一次不等式的整数解 10 类型七、一元一次不等式求解中错解复原问题 11 类型八、用一元一次不等式的解决实际问题 13 压轴能力测评（16题） 16 解题知识必备 1.不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 2.不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 4.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 5.一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 6.一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 压轴题型讲练 类型一、不等式的基本性质 例题：（23-24七年级下·四川内江·期末）已知，那么下列各式中，不一定成立的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式性质2，可判断A，根据不等式性质3与不相似性质1可判断B，根据不等式性质1可判断C，根据m的符号分类讨论可判断D． 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意； B. ∵，∴，∴，故该选项正确，不符合题意； C. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意； D. 当，∴， 当，，∴， 当，，∴， 故选项D不一定成立， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知，下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、由，可得，原不等式不成立，不符合题意； B、由，可得，原不等式不成立，不符合题意； C、由，可得一定成立，符合题意； D、由，可得，原不等式不成立，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、和均大于，但不一定大于，故选项错误 B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误； C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项正确； D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项错误； 故选：C 类型二、不等式的解与解集 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【知识点】不等式的定义、不等式的解集 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 【变式训练】 1．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 【答案】D 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查不等式的解和解集的定义．根据不等式的解集的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是不等式的解，故本选项不符合题意； B、不等式的解是所有小于0的数，故本选项不符合题意； C、不满足，故本选项不符合题意； D、是不等式的一个解，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（　　） ①不是不等式的解； ②不等式的解集是； ③不等式的负数解有无限多个； ④不等式的负数解有无限多个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】此题主要考查了不等式的解的定义，以及不等式的解集的定义，关键是熟练掌握两个定义．根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集的定义：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析即可得到答案． 【详解】①不等式的解集为：， ∴不是不等式的解，正确； ②不等式的解集是，正确； ③不等式的负数解有无限多个，正确； ④不等式的负数解有无限多个，正确． 综上分析可知，此题正确的说法有4个． 故选：D． 类型三、一元一次不等式的识别 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】D 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．根据一元一次不等式的概念逐项判断即可． 【详解】解：①，是一元一次不等式；②，有2未知数，不是一元一次不等式；③，是代数式，不是一元一次不等式；④，未知数的次数是2，不是一元一次不等式． 综上可知只有①是一元一次不等式． 故选D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川内江·期中）下列各式是一元一次不等式的有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】此题考查一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，用不等号连接，且不等号两边都是整式的式子是一元一次不等式，根据定义依次判断． 【详解】解：（1），（2），符合定义， （3）不等号左边不是整式，不符合定义， （4）去括号后是，最高次数是2，不符合定义， 故选：B． 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）下列不等式中，一元一次不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要依据的知识是一元一次不等式的定义．熟记不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 【详解】①不是一元一次不等式，因为最高次数是2； ②不是一元一次不等式，因为是分式； ③不是一元一次不等式，因为有两个未知数； ④是一元一次不等式； ⑤是一元一次不等式． 综上，只有2个是一元一次不等式． 故选B． 类型四、利用一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（24-25八年级上·重庆·开学考试）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】3 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此列式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知不等式是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：． 2．（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值方程、一元一次不等式的定义 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据定义得到，解不等式即可得到答案，熟记一元一次不等式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ，则或，且，解得， 故答案为：． 类型五、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）解不等式并把解表示到数轴上： (1)； (2) 【答案】(1)，解集在数轴上表示见解析； (2)，解集在数轴上表示见解析． 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】（）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可； （）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可； 本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ∴解集在数轴上表示如图， ； （2）解： ， ∴解集在数轴上表示如图， ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的一般步骤，是解题的关键．先去括号，然后移项，合并同类项，再将系数化为1，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来；    【答案】，图见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集等知识点，熟练掌握一元一次不等式的解法及数轴是解题的关键． 首先按照解一元一次不等式的一般步骤求解：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，得出答案后再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 将不等式的解集在数轴上表示出来如下：    类型六、求一元一次不等式的整数解 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）关于x的不等式的非负整数解为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查求不等式的解集，先求出不等式的解集，再求出非负整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴不等式的非负整数解为； 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·北京朝阳·期末）不等式的正整数解是 ． 【答案】1，2 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．求出不等式的解集，找出解集中的正整数解即可． 【详解】解：不等式， 移项合并同类项得：， 解得：， 则不等式的正整数解为：1，2． 故答案为：1，2． 2．（22-23七年级下·云南曲靖·期末）不等式的负整数解的和等于 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到非负整数解． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项、合并，得：， 系数化为1，得：， ∴不等式的负整数解有，这2个， ∴负整数解的和等于， 故答案为：． 类型七、一元一次不等式求解中错解复原问题 例题：（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)一 (2)，数轴表示见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）第一步去分母时等式右边的数字3没有乘以6，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，航航的解题过程从第一步开始出现错误的，原因是去分母时不等式左边的数字3没有乘以6， 故答案为：一； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 数轴表示如下所示： 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得……第四步 两边都除以5，得……第五步 (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ． (2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上． 【答案】(1)一；；不等式的性质2 (2)过程见解析，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可； （2）求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：去分母时，常数项漏乘最小公倍数，故小明的解答过程是从第一步开始出错的，这一步正确的结果为，此步骤的依据是不等式的性质2， 故答案为：一；；不等式的性质2； （2） ， ， ， ， ， 在数轴上表示为： ． 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：第一步 第二步 ．第三步 ．第四步 第五步 任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 （填运算律）进行变形的；②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】任务一：乘法分配律；五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；任务二：，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照含有分母的一元一次不等式解法步骤进行，求出不等式的解集，即可完成任务一与任务二． 【详解】解：任务一：①小明解不等式过程中，第二步是依据乘法分配律进行变形的； ②第五步开始出错，这一步错误的原因是：不等式两边都除以，不等号的方向没有改变； 任务二：该不等式的解集为：，用数轴表示如下： 类型八、用一元一次不等式的解决实际问题 例题：（23-24八年级上·湖南娄底·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，竞赛共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣1分，不答得0分． (1)若小明只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则小明答对了多少道题？ (2)若规定参赛者每道题都必须作答，且总得分大于或等于95分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 【答案】(1)22道 (2)24道 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和不等式． （1）设小明一共答对了x道题，则答错了道题，根据总得分答对题目数答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”，根据题意列出不等式，并求解即可． 【详解】（1）解：设小明一共答对了x道题，则答错了道题， 由题意可得：， 解得， 答：小明一共答对了22道题； （2）解：设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”， 由题意可得：， 解得， 答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“学党史小达人”． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东湛江·期末）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，七年级1班代表队被评为优秀（90分或90分以上），求这个队至少要答对多少道题？ 【答案】这个队至少答对13道题 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设这个队答对了x道题，则答错或放弃道题，利用得分答对题目数答错或放弃题目数，结合得分不低于90分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设这个队答对了x道题，则答错或放弃道题， 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为13， ∴这个队至少答对13道题． 2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京某厂可支援外地12台，上海某厂可支援外地6台，现在决定支援汉口10台，重庆8台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4万元/台、8万元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3万元/台、5万元/台． (1)若总运费恰好为90万元，则如何调运？ (2)若总运费不超过91万元，问共有几种调运方法？ (3)在（2）中，求总运费最低的调运方法，最低费用是多少？ 【答案】(1)北京运往汉口8台，重庆4台；上海运往汉口2台，重庆4台 (2)3种 (3)总运费最低的调运方法是北京运往汉口10台，重庆2台；上海运往汉口0台，重庆6台，最低运费为86元 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设出未知数，分别表示出北京、上海运往汉口、重庆的计算机台数，列出方程即可解决问题； （2）设出未知数，分别表示出北京、上海运往汉口、重庆的计算机台数，列出不等式即可解决问题； （3）算出（2）中每一种调运方法的费用，然后比较即可求解． 【详解】（1）解：设上海运往汉口x台，则：上海运往重庆台，北京运往汉口台，北京运往重庆台， 由题意得：， 解得：， ∴，，， 答：北京运往汉口8台，重庆4台；上海运往汉口2台，重庆4台； （2）解：设上海运往汉口x台，则：上海运往重庆台，北京运往汉口台，北京运往重庆台， 由题意得：， 解得：， 又x为非负整数， ∴非负整数x的值为0，1，2， ∴共有3种调运方法； （3）解：由（2）知：一共有三种调运方法，分别为： ①北京运往汉口8台，重庆4台；上海运往汉口2台，重庆4台，运费为万元； ②北京运往汉口9台，重庆3台；上海运往汉口1台，重庆5台，运费为万元； ③北京运往汉口10台，重庆2台；上海运往汉口0台，重庆6台，运费为万元； ∵， ∴总运费最低的调运方法是北京运往汉口10台，重庆2台；上海运往汉口0台，重庆6台，最低运费为86元． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南常德·期末）若，且为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】、∵， ∴或或，原选项不符合题意； 、∵， ∴，原选项不符合题意； 、∵， ∴或或，原选项不符合题意； 、∵，， ∴，原选项符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）解不等式时，下列去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次不等式的解法进行求解即可． 【详解】解： 去分母得：； 故选C． 3．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）不等式的负整数解有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变．先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案． 【详解】解： 不等式的负整数有，，，，共四个， 故选：C． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校的预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元，一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，正确列出不等式是解题的关键． 根据羽毛球的单价和个数，一盒羽毛球的单价和个数，以及总经费即可列出不等式． 【详解】解：根据题意得，． 故选：B． 5．（22-23八年级下·陕西咸阳·期末）定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的关键． 由新定义的运算可得，进而求出关于的不等式的解集，结合数轴上得到等式为，即，然后求解即可． 【详解】解：由新运算的定义可得可化为 ∴， ∵由数轴上表示的解集可知， ∴，解得． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由不等式的性质可得，于是得解． 【详解】解：，且， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若不等式的解的解是，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 根据不等式的解集为，可知，解之即可． 【详解】解：∵不等式的解的解是， ∴， 则． 故答案为：． 8．（22-23七年级下·重庆万州·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义、化简绝对值 【分析】根据一元一次不等式的定义和绝对值的意义进行计算即可解答． 本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 且， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解； 首先求出不等式的解集，得出这三个正整数解分别是1，2，3，进而可得m的取值范围． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于x的不等式只有3个正整数解， ∴这三个正整数解分别是1，2，3， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·重庆江津·期末）若整数，关于的一元一次方程有非正整数解，那么符合条件的所有整数之和为 ． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的特解问题，表示出解，进行合理讨论求解是解题的关键．先解方程，用a表示x，根据解的非正整数解，讨论求解即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得， 解得， 有非正整数解， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的一般步骤是解题的关键；根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可解出不等式，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， ， ， ， 如图所示： 12．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）解不等式，并把它的解表示在数轴上． 【答案】；图见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查求不等式的解集，用数轴表示不等式的解集．去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，求出不等式的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； 数轴表示解集如图： ． 13．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）解不等式：． 去分母，得． (1)“去分母”这一步的变形依据是_______（填“A”或“B”）． A．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． B．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． (2)请完成上述解不等式的余下步骤． 【答案】(1)A (2) 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键． （1）根据题干的解题过程，去分母这步骤，是不等式两边同时乘上，据此作答即可； （2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，去分母这步骤，是不等式两边同时乘上， 故答案为：A． （2）解：依题意，去括号得， 移项得， 合并同类项，得， 系数化1，得． 14．（2024·浙江嘉兴·一模）以下是甲、乙两位同学解不等式的过程： 甲： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 乙： 裂项，得： 移项，得： 合并同类项，得： 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】甲、乙两位同学的解法均错误；见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：∵甲在去分母时，不等号右边的1没有乘最简公分母，去括号时没有变号，乙同学在裂项时，去括号没有变号， ∴甲、乙两位同学的解法均错误， 正确解答过程如下： 去分母得，， 去括号得，， 移项得， 合并同类项得，， 的系数化为1得，． 15．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共80本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本? 【答案】(1)数学书有35本，语文书有45本 (2)87本 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设书架上数学书有本，则有语文书有本，根据题意列出关于的一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）设摆放数学书本，根据题意列出关于的一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设书架上数学书有本，则有语文书有本， 根据题意得 ， 解得（本）， ∴（本）， 答：书架上数学书有35本，语文书有45本； （2）设摆放数学书本， 根据题意，可得， 解得， 即数学书最多还可以摆87本． 16．（24-25七年级上·上海·假期作业）如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 【答案】(1)60，80，430 (2)存在，或 (3)或 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程和不等式，再求解． （1）根据“方式一”“方式二”的计费方式，分别求得李明不同通话时间对应的费用即可；设按 “方式二”计费时主叫通话时间为分钟，根据按“方式二”计费列出方程，解方程即可； （2）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次方程并求解； （3）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次不等式并求解即可得到答案． 【详解】（1）李明按方式一计费元， 李明按方式二计费元， 设王华该月主叫通话时间为分钟， ∵王华某月按方式二计费需100元 ∴ ∴ 故答案为：60，80，430； （2）结合题意，分、、三种情况， 当时，方式一计费方式二计费，不符合题意； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； ∴或时，按方式一和方式二的计费相等 （3）当时，方式一计费方式二计费，符合题意； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； ∴或时，选择方式一比选择方式二省钱． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$