2025年中考数学一轮复习专题35 锐角三角函数讲义+练习

专题35 锐角三角函数 模型1 锐角三角函数概念 5 模型2 同角锐角三角函数之间的关系 6 模型3 特殊角三角函数值 9 模型4 三角函数在0°~90°的增减性 10 模型5 解直角三角形 12 模型6 解直角三角形的应用 17 模型归纳 1．锐角三角函数 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 2．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． ①sin 30°＝，cos 30°＝，tan 30°＝． ②sin 45°＝，cos 45°＝，tan 45°＝1． ③sin 60°＝，cos 60°＝，tan 60°＝． （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 3．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 4．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． （3）坡度坡角问题 ①坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． ②把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． ③在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：测量领域、航空领域、航海领域、工程领域等． （4）仰角俯角问题 ①概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． ②解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． （5）方向角问题 ①在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． ②在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 方法归纳 1．熟记锐角三角函数的概念，可以简记为“正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻”． 2．同一锐角的三角函数之间的关系： （1）； （2）． 3．锐角三角函数值的本质是一个比值，它的大小只与锐角A的大小（即度数）有关，与所在的直角三角形的边的长度无关，即只要锐角A确定，其三角函数值也随之确定． 模型1 锐角三角函数概念 典例 （2024秋•徐汇区期末）在△中，，，，那么的值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：在△中，，，， 由勾股定理得：， ． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 熟记锐角三角函数的概念，可以简记为“正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻”． 【变式练1】　（2024秋•甘井子区期末）如图，在△中，，，，则　　 A． B． C．3 D． 【答案】 【解答】解：，，， ． 故选：． 【变式练2】　（2025•杨浦区一模）在△中，，，，那么的值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：在△中，，，， ， 故选：． 【变式练3】　（2025•松江区一模）在△中，，，，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：已知，，， 则， 故选：． 模型2 同角锐角三角函数之间的关系 典例 （2024•城关区校级模拟）在中，，，则的值为　　 A． B． C． D．8 【答案】 【解答】解：由题意，得， ， ． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ （1）； （2）． 【变式练1】　（2024•南山区校级模拟）已知是锐角，，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：如图所示： ， 设，， 则， ． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•射洪市校级期末）如果是锐角，且，那么的值是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， ， 设，， 由勾股定理得：， ． 故选：． 【变式练3】　（2023秋•大荔县期末）在△中，，若，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：根据题意可得：， ， 在△中，， ． 故选：． 模型3 特殊角三角函数值 典例 （2025•杨浦区一模）计算：． 【答案】． 【解答】解：原式 ． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ ①sin 30°＝，cos 30°＝，tan 30°＝． ②sin 45°＝，cos 45°＝，tan 45°＝1． ③sin 60°＝，cos 60°＝，tan 60°＝． 【变式练1】　（2025•虹口区一模）计算：． 【答案】． 【解答】解：原式 ． 【变式练2】　（2024秋•西安期末）计算：． 【答案】． 【解答】解： ． 【变式练3】　（2024秋•碑林区期末）计算： 【解答】解：原式， ， ， ． 模型4 三角函数在0°~90°的增减性 典例 （2024秋•沂源县期中）在中，，若，则锐角满足　　 A． B． C． D． 【解答】解：， ， ， ， ． 故选：． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 锐角三角函数值的增减性：锐角α的正弦sinα值随着∠α的增大而增大；锐角α的余弦cosα值随着∠α的增大而减小；锐角α的正切tanα值随着∠α的增大而增大． 【变式练1】　（2024秋•邗江区校级期中）比较，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：， ， ，， ，， ， 故选：． 【变式练2】　（2024秋•肇源县月考）若，则锐角 　　锐角（填、或． 【答案】． 【解答】解：，时，正弦的函数值随着角度的增大而增大， 若，则锐角锐角， 故答案为：． 【变式练3】　（2024秋•裕安区月考）比较大小： 　　． 【答案】． 【解答】解：，而， ， 故答案为：． 模型5 解直角三角形 典例 （2024秋•石景山区期末）已知：在△中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【解答】解：在△中， ， ． ， ． ， ． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 如果是斜三角形，则构造直角三角形．在不含直角三角形的图形中，如果求与三角形有关的线段长、非特殊角的某个三角函数、面积等问题，一般可通过分割图形、作高等方法，把问题转化为解直角三角形得以解决，辅助线是解题关键． “化斜为直”解斜三角形问题的方法：先通过作垂线（高），将斜三角形分割（或补）成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角在作垂线（高）时，要充分利用已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形的相关知识求解． 【变式练1】　（2024秋•房山区期末）如图，在△中，，，于点．若，求的长． 【答案】16． 【解答】解：在△中， ， ． 又， ． 在△中， ， ， ． 【变式练2】　（2025•浦东新区一模）如图，在△中，，，．点是边的中点，过点作的垂线，与边相交于点． （1）求线段的长； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1），，， ， ， ， ， 又为中点， ， ， ，， ， ； （2）作交于， 由（1）知， 则，， 设，则， 在△中，， 在△中，， ， 解得， ， ， ． 【变式练3】　（2024•凉州区一模）如图，在△中，，是边上的中线，过点作，垂足为点，若，． （1）求的长； （2）求的正切值． 【答案】（1）7． （2）6． 【解答】解：（1）设，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． （2）过点作于点， ， 是的中点， 是△的中位线， ，， 由（1）可知：， ，， ， ． 模型6 解直角三角形的应用 典例 （2024秋•苏州期末）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮到桌面的距离（精确到． （参考数据：， 【答案】． 【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，延长交于点． ， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 台灯的旋钮到桌面的距离约为． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 1．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据问题中的条件，选用合适的锐角三角函数解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 2．方位角 （1）解决实际问题时，可利用正南、正北、正东、正西方向线构造直角三角形． （2）观测点不同，所得的方位角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的． 【变式练1】　（2024秋•兰州期末）如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到0.01米）（参考数据：，，，，， （1）求液压杆顶端到底盘的距离的长； （2）求的长． 【解答】解：（1）液压杆与底盘夹角为，液压杆米，，当时， 在△中，， ， 米， 即的长为2.55米； （2）在△中，，米， ， 米， ， ， 米， （米， 即的长为1.81米． 【变式练2】　（2024秋•长沙期末）2024年9月30日是我国第十一个烈士纪念日，为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往湖南烈士公园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，于是想利用刚学的知识计算纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离）．他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，在点处测得碑顶的仰角为，已知，测角仪的高度是，，在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高．，结果保留一位小数） 【答案】烈士纪念碑的通高约为． 【解答】解：由题意得：，，，，， 是△的一个外角， ， ， ， 在△中，， ， 烈士纪念碑的通高约为． 【变式练3】　（2024•中山市一模）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶10千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，小敏发现风景区在地的北偏东方向． （1）求的度数； （2）求，两地的距离．（如果运算结果有根号，请保留根号） 【答案】（1）的度数为； （2），两地的距离为千米． 【解答】解：（1）如图： 由题意得：，，，， ， ， ， ， 的度数为； （2）过点作，垂足为， 在中，千米，， （千米）， 在中，， （千米）， ，两地的距离为千米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题35 锐角三角函数 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•西山区校级期末）如图，云南省博物馆大厅电梯的截面图中，的长为12米，与的夹角为，则高是　　 A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2024秋•惠山区期末）在△中，已知，，，则长为　　 A．12 B．26 C．24 D．13 3．（2024秋•涡阳县期末）在△中，，若，则的值等于　　 A． B． C． D．1 4．（2025•普陀区一模）在△中，，如果，那么的值是　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•苏州期末）在△中，若，，，则的值是　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•婺城区期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•昌平区期末）如图，在△中，，那么的值为　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•顺义区期末）如图，在△中，，，，则的长为　　 A．2 B．3 C． D． 9．（2024秋•温州期末）如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为　　 A． B． C． D．2 10．（2024秋•临澧县期末）在△中，，，，那么的值是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•碑林区校级期末）在△中，，，，则的度数为 　　． 12．（2025•长宁区一模）如图，点位于点的北偏西方向，点位于点的东北方向，线段为一条东西向的公路的一部分，如果点到公路的距离是米，那么公路的长为 　　米．（结果保留根号） 13．（2024秋•长安区期末）在学习锐角三角函数值过程中，你通过特殊角三角函数值或计算器的应用，可能了解到，，，，，，，值的大小与变化规律，根据这个规律判断：若，则的取值范围是 　　． 14．（2025•闵行区一模）在△中，，，，那么直角边长为 　　． 15．（2024秋•城阳区期末） 　　． 16．（2024秋•市北区期末）在△中，，，，则　　． 17．（2025•青浦区一模）在△中，，点、分别在边、上，且垂直平分．联结，如果，那么 　　． 18．（2025•杨浦区一模）在△中，，，垂足为点，，，那么的长为 　　． 19．（2024秋•武都区期末）如图，在△中，，，，则△的面积为 　　． 20．（2024秋•永寿县校级期末）如图，小杰沿着坡比为的斜坡，从坡底沿水平方向前进了到达处，那么他上升的高度是 　　． 三、解答题（共8小题） 21．（2024秋•瑶海区期末）计算：． 22．（2024秋•房山区期末）计算：． 23．（2024秋•湖州期末）计算．． 24．（2024秋•顺义区期末）某校九年级数学兴趣小组开展测量“学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取，两处，，在同一条直线上），测得地面上，两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为和．请根据他们的测量数据，求旗杆的高大约是多少？（结果精确到． （参考数据：．，，，， 25．（2024秋•湖州期末）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．在“综合与实践”活动中，瑶瑶计划借助无人机测量月亮酒店大楼的高度，她设计了如下测量方案： 如图，瑶瑶站在离月亮酒店大楼水平距离为40米的广场高地处，处高出湖面的距离米，无人机旋停在点正上方的点处，测得月亮酒店大楼的顶部处的俯角的正切值是，此时无人机离湖面的高度为120米，已知瑶瑶的目高（眼睛到地面的距离）米． （1）求月亮酒店大楼的高度． （2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以4米秒的速度继续向前匀速飞行，求经过12秒时，无人机是否离开瑶瑶的视线？请说明理由． 26．（2024秋•郑州期末）如图，小明在高度为24米的楼顶处观测到楼后一棵树的最高点的俯角为，小红在高4米的二楼窗户处观测到树的最高点的仰角为，已知他们的观测点，和楼底在一条直线上，求树的高度．（精确到0.1米，参考数据：，， 27．（2024秋•娄底校级期末）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于点，已知坡道的坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，的长为7.2米，的长为0.4米． （1）请求出的长？ （2）按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点到的距离）． 28．（2024秋•西安期末）如图，在△中，，点为的中点，交于点，连接，，． （1）求的长； （2）求的值． 参 考 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B C B B D B B 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【解答】解：的长为12米，与的夹角为， 在△中，， （米． 故选：． 2．【答案】 【解答】解：在△中，，，， ， 故选：． 3．【答案】 【解答】解：， 故选：． 4．【答案】 【解答】解：在△中，，， ， 故选：． 5．【答案】 【解答】解：在△中，，，， ， 故选：． 6．【答案】 【解答】解：过点作轴的垂线，垂足为，如图所示， ，， ，， ． 在△中， ， ． 故选：． 7．【答案】 【解答】解：在△中，． 故选：． 8．【答案】 【解答】解：过点作的垂线，垂足为， 在△中， ． ，， ， 则． 在△中， ， ， ． 故选：． 9．【答案】 【解答】解：连接， 设小正方形边长为1， ，，， ， △是直角三角形， ， 在△中，，， ， 故选：． 10．【答案】 【解答】解：根据题意，得， 故选：． 二、填空题（共10小题） 11． 【解答】解：，，， ， ． 12．【答案】． 【解答】解：过点作于点， 由题意得，，， 在△中，， 在△中，， ， 即公路的长为． 故答案为：． 13．【答案】． 【解答】解：当时，随的增大而增大， 若，则． 故答案为：． 14．【答案】4． 【解答】解：，，， ， ． 故答案为：4． 15．【答案】． 【解答】解： ， 故答案为：． 16．【答案】． 【解答】解：，， ， ， ． 故答案为：． 17．【答案】． 【解答】解：如图所示， 垂直平分， ． 由得， 令，则， ． 在△中， ， ， ． 在△中， ． 故答案为：． 18．【答案】12． 【解答】解：如图所示， ，， ， ， ． 在△中， ， 又， ， ． 故答案为：12． 19．【答案】． 【解答】解：过点作的垂线，垂足为， 在△中， ． ，， ， ． 故答案为：． 20．【答案】40． 【解答】解：在△中，， ， ， ， 他上升的高度是， 故答案为：40． 三、解答题（共8小题） 21．【答案】． 【解答】解： ． 22．【答案】． 【解答】解：原式 ． 23．【答案】1． 【解答】解：原式 ． 24．【答案】旗杆的高大约是． 【解答】解：由题意得：， ， 设 ， ， ， 在△中，， ， 在△中，， ， ， 解得：， ， 旗杆的高大约是． 25．【答案】（1）100米； （2）无人机没有离开瑶瑶的视线，理由见解答． 【解答】解：（1）延长交过的水平线于， 由题意得：四边形为矩形， 米，米， 则米， 米． （2）无人机没有离开瑶瑶的视线； 过作于，延长交的延长线于， 则米，，米， △△， ，即：， 解得：， （米， ， 无人机没有离开瑶瑶的视线． 26．【答案】12.6米． 【解答】解：如图，过点作于点， ． 设，则． 由题意可得，，， 在△中，． 在△中，， ， ， 解得（米， 则（米． 27．【答案】（1）2.6（米；（2）2.4（米． 【解答】解：（1）如图，由题意可知，， ， ， ， 米， 米， 米， （米； （2）过点作于，如图所示： ， ， ， ， ， 设，， ， 米， ， 解得：， （米， 答：该车库入口的限高数值为2.4米． 28．【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）在△中， ． ，， ， 则． （2）点为的中点，且， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$