精品解析：四川省泸州高级中学校2024-2025学年高一上学期期末测试数学试题

泸州市泸州高级中学2024-2025学年上期高一期末测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效. 3.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，若，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数轴分析可得. 【详解】由数轴可知，当时满足题意， 即的取值范围为. 故选：B 2. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可. 【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误； 选项B：定义域不是，值域为，故错误； 选项C：定义域和值域均为，故正确； 选项D：不满足函数的定义，故错误； 故选：C. 3. 已知，若，则的值为 A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据同角三角函数的基本关系计算出，再由诱导公式计算可得. 【详解】解： ， 故选： 【点睛】本题考查同角三角函的基本关系及诱导公式的应用，属于基础题. 4. 设函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先利用在上单调递增，根据条件及图象与性质，得到，再根据，得不到在上单调递增，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果. 【详解】若在上单调递增，可得，所以， 则有，由图象与性质知， 又，所以， 又，则有，所以，故满足“必要条件”； 但当时，对于，无法成立，故不满足“充分条件”， 故选：B. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用进行分段，比较出三者的大小关系. 【详解】依题意， 所以. 故选:A 【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题. 6. 下列四个命题中的真命题有（ ） ①若，，则 ②若，，则 ③若，则 ④若，则 A. ②③ B. ②④ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】对于①④：根据不等式的性质即可判断；对于②③：举反例说明即可. 【详解】对于①：若，，根据同向可加性可得：，故①为真命题； 对于②：例如，满足，，但，故②为假命题； 对于③：例如，若，则，故③为假命题； 对于④：若，显然，可得，故④为真命题； 综上所述：真命题有①④. 故选：C. 7. 市场调查机构通过大数据统计发现：一棵某种水果树的产量单位：百千克与肥料费用单位：百元满足关系，且投入的肥料费用不超过百元此外，还需要投入其他成本如人工费等百元已知这种水果的市场售价为元千克即百元百千克，且市场需求始终供不应求记该棵水果树获得的利润为单位：百元，则有（ ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】由题意可知，， ，当且仅当，即时，等号成立， 当时，取得最大值． 故选：B． 8. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先由题意有，若是上的减函数，故只需当时，单调递减，从而列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】当时，单调递减，，且最小值为， 当时，当时，单调递增，不符题意， 又注意到是上的减函数， 故只能抛物线的开口向下即，其对称轴为， 则由题意有，解得． 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 在定义域上既有增区间又有减区间 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AB；利用赋值法结合奇偶函数定义判断C；举反例判断D. 【详解】对于A，由于函数的定义域为， 令，则，A正确； 对于B，令，则，B正确； 对于C，令，则， 取，则，即是偶函数，C正确； 对于D，取，满足函数的定义域为， 但在定义域上既没有增区间也没有减区间，D错误， 故选：ABC 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 已知且， B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，结合不等式的性质、假设法进行逐一判断即可. 【详解】对A：当时，，显然不成立，故本选项不是真命题； 对B：根据不等式的性质，由，即，所以本选项是真命题； 对C：根据不等式的性质，由，所以本选项是真命题； 对D：，所以，所以本选项是真命题. 故选：BCD 11. 已知函数，函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 不存在实数，使得 C. 若恒成立，则实数的取值范围为 D. 若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数以及对数函数的性质即可求解A，根据即可求解B，根据二次函数的性质即可求解C，根据函数图象，结合对数的运算即可求解D. 【详解】对于A，由于,，故函数的值域为，A正确， 对于B，当时，有，故B错误， 对于C， 由于，要使恒成立，则或，解得，故C正确 对于D， 令，则或， 作出的图象如下：要使有5个零点，如图，则， 由于，同理可得， 故，故D正确， 故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则等于___________. 【答案】2 【解析】 【分析】首先求幂函数的解析式，再代入求值. 【详解】设，，得， 即，所以. 故答案为：2 13. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，不等式为，显然成立，符合题意； 当时，则，解得. 综上所述，k的取值范围是． 故答案为：. 14. 已知函数，若存在，使得，当时，求的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，数形结合得到，并根据得到，由对勾函数性质求出最小值，得到答案. 【详解】， 画出其图象如下： 因为存在，使得，在同一坐标系内画出的图象， 故，故， 由于，故令，解得， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 故在处取得最小值，最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若或，求m的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集、并集、补集的定义求解即得. （2）利用交集的结果，借助集合的包含关系建立不等式并求解即得. 【小问1详解】 依题意，，或，当时，， 所以，. 【小问2详解】 若或，则或， 当时，，解得； 当时，若，则，解得， 若，则，无解，因此， 所以m的取值范围为. 16. 函数是定义在上的奇函数，且． （1）求的解析式； （2）判断并证明的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1）， （2）函数在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知得，求出，的值，即可求得函数的解析式，再检验即可； （2）根据函数单调性的定义可证明； （3）根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 经检验，时，， 所以是上的奇函数，满足题意， 又，解得， 故，； 【小问2详解】 函数在上单调递增，证明如下： 任取且， 则， 因为且，所以，， ，，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增. 【小问3详解】 因为为奇函数， 所以， 由（2）可知在上单调递增 所以，解得， 即不等式的解集为. 17. 已知函数（，）部分图象如下图所示. （1）求函数的解析式，并写出单调递增区间； （2）函数，若对任意，都有恒成立，求实数a取值范围. 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】(1)利用图像可以求出最小正周期，然后就可以求出 ；取得最大值时的x的取值，进而可以求出 ；整体代入求单调区间； (2)在给定区间 ，求出 的值域；把看成关于的二次函数，再解决不等式恒成立问题或利用双勾函数. 【小问1详解】 由图可知， ∴， ∵， ∴，， ， 又，∴， ∴， 由于，， ∴函数的单调递增区间为：，； 【小问2详解】 ， 令，则. ，； 法一：只需即可，对称轴为，开口向上， 或或 解得或， 法二：，恒成立， 恒成立，由双勾函数得在单调递减， 在单调递增，∴，∴. 18. 某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．若直方图中，时长落在区间内的人数为200． （1）求出直方图中的值； （2）估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）从参加课外兴趣班时长在和的学生按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，求各层中被抽到的人数. 【答案】（1） （2）中位数为，平均数为 （3）时长在的抽取人，时长在的抽取人， 【解析】 【分析】（1）先求出c,再利用面积和为1求出，再结合等差数列求解； （2）利用左右面积相等求中位数，由频率乘组距求和得平均数； （3）由分层抽样确定和的人数，再利用分层抽样确定各组的人数. 【小问1详解】 由已知可得， 则，即， 又，解得． 【小问2详解】 因为，， 设中位数为，且， 所以，解得，即中位数为； 平均数为; 【小问3详解】 由（1）知，按照分层抽样随机抽取6人中， 参加课外兴趣班的时长在内的有人， 参加课外兴趣班的时长在的学生有人. 19. 已知函数是指数函数，且其图象经过点，. （1）求的解析式； （2）判断的奇偶性并证明： （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）为奇函数，证明见解析 （3）6 【解析】 【分析】（1）设，代入点可求的解析式； （2）利用定义法判断并证明的奇偶性； （3）由的解析式，得不等式恒成立， 令，转化为在时恒成立，利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 设指数函数，且， 函数图象经过点，有，解得， 所以. 【小问2详解】 为奇函数，证明如下： ，函数定义域为R， ， 所以为奇函数. 【小问3详解】 不等式， 即，得， 令， 由，当且仅当，即时等号成立，得， 则有在时恒成立，得在时恒成立， ，当且仅当，即时等号成立，则有， 所以实数的最大值为6. 【点睛】关键点点睛： 不等式恒成立，即不等式恒成立，配方和换元是解题关键，利用配方得，利用换元得在时恒成立，结合基本不等式求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泸州市泸州高级中学2024-2025学年上期高一期末测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效. 3.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若，则的值为 A. B. C. D. 4. 设函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个命题中的真命题有（ ） ①若，，则 ②若，，则 ③若，则 ④若，则 A. ②③ B. ②④ C. ①④ D. ③④ 7. 市场调查机构通过大数据统计发现：一棵某种水果树的产量单位：百千克与肥料费用单位：百元满足关系，且投入的肥料费用不超过百元此外，还需要投入其他成本如人工费等百元已知这种水果的市场售价为元千克即百元百千克，且市场需求始终供不应求记该棵水果树获得的利润为单位：百元，则有（ ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 8. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 在定义域上既有增区间又有减区间 10. 下列命题是真命题的是（ ） A 已知且， B. 若，则 C. 若，则 D. 11 已知函数，函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 不存在实数，使得 C. 若恒成立，则实数的取值范围为 D. 若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数图象过点，则等于___________. 13. 若不等式对一切实数都成立，则取值范围为________． 14. 已知函数，若存在，使得，当时，求的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若或，求m的取值范围． 16. 函数是定义在上的奇函数，且． （1）求的解析式； （2）判断并证明的单调性； （3）解不等式． 17. 已知函数（，）部分图象如下图所示. （1）求函数的解析式，并写出单调递增区间； （2）函数，若对任意，都有恒成立，求实数a取值范围. 18. 某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．若直方图中，时长落在区间内的人数为200． （1）求出直方图中的值； （2）估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）从参加课外兴趣班的时长在和的学生按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，求各层中被抽到的人数. 19. 已知函数是指数函数，且其图象经过点，. （1）求的解析式； （2）判断的奇偶性并证明： （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$