第04讲 抛物线（3个知识点+7种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

第04讲 抛物线 课程标准 学习目标 1.通过抛物线定义、抛物线几何性质的学习，培养数学抽象和运算核心素养. 2.通过抛物线定义及标准方程的应用、直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象、数学建模及数学运算的核心素养. 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念．(重点) 2.会求简单的抛物线方程． 3.掌握抛物线的几何性质．(重点) 4.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(难点) 知识点01 抛物线的定义 抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象． 标准方程 ①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线； ②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线． 性质 我们以y2＝2px（p＞0）为例： ①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等． 【命题方向】 抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用． 【即学即练1】（24-25高二·上海·课堂例题）已知点，直线，若动点P到l的距离等于，则点P的轨迹是 ． 知识点02 抛物线的标准方程 抛物线的标准方程的四种种形式： （1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负） （2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负） 四种形式相同点：形状、大小相同； 四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 下面以两种形式做简单的介绍： 标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上 图形 顶点 （0，0） （0，0） 对称轴 x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上 焦点 （，0） （0，） 焦距 无 无 离心率 e＝1 e＝1 准线 x＝﹣ y＝﹣ 【即学即练2】（24-25高二上·上海·期中）顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为 . 知识点03 抛物线的性质 抛物线的简单性质： 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 【即学即练2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，点A、B是抛物线C上不同的两点，且A、B中点的横坐标为2，则 . 题型一：抛物线定义的理解 1.（24-25高二下·上海·单元测试）设是直线l的法向量，A、B为两个定点，，，P为一动点，若点P满足：，则动点P的轨迹是（    ）． A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 2.（22-23高二上·上海闵行·期末）是定直线外的一定点，则过点且与定直线相切的圆的圆心轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 3.（24-25高二上·上海·课后作业）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两条抛物线的焦点到对应准线的距离分别为、.给出下面四个关系式：①；②；③；④.其中正确的关系式为 . 4.（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知抛物线 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为 ． 题型二：根据抛物线方程求焦点或准线 1.（21-22高二上·上海浦东新·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·上海·期末）若椭圆的左焦点在抛物线（）的准线上，则的值为 ． 3.（23-24高二上·上海奉贤·期末）抛物线的准线方程为 . 4.（23-24高二上·上海·课后作业）求抛物线的焦点坐标和准线方程． 题型三：抛物线的焦半径公式 1.（23-24高二下·上海·期中）抛物线的方程为，焦点为，点为上一点，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2.（20-21高二上·上海杨浦·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则 ． 3.（22-23高二下·上海浦东新·期中）若抛物线上一点A的横坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为 . 4.（23-24高二上·上海·课后作业）若抛物线上的、两点到焦点的距离之和是5，求线段的中点的横坐标． 题型四：抛物线中的三角形或四边形面积问题 1.（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为A.若在x轴正方向上的投影为，则的面积为 . 2.（24-25高二上·上海·期中）如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为 . 3.（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线， (1)若该抛物线的焦点到准线的距离为1，求抛物线的标准方程； (2)若，O为坐标原点，斜率为2且过焦点的直线交此抛物线于A、B两点，求的面积． 4.（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线，其焦点F到准线的距离为2. (1)求抛物线的标准方程； (2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求的面积. 题型五：与抛物线焦点弦有关的几何性质 1.（24-25高二上·上海·阶段练习）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为（   ） A．4 B． C． D． 2.（23-24高二上·上海·阶段练习）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 3．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）在平面直角坐标系中，设是抛物线上过点的弦，的外接圆交抛物线于点（不同于点、、），若直线平分，则 4.（23-24高二上·上海·课后作业）过抛物线的焦点的倾斜角为的直线与抛物线交于两点，求证：． 题型六：抛物线中的定点、定值 1.（23-24高二上·上海·期末）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于,，且直线OA,OB的斜率分别为,，则,,中有（    ）个值为定值 A．0 B．1 C．2 D．3 2.（22-23高二下·上海松江·期末）已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则下列说法：①若直线AB过点F，则的最小值为1；②若垂直C的准线于点，且，则四边形周长为③若，则直线AB恒过定点.其中正确命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3.（20-21高二上·上海闵行·期末）已知点在抛物线上，过点的直线交抛物线于，两点，若直线，的斜率分别为，，则等于 . 4.（24-25高二下·上海·单元测试）已知直线：与抛物线Γ：交于点A，B． (1)若直线的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线的方程； (2)若，且，证明：直线l过定点． 题型七：抛物线的应用 1．（22-23高二下·上海奉贤·期末）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为2m，渠深为1.5m，水面距为0.5m，则截面图中水面宽的长度约为（    ）m.    A．1.33 B．1.63 C．1.50 D．1.75 2．（21-22高二下·上海宝山·期中）一辆卡车要通过跨度为8米、拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，则卡车的限高为 米（精确到0.01米）. 3．（22-23高二上·浙江·期中）如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为，镜深． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标； (2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位）． 4．（22-23高二·全国·课堂例题）图是抛物线形拱桥，设水面宽米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分横断面为一矩形CDEF．若米，那么不超过多少米才能使货船通过拱桥?    一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于两点，为坐标原点，则的值是（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 2．（22-23高二下·上海虹口·阶段练习）过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线准线的交点为，点在抛物线准线上的射影为，若，，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海杨浦·期中）是关于的二次方程的两个不同实数根，则经过两点，的直线与抛物线公共点的个数是（    ） A．2 B．1 C．0 D．不确定 4．（24-25高二上·上海·期末）已知抛物线，点为抛物线的焦点，点、在抛物线上（在第一象限），点为点关于原点的对称点，且，若，①点在一条定直线上；②是定值.则（    ） A．①正确， ②不正确 B．①不正确， ②正确 C．①正确， ②正确 D．①不正确， ②也不正确 二、填空题 5．（24-25高二·上海·随堂练习）设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 ． 6．（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线C：的焦点与椭圆的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为 ． 7．（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线的焦点为F，点M是该抛物线上一点，且，设O是坐标原点，则线段OM的长为 ． 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）若直线经过抛物线的焦点且其一个方向向量为，则直线的方程为 . 9．（23-24高二上·上海·阶段练习）设为抛物线的焦点，若点在抛物线上移动，点在上移动，则的最小值为 ． 10．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是 . 11．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知抛物线对称轴为轴．若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为 ． 12．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等．如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是 ． 13．（24-25高二上·上海·单元测试）我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A、B处的两条切线所围成的（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质： ①P点必在抛物线的准线上；②；③． 已知直线l：与抛物线交于A、B两点，若，则抛物线的“阿基米德三角形”的顶点P的坐标为 ． 14．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，曲线，曲线．经过上一点作一条倾斜角为的直线，与交于两个不同的点，则的取值范围为 ． 15．（23-24高二下·上海·期中）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则下列命题正确的是 . （1）的准线为；（2）直线与相切；（3）；（4）. 16．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知椭圆（）的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合．若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图所示），则四边形面积的最小值为 ． 三、解答题 17．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 18．（24-25高二上·上海·期中）已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2. (1)求p的值； (2)直线与抛物线C交于A，B两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值. 19．（24-25高二上·上海·期中）如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）.    (1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； (2)若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 20．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 21．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点．    (1)如图1所示，已知|，求线段中点到轴的距离； (2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值； (3)如图2所示，设为抛物线上的一点，过作直线，交抛物线于，两点，过作直线，交抛物线于，两点，且，，设线段MN与线段的交点为，求直线斜率的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 抛物线 课程标准 学习目标 1.通过抛物线定义、抛物线几何性质的学习，培养数学抽象和运算核心素养. 2.通过抛物线定义及标准方程的应用、直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象、数学建模及数学运算的核心素养. 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念．(重点) 2.会求简单的抛物线方程． 3.掌握抛物线的几何性质．(重点) 4.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(难点) 知识点01 抛物线的定义 抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象． 标准方程 ①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线； ②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线． 性质 我们以y2＝2px（p＞0）为例： ①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等． 【命题方向】 抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用． 【即学即练1】（24-25高二·上海·课堂例题）已知点，直线，若动点P到l的距离等于，则点P的轨迹是 ． 【答案】抛物线 【分析】根据题意结合抛物线的定义分析判断. 【详解】因为，可知， 且抛物线的定义：动点到定点距离等于到定直线距离， 所以点P的轨迹是抛物线. 故答案为：抛物线. 知识点02 抛物线的标准方程 抛物线的标准方程的四种种形式： （1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负） （2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负） 四种形式相同点：形状、大小相同； 四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 下面以两种形式做简单的介绍： 标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上 图形 顶点 （0，0） （0，0） 对称轴 x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上 焦点 （，0） （0，） 焦距 无 无 离心率 e＝1 e＝1 准线 x＝﹣ y＝﹣ 【即学即练2】（24-25高二上·上海·期中）顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为 . 【答案】 【分析】设出抛物线方程，再代入点的坐标得解. 【详解】由题意，可设抛物线方程为， 又抛物线经过， 所以，解得， 所以所求抛物线方程为， 故答案为： 知识点03 抛物线的性质 抛物线的简单性质： 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 【即学即练2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，点A、B是抛物线C上不同的两点，且A、B中点的横坐标为2，则 . 【答案】6 【分析】根据抛物线的定义结合已知可求得结果. 【详解】设，由A，B中点的横坐标为2，可得， 所以． 故答案为：6. 题型一：抛物线定义的理解 1.（24-25高二下·上海·单元测试）设是直线l的法向量，A、B为两个定点，，，P为一动点，若点P满足：，则动点P的轨迹是（    ）． A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【分析】由抛物线的定义求解． 【详解】表示点P到直线l的距离，表示点P到点B的距离， 由，得动点P到直线l的距离等于到点B的距离，且点B不在直线l上，故点P的轨迹为抛物线， 故选：B 2.（22-23高二上·上海闵行·期末）是定直线外的一定点，则过点且与定直线相切的圆的圆心轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】D 【分析】设动圆的圆心为，因为圆是过定点与定直线相切的，所以，由抛物线的定义，即可判断轨迹． 【详解】解：设动圆的圆心为，定直线为， 因为圆是过定点与定直线相切的， 所以， 即圆心到定点和定直线的距离相等．且在外， 由抛物线的定义可知， 的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． 故选：D． 3.（24-25高二上·上海·课后作业）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两条抛物线的焦点到对应准线的距离分别为、.给出下面四个关系式：①；②；③；④.其中正确的关系式为 . 【答案】①②④ 【分析】由已知，结合图象，把直线向左平移1个单位得到直线，可得到的距离与到的距离相等，则圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，可得，同理可得，当时，拋物线不完整，计算即可判断所给四个关系式. 【详解】由题意知圆的半径为1，设圆的半径为，当圆与圆相外切时，如图所示， 则有点到直线的距离为，， 把直线向左平移1个单位得到直线，可得到的距离与到的距离相等， 故圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以， 当圆与圆相内切时，如图所示， 把直线向右平移1个单位得到直线，可得到的距离与到的距离相等， 故圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以， 当时，拋物线不完整，所以 所以，，， . 故答案为:①②④. 4.（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知抛物线 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为 ． 【答案】. 【分析】根据抛物线的方程求出准线，再由抛物线定义求解即可. 【详解】抛物线方程，则焦点坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，点P到准线的距离为5， 所以，解得：，代入， 则 所以点P到x轴的距离为． 故答案为：. 题型二：根据抛物线方程求焦点或准线 1.（21-22高二上·上海浦东新·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简抛物线方程为标准形式，然后求解焦点坐标即可 【详解】，则抛物线的标准方程为：，焦点坐标在轴上，焦点坐标为：． 故选：B 2.（24-25高二上·上海·期末）若椭圆的左焦点在抛物线（）的准线上，则的值为 ． 【答案】6 【分析】求出椭圆的左焦点坐标，进而求出值. 【详解】椭圆的半焦距，其左焦点为， 抛物线的准线，则， 所以. 故答案为：6 3.（23-24高二上·上海奉贤·期末）抛物线的准线方程为 . 【答案】 【分析】利用抛物线的标准方程可得焦点在轴上，从而可求准线方程. 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 4.（23-24高二上·上海·课后作业）求抛物线的焦点坐标和准线方程． 【答案】焦点坐标为，准线方程为. 【分析】分类讨论的符号，求出，再根据焦点和准线的定义可得结果. 【详解】当时，，， 焦点坐标为，准线方程为. 当时，，， 焦点坐标为，准线方程为. 题型三：抛物线的焦半径公式 1.（23-24高二下·上海·期中）抛物线的方程为，焦点为，点为上一点，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据焦半径公式，结合抛物线方程，直接计算即可. 【详解】对，其焦点坐标为，，解得. 故选：C. 2.（20-21高二上·上海杨浦·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则 ． 【答案】 【分析】根据焦半径公式，即可求解. 【详解】因为抛物线方程为，所以，由焦半径公式可知， ，得. 故答案为： 3.（22-23高二下·上海浦东新·期中）若抛物线上一点A的横坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为 . 【答案】6 【分析】根据抛物线定义求抛物线上点到焦点的距离即可. 【详解】由题设，抛物线准线为，故点A与抛物线焦点的距离为. 故答案为：6 4.（23-24高二上·上海·课后作业）若抛物线上的、两点到焦点的距离之和是5，求线段的中点的横坐标． 【答案】2 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、抛物线定义的理解 【分析】由抛物线的定义把抛物线上的点到焦点的距离之和转换为到准线的距离和，结合中点坐标公式即可求解. 【详解】不妨设、两点坐标分别为，线段中点为点，则即为所求； 由题意抛物线的准线方程为， 一方面由抛物线的定义可知， 另一方面由已知，结合两方面有，解得， 所以，即线段的中点的横坐标为2. 题型四：抛物线中的三角形或四边形面积问题 1.（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为A.若在x轴正方向上的投影为，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用在x轴正方向上的投影为，求得点的坐标，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解. 【详解】 因为在x轴正方向上的投影为，则，且，则， 所以， 则. 故答案为： 2.（24-25高二上·上海·期中）如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为 . 【答案】 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】作出辅助线，根据直线的斜率表达出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求出，得到抛物线方程. 【详解】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且． 设，，，则， 所以，所以． 作轴于点，则． 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以，， 所以四边形的面积为， 解得， 故抛物线的方程为. 故答案为：. 3.（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线， (1)若该抛物线的焦点到准线的距离为1，求抛物线的标准方程； (2)若，O为坐标原点，斜率为2且过焦点的直线交此抛物线于A、B两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点到准线的定义可知，则方程可得. （2）先写出过焦点的直线的方程，联立抛物线求出弦长，再根据点到直线的距离求原点到直线的距离，代入面积公式即可. 【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为1， 所以， 故抛物线的标准方程为. （2）因为， 所以抛物线方程为，焦点坐标为 又因为直线过焦点且斜率为2. 所以直线的方程为： 设两交点坐标为、 联立方程得，化简得. 、 所以 又因为到直线的距离 所以. 4.（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线，其焦点F到准线的距离为2. (1)求抛物线的标准方程； (2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设可得，即可得写出抛物线标准方程； （2）由已知有直线为，联立抛物线，应用韦达定理、弦长公式求，点线距离公式求O到直线的距离，进而求的面积. 【详解】（1）由焦点F到准线的距离为2，即，故抛物线的标准方程为； （2）由（1）知：，则直线为，即， 联立抛物线可得：，则，， 所以， 又O到直线的距离， 所以. 题型五：与抛物线焦点弦有关的几何性质 1.（24-25高二上·上海·阶段练习）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为， 由可得两个交点的坐标分别为， 所以， 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 联立，消去可得， 则，， 综上可得，， 所以. 故选：B 2.（23-24高二上·上海·阶段练习）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 【答案】B 【分析】过一点的直线需先考虑直线斜率是否存在，当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，由题意求得的符合题意的直线有两条. 【详解】过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点， 若直线的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不符合题意； 故设直线的斜率为，则直线的方程为， 代入到抛物线得， 因为两点的横坐标之和为3， 所以，解得：，所以， 则这样的直线有且仅有两条. 故选：B 3．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）在平面直角坐标系中，设是抛物线上过点的弦，的外接圆交抛物线于点（不同于点、、），若直线平分，则 【答案】/ 【分析】设，，，，，，直线的方程为，与抛物线方程联立得到①，设该圆的方程为，与联立得到四次方程，有，，，0这四个不同的实根，进而得到②，由角平分线定理可知，，结合①②，有，整理得到，分类讨论即可求得答案． 【详解】解：设，，，，，， 由条件知，，两两不等且非零， 设直线的方程为，与抛物线方程联立可得，， 故①，注意到的外接圆过点， 可设该圆的方程为，与联立可得，， 该四次方程有，，，0这四个不同的实根，即上式等价于， 故项的系数为0可得，， 从而②， 因平方，由角平分线定理可知，， 结合①②，有 ， 即， 故， 当时，即，故，此时与重合，与条件不符， 当时，注意到①， 有， 因， 故满足①以及的实数，存在， 对应可得满足条件的点，，此时，结合①②知 ． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：这道题的关键是圆的方程与抛物线联立得到四次方程，结合有，，，0这四个不同的实根，可得到，然后再通过角平分线定理可知，，通过大量的计算可得到结果，考查学生的计算能力，分析能力 4.（23-24高二上·上海·课后作业）过抛物线的焦点的倾斜角为的直线与抛物线交于两点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据抛物线方程可写出焦点坐标和准线方程，设出直线方程并于抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式得出的表达式，化简即可给出证明. 【详解】根据题意可知，抛物线焦点，准线方程为； 直线的斜率为，所以直线方程为， 不妨设，如下图所示：    联立直线和抛物线方程，消去整理可得； 由韦达定理可得， 作垂直于准线，垂足分别为； 由焦半径公式可知； 所以 ； 即可得. 题型六：抛物线中的定点、定值 1.（23-24高二上·上海·期末）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于,，且直线OA,OB的斜率分别为,，则,,中有（    ）个值为定值 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据直线是否存在斜率进行分类讨论，当存在斜率时，将直线方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系进行验证即可，当不存在斜率时，直接求出坐标，，再进行验证. 【详解】设直线的方程为，即． 代入，得，则． 又． 若直线与x轴垂直，由，得． 可求得，则． 故均为定值． 故选：D 2.（22-23高二下·上海松江·期末）已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则下列说法：①若直线AB过点F，则的最小值为1；②若垂直C的准线于点，且，则四边形周长为③若，则直线AB恒过定点.其中正确命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】当轴时最小可判断①；根据抛物线的定义可知，设与轴的交点为，求出四边形的周长可判断②；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得，可得直线恒过定点可判断③. 【详解】对于选项①，若直线过点，则当轴时，最小，且最小值为1，①正确； 对于②，由题意知，， 因为，所以，又，，所以四边形是矩形， 设与轴的交点为，易知， 故， 所以四边形的周长为，②错误；    对于③，设直线， 联立直线与抛物线方程得，则，所以， 由可得，即，解得， 故直线的方程为，即直线恒过定点，③正确. 故选：C. 3.（20-21高二上·上海闵行·期末）已知点在抛物线上，过点的直线交抛物线于，两点，若直线，的斜率分别为，，则等于 . 【答案】 【解析】由题意将的坐标代入抛物线的方程可得的值，进而求出抛物线的方程，设出直线的方程并与抛物线方程联立求出两根之和及两根之积，求出直线，的斜率之积，化简可得定值. 【详解】由题意将的坐标代入抛物线的方程可得，解得， 所以抛物线的方程为； 由题意可得直线 的斜率不为0， 所以设直线的方程为：，设，，，， 联立直线与抛物线的方程：， 整理可得：，则，， 由题意可得 ， 所以． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 4.（24-25高二下·上海·单元测试）已知直线：与抛物线Γ：交于点A，B． (1)若直线的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线的方程； (2)若，且，证明：直线l过定点． 【答案】(1)； (2)直线l过定点，证明见解析. 【分析】（1）根据直线的倾斜角为45°可以确定直线的斜率为1，抛物线Γ：的焦点为，根据点斜式可求得直线的方程； （2）设，，联立消去，根据韦达定理可知的值，在求出，在用向量乘法运算法则可求解. 【详解】（1）焦点F(2,0)，斜率，故直线的方程为； （2）设，，联立消去x， 整理得，由可知且， 根据韦达定理可知，， 由，即，得， 即，直线：， 故直线过定点. 题型七：抛物线的应用 1．（22-23高二下·上海奉贤·期末）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为2m，渠深为1.5m，水面距为0.5m，则截面图中水面宽的长度约为（    ）m.    A．1.33 B．1.63 C．1.50 D．1.75 【答案】B 【分析】以为原点，为轴，建立平面直角直角坐标系，利用点的坐标求出抛物线方程，再根据抛物线方程可求出结果. 【详解】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角直角坐标系： 设抛物线的标准方程为， 由题意可得，代入得，得， 故抛物线的标准方程为， 设，则， 则，， 所以截面图中水面宽的长度约为.    故选：B 2．（21-22高二下·上海宝山·期中）一辆卡车要通过跨度为8米、拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，则卡车的限高为 米（精确到0.01米）. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的方程，根据题意求得限高. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 依题意抛物线过点，则， 所以抛物线的方程为， 车的截面为矩形， 设，则， 所以米， 即限高为米. 故答案为： 3．（22-23高二上·浙江·期中）如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为，镜深． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标； (2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位）． 【答案】(1)， (2)架子所用钢筋总长度为 【分析】（1）先建立直角坐标系，得到A点坐标，然后设出抛物线方程进而求得的值，从而可以确定抛物线的方程和焦点的位置. （2）根据盛水或食物的容器在焦点处，结合两点间距离公式可得每根铁筋的长度. 【详解】（1）如图， 在反光镜的轴截面内建立直角坐标系， 使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由已知，得A点坐标是， 设抛物线方程为，则，解得， 则抛物线的标准方程是， 焦点坐标是. （2）因为盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长， 所以每根铁筋长为，                               所以架子所用钢筋总长度为. 4．（22-23高二·全国·课堂例题）图是抛物线形拱桥，设水面宽米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分横断面为一矩形CDEF．若米，那么不超过多少米才能使货船通过拱桥?    【答案】不超过6米才能使货船通过拱桥． 【分析】根据题中条件建立适当的平面直角坐标系，确定出抛物线的方程后求解问题． 【详解】如图所示，以点O为坐标原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则．    设抛物线方程为． ∵B点在抛物线上，∴， ∴，∴抛物线的方程为． 当时，，即． ∴不超过6米才能使货船通过拱桥． 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于两点，为坐标原点，则的值是（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】D 【分析】设出直线方程，联立，得到两根之和，两根之积，并得到，从而得到 【详解】由题意得，当的斜率为0时，不满足要求， 设直线的方程为，联立得， 设， 则， 故， 则. 故选：D 2．（22-23高二下·上海虹口·阶段练习）过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线准线的交点为，点在抛物线准线上的射影为，若，，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点、，易知点，分析可知点为线段的中点，结合中点坐标公式以及抛物线方程可得出点、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算结合可求得的值，由此可得出抛物线的标准方程. 【详解】设点、，易知点， 因为，则为的中点，所以，， 则，，， 因为点在第一象限，则，可得，则， 所以，点、， 因为点在抛物线准线上的射影为，则点， 所以，，， 则，因为，解得， 所以，抛物线的标准方程为. 故选：A. 3．（23-24高二上·上海杨浦·期中）是关于的二次方程的两个不同实数根，则经过两点，的直线与抛物线公共点的个数是（    ） A．2 B．1 C．0 D．不确定 【答案】A 【分析】先利用二次方程根与系数的关系求出，然后代入经过两点，的直线方程，整理后可得直线恒过定点，根据定点和抛物线的关系可得直线与抛物线的公共点个数. 【详解】是关于的二次方程的两个不同实数根, , 又，得或，且， 经过两点，的直线为 ，整理得 即 该直线恒过点，且斜率不为零， 根据图像可得直线与抛物线公共点的个数是， 故选：A. 4．（24-25高二上·上海·期末）已知抛物线，点为抛物线的焦点，点、在抛物线上（在第一象限），点为点关于原点的对称点，且，若，①点在一条定直线上；②是定值.则（    ） A．①正确， ②不正确 B．①不正确， ②正确 C．①正确， ②正确 D．①不正确， ②也不正确 【答案】C 【分析】设出的坐标，根据向量关系和垂直可得坐标（用表示），从而可判断①正确， ②正确. 【详解】设，则，故， 而，故， 故，若，则，此时重合，与题设矛盾； 故，故，整理得到， 而，故， 而，，而，共线， 故，整理得，故， 当时，，而异号，故， 此时，故，故在定直线上， 当时，，同理（舍）， 故①正确， ②正确， 故选：C 【点睛】思路点睛：抛物线中的定值问题，既可以同构直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理来处理参数关系得到定值，也可以通过设点法求出动点的纵坐标（或横坐标）的关系从而得到定值. 二、填空题 5．（24-25高二·上海·随堂练习）设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线顶点和准线位置可知其开口方向，并求得其焦准距，即得抛物线方程. 【详解】由准线方程得，解得， 且抛物线的开口向右（或焦点在x轴的正半轴上），故可设，代入即得，． 故答案为：. 6．（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线C：的焦点与椭圆的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由抛物线的焦点坐标求标准方程. 【详解】椭圆的右焦点坐标为，由题意可知抛物线的焦点坐标为， 所以抛物线C的标准方程为． 故答案为：． 7．（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线的焦点为F，点M是该抛物线上一点，且，设O是坐标原点，则线段OM的长为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求得点M的坐标，进而求得|OM|． 【详解】设，由抛物线定义得，又因为，所以， 得，所以． 故答案为：． 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）若直线经过抛物线的焦点且其一个方向向量为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】求出抛物线的焦点，求出直线的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式. 【详解】因为抛物线的焦点为，方向向量为的直线的斜率为1， 故直线的方程是，即. 故答案为：. 9．（23-24高二上·上海·阶段练习）设为抛物线的焦点，若点在抛物线上移动，点在上移动，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据三角形两边之差小于第三边判断三点的位置，再结合两点间距离公式求出即可. 【详解】 设圆心为，则，半径， 由图象可知，当且仅当三点共线时取等号， 令，则，将代入可得 ， 因为点在抛物线上，所以， 故时，，此时， 故答案为： 10．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设为抛物线上任意一点，则，根据二次函数的性质求解即可. 【详解】设为抛物线上任意一点， 则， 因为， 所以对称轴， 又由于，且最小时，， 所以， 所以. 故答案为：. 11．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知抛物线对称轴为轴．若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】首先平移直线，至与抛物线相切时，此时点到直线的距离最短，利用平行线距离公式求得切线方程，再利用直线与抛物线的位置关系，即可求解. 【详解】如图，若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，即抛物线的焦点在轴的负半轴， 设抛物线方程为，如图，平移直线，当直线与抛物线相切时，此时切点到直线的距离为最小值1，    设切线方程为，切点到直线的距离为平行线间的距离， 即，得或（舍），所以切线方程为， 联立，得，，得或（舍）， 所以抛物线方程为. 故答案为： 12．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等．如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知，点在抛物线上，因为点有且只有两个，联立方程组，根据方程根的个数求解. 【详解】由题意可知，点在以为焦点，为准线的抛物线上，同时在线段的垂直平分线上， 因为这样的点有且只有两个，则线段的中垂线与抛物线有两个交点， 即线段的中点坐标为，线段中垂线的斜率为，则中垂线方程为， 联立，化简得，， 由，即， 因式分解为：，解得， 又因为，所以实数的取值范围是. 故答案为： 13．（24-25高二上·上海·单元测试）我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A、B处的两条切线所围成的（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质： ①P点必在抛物线的准线上；②；③． 已知直线l：与抛物线交于A、B两点，若，则抛物线的“阿基米德三角形”的顶点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】设，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，结合弦长，可求出的值，再由可求出直线的方程，再由P点必在抛物线的准线上可求出点P的坐标. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 设， 由，得， 由， 所以， 所以，解得或， 当时，因为，所以， 所以直线的方程为， 因为P点必在抛物线的准线上，所以， 所以，所以， 当时，因为，所以， 所以直线的方程为， 因为P点必在抛物线的准线上，所以， 所以，所以， 综上，的顶点P的坐标为或. 故答案为：或 14．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，曲线，曲线．经过上一点作一条倾斜角为的直线，与交于两个不同的点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，则直线的方程为，将直线方程与曲线方程联立，由可得t的取值范围，设的横坐标分别为，，结合的倾斜角为，结合弦长公式可将表示为关于t的函数，从而求得其取值范围． 【详解】设，则直线的方程为， 代入曲线的方程，得， 化简可得：，① 由于与交于两个不同的点，故关于x的方程①的判别式，即 ， 解得，② 设的横坐标分别为，由①知，， 因此，结合的倾斜角为可知， ， 由②可知，， 故， 从而得， 故答案为：． 【点睛】 圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 15．（23-24高二下·上海·期中）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则下列命题正确的是 . （1）的准线为；（2）直线与相切；（3）；（4）. 【答案】（2）（3）（4） 【分析】利用待定系数法求出参数，从而可以得到准线方程；再利用方程组思想得到的一元二次方程来判断是否相切；同理利用方程组和韦达定理，用坐标来表示各线段的长度，并转化到韦达定理上去，从而根据系数满足的范围去加以判断. 【详解】（1）因为在抛物线上，所以，解得：， 所以抛物线的准线方程为：，故（1）错误. （2），所以直线的方程为：， 由可得，抛物线方程为：， 联立直线和抛物线方程可得：可得：， 因为， 所以方程有唯一解， 即直线与抛物线相切，故（2）正确. （3）， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 直线与抛物线只有1个交点，不合题意，所以直线的斜率存在， 设直线的方程为：，， 联立可得：， 所以， ，故（3）正确. （4）， ，故（4）正确. 故答案为：（2）（3）（4）. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 16．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知椭圆（）的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合．若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图所示），则四边形面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】先由条件求得椭圆方程，再分类讨论直线斜率存在与否，联立直线与椭圆方程求得，联立直线与抛物线方程求得，从而得到四边形面积关于的表达式，由此得解. 【详解】由题意得，即，又，所以， 由，得，所以椭圆的方程为. 由题意得过点的直线的斜率不为零， 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 设，，，， 联立，消去得，易知， 则，， 所以， 抛物线的方程为，直线方程为， 联立，消去得， 则， 所以， 所以 ， 因为，所以，，； 当直线的斜率不存在时，，， 所以； 综上，，所以四边形面积的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 三、解答题 17．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【答案】(1)焦点坐标，准线方程为； (2)． 【分析】（1）由题意，根据所给抛物线的方程进行求解即可； （2）先根据定义求出点的横坐标，进而可得点的纵坐标，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式求解即可． 【详解】（1）因为，解得， 则抛物线的焦点坐标，准线方程为； （2）不妨设，， 因为，所以， 当时，解得， 不妨令，, 此时直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则． 18．（24-25高二上·上海·期中）已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2. (1)求p的值； (2)直线与抛物线C交于A，B两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据抛物线的几何性质可得； （2）利用韦达定理，结合求解可得. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 因为焦点F到准线的距离为2，所以. （2）由（1）可得抛物线方程为，联立得， 因为直线与抛物线C有两个交点， 所以，，解得且， 设，则， 得， 因为以为直径的圆经过坐标原点，所以， 所以，解得. 19．（24-25高二上·上海·期中）如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）.    (1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； (2)若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据抛物线定义及实际情况写出曲线方程即可； （2）令，，应用两点距离公式并化简得且，讨论、求对应距离最小值及点到道路的距离. 【详解】（1）如图，以为原点，为轴正方向建坐标系，则，    由题意，，即到直线的距离， 根据抛物线的定义知，曲线的方程为. （2）由题意，令，，则 ，且， 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； 20．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与Γ交于点A、B． (1)若，求线段AB的中点到x轴的距离； (2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）设，，则由已知结合抛物线的焦点弦公式得，设直线AB的方程为，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系结合前面的式子可求出，再结合中点坐标公式可求得答案； （2）设，，，，，表示出直线的方程，从而表示出，化简即可. 【详解】（1）设，，因为，所以． 由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为， 将直线方程代入抛物线方程得． 因为，所以，得． 设线段AB的中点，则， 所以线段AB的中点到x轴的距离为1． （2）准线方程，设，，，，， 直线AM的斜率为，直线BM的斜率为， 直线AM的方程为，直线BM的方程为， 所以， ． 设直线AB的方程为：，代入抛物线方程得， ，所以， 所以 ． 所以为常数．    【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是利用圆锥曲线中常用的方法“设而不求”，设出直线方程，设出交点坐标，考查计算能力，属于较难题. 21．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点．    (1)如图1所示，已知|，求线段中点到轴的距离； (2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值； (3)如图2所示，设为抛物线上的一点，过作直线，交抛物线于，两点，过作直线，交抛物线于，两点，且，，设线段MN与线段的交点为，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1)3 (2)4 (3) 【分析】（1）根据抛物线的性质求解即可； （2）由题意可知四边形的面积等于，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理和求解即可； （3）设点坐标为，将抛物线方程与直线，联立，利用韦达定理将点和点坐标用表示，进而可得到直线的方程，证明直线过定点即可求解. 【详解】（1）因为过焦点的直线交抛物线于，两点，且， 设，， 由抛物线的性质可得， 所以， 所以线段中点的横坐标，即为线段中点到轴的距离为. （2）由点与原点关于点对称，可知是线段的中点，    所以点与点到直线的距离相等，所以四边形的面积等于， 设直线的方程为，联立，消去可得， 设，，由韦达定理可得，， 所以， 当时，四边形的面积取最小值为4． （3）设点坐标为，点坐标为，点坐标为，      由题意可知直线的斜率存在，且不为， 则直线的方程为， 与抛物线联立，消去得， 由韦达定理可得，解得， 直线的方程为， 与抛物线联立，消去得， 由韦达定理可得，解得， 显然直线斜率不为零， 当直线斜率存在时，直线的方程为， 整理得：， 将，代入得： ， 所以直线过定点，即点坐标为，直线的斜率为， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 当时，， 当直线的斜率不存在时，设点坐标为，点的坐标为， 则，，且根据题意， 所以，解得， 所以直线的方程为过点， 综上所述，直线斜率的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为，形式； （5）代入韦达定理求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$