7.2 相交线 第1课时-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步课件(冀教版2024)

第 七章 相交线与平行线 7. 2 相交线 第1课时 学习目标 1.知道同一平面内两条直线只有相交和不相交（平行）两种位置关系. 2.理解对顶角，探究并掌握“对顶角相等”这一结论. 3.理解垂线、垂线段的概念，能过一点画已知直线的垂线，掌握垂线的基本事实. 学习重难点 1.理解对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念. 2.理解垂线、垂线段的概念. 1.探究并掌握“对顶角相等”这一结论. 2.掌握垂线的基本事实. 难点 重点 情境导入 北京立交桥 相交线 平行线 新知引入 知识点1 对顶角 观察与思考 在平面上任意画出两条直线，这两条直线的位置关系有几种可能？ 相交 不相交（平行） l1 l2 O 1 2 3 4 思考探究 1.如图：两条直线l1和l2相交于点O，形成几个小于平角的角？ 2.∠1和∠2有什么位置特征？ ∠1和∠3：具有公共顶点，并且两边互为反向延长线，我们把具有这种特殊位置关系的两个角叫作对顶角。 ∠1和∠2：具有公共顶点，一边互为反向延长线，另一边重合，我们把具有这种特殊位置关系的两个角叫作邻补角。 4.你还能指出类似位置关系的两个角吗？ 3.∠1和∠3有什么位置特征？ l1 l2 O 1 2 3 4 思考探究 1.如图：两条直线l1和l2相交与点O，当一条直线绕点O转动时，你能猜想∠1和∠3的大小关系吗？ 2.你能用测量或叠合的方法验证你的猜想吗？ 3.请结合“同角的补角相等”这一事实出发，用说理的方法来验证你的猜想吗？ 理由：因为 ∠1与∠2互补，∠2与∠3互补（已知） 所以 ∠1=∠3 （同角的补角相等） 对顶角相等 例题示范 如图，∠1与∠2是对顶角的是(　 　) 例1 判断两个角是不是对顶角，要紧扣对顶角的定义， A 图中∠1和∠2的顶点不同；B 图中∠1和∠2的两 边都不是互为反向延长线；C 图中的∠1和∠2符合 定义；D 图中∠1和∠2有一条公共边． 解析： C 知识点2 垂线 1.垂直的定义：在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b.当b的位置发生变化时，a、b所成的∠ 也会发生变化.当∠ = 90°时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b. 垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.在下图中，AB⊥CD，垂足为O. A B C D O A B C D O 这个推理过程可以写成下面的形式： 因为∠AOC = 90°， 所以AB⊥CD（垂直的定义）． 反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOC 是多少度？ A B C D O A B C D O 从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键是：只要找到两条直线相交时四个交角中有一个角是直角. 日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下图中的一些互相垂直的直线.你能再举出其他例子吗? 窗户的四边 围栏 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠BOC = 90°，则AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足. 垂直的表示方法： 如果用 l，m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m 垂直，可记作：l⊥m (或 m⊥l ). A B C D O l m 垂直的定义具有双重作用： ①知线垂直得直角； ②知直角得线垂直. 如图，①若 AB⊥CD，则∠BOC =∠AOC =∠AOD = ∠BOD =90°； ②若∠BOC =90°，则 AB⊥CD. A B C D O 例题示范 例2 如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射 线OE，OF是什么位置关系？请说明理由． 解：射线OE，OF互相垂直．理由如下： 因为CO⊥AB，所以∠AOC＝90°. 又因为∠AOE＝∠COF， 所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE， 即∠AOC＝∠EOF＝90°.　 所以OE与OF互相垂直(垂直定义)． 知识点3 垂线的画法及基本事实 1.落. 2.画. 如图，已知直线 l，作 l 的垂线. l O A 这样画直线 l 的垂线可以画几条？ 无数条. 16 l A B 1.落. 2.移. 3.画. 如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 作 l 的垂线. 这样画直线 l 的垂线可以画几条？ 一条. l A B 1.落. 2.移. 3.画. 如图，已知直线 l 和 l 外的一点 A ，过点 A 作 l 的垂线. 这样画直线 l 的垂线可以画几条？ 一条. 用三角尺画垂线的方法： 一贴，用三角尺的一条直角边贴住已知直线； 二靠，用三角尺的另一条直角边靠住已知点； 三画，画出垂线． 如果作线段互相垂直或作射线的垂 线，实际上是作线段所在的直线互相垂直，或作射线 所在的直线的垂线，因为射线和线段都是直线的一部 分．在垂线的画法中，有时需延长线段，垂足在延长 线上，并记上直角符号“﹁”． 注意：画垂线也可用以下两种方法： (1)利用量角器画；(2)用折叠法画． 基本事实：经过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线垂直. 总结归纳 例题示范 例3 如图，分别过点 P 作线段 MN 的垂线. M N P M N P Q P M N Q P M N Q 知识点4 垂线段的定义及性质 猜一猜：哪条线段是垂线段？ C D E l B A 定义：过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫做这点到已知直线的垂线段. 想一想：比较AB,AC,AD,AE 的长短，这些线段中，哪一条最短？ C D E l B A 线段AD最短. 想一想：以点A为圆心，AD的长为半径画弧，圆弧分别与线段AB，AC，AE相交于点B1，C1，E1.线段AB1，AC1，AE1，AD相等吗？由此能进一步验证你的猜想吗？ C D E l B A B1 C1 E1 垂线性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离． 总结归纳 注意： (1)连接直线外一点与直线上各点有无数条线段，但垂线段只有一条. (2)垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量. (3)垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量. 例题示范 例4 如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由. 张庄 ∟ 理由：垂线段最短 N 随堂练习 下列说法正确的有(　　) ①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等. A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个 B 1 2.如图，小强和小丽一起玩跷跷板，横板AB绕O 上下转动，当小强从A到A′的位置时，∠AOA′＝45°，则∠BOB′的度数为________，理由是__________________. 45° 对顶角相等 3.如图，点 A，B，C 在直线 l 上，PB⊥l，PA = 6 cm，PB = 5 cm，PC = 7 cm，则点 P 到直线 l 的距离是 cm. 5 1.点 P 为直线 l 外一点，点 A，B，C 为直线 l 上三点，PA = 2 cm，PB = 3 cm，PC = 4 cm，则点 P 到直线 l 的距离( ) A.等于 2 cm B.小于 2 cm C.大于 2cm D.不大于 2 cm D 拓展提升 2.如图，直线 AB，CD 相交于 O 点，OM⊥AB 于 O . （1）若∠1 =∠2，求∠NOD； （2）若∠BOC = 4∠1，求∠AOC 与∠MOD. 解：（1）因为 OM ⊥ AB ，所以∠1 + ∠AOC = 90°. 又∠1 = ∠2，所以∠2 + ∠AOC = 90°， 所以∠NOD = 180°-（∠2 + ∠AOC）= 180°- 90°= 90°. （2）由已知条件∠BOC =4∠1，即 90°+∠1 = 4∠1， 可得∠1 = 30°，所以∠AOC = 90°- 30° = 60°， 所以由对顶角相等可得∠BOD = 60°， 所以∠MOD = 90°+∠BOD = 150°. 3.如图，火车站、码头分别位于 A，B 两点，直线 a 和 b 分别表示河流与铁路. (1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由； (2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由； (3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由. A a B b 两点之间，线段最短 垂线段最短 垂线段最短 归纳小结 垂线 垂线和垂线段 定义 基本事实 垂线段 定义 点到直线的距离 经过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段最短 性质 相交线 对顶角 对顶角相等 绿卡图书—走向成功的通行证 36 $$