6.4 简单的三元一次方程组-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步课件(冀教版2024)

第六章 二元一次方程组 6. 3 简单的三元一次方程组* 学习目标 1.了解三元一次方程组的概念. 2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想． 3.会利用简单的三元一次方程组解决实际问题. 学习重难点 能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想． 会利用简单的三元一次方程组解决实际问题. 难点 重点 回顾复习 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 二元一次方程组中方程的公共解 含有两个未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的次数都是1，并且一共有两个方程的方程组 二元一次方程组 二元一次方程 二元一次方程组 概念 解 概念 解 含有两个未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的次数都是 1 的方程 创设情境 前面我们学习了二元一次方程组及其解法.有些含有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，这时又该怎么解决呢？ 提问 这节课我们就来学习三元一次方程组及其解法. 可以设3个未知数吗？ 新知引入 知识点1 三元一次方程组 问题： 1．题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？ 2．根据等量关系你能列出方程组吗？ 3.观察列出的三个方程，你有什么发现？ 小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元的纸币各多少张？ 问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？ 未知量： 一元纸币的数量 两元纸币的数量 五元纸币的数量 每一个未知量都用一个字母表示 x张 y张 z张 三个未知数（张） 问题2：等量关系： (1)一元纸币的数量+两元纸币的数量+五元纸币的数量=12 (2)一元纸币的数量=4×两元纸币的数量 (3)一元纸币的数量+2×两元纸币的数量+5×五元纸币的数量=22 用方程表示等量关系. x+y+z=12.  x=4y.  x+2y+5z=22.  问题3：观察列出的三个方程，你有什么发现？ 二元一次方程 三元一次方程 含两个未知数 未知数的次数都是1 含三个未知数 未知数的次数都是1 x+y+z=12.  x+2y+5z=22.  x=4y.  因一元、两元、五元的数量必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起. 归纳：在这个方程组中，含有三个未知数，每个方程中所含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 例题示范 例 下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) A. B. C. D. A 新知引入 知识点2 三元一次方程组的解法 如何解这个三元一次方程组呢？ 解三元一次方程组的基本思路： 消元 消元 一元一次方程 二元一次方程组 三元一次方程组 ① ② ③ 解：将③代入①②，得 即 解这个方程组，得 把 y=2 代入③，得 x=8. 因此，这个三元一次方程组的解为 答：1元、2元和5元纸币分别为 8 张、2 张、2 张． 还有其他方法吗？ ① ② ③ 解：①×5-②，得 4x+3y=38. ④ ③与④组成方程组 解这个方程组，得 ① ② ③ ① ② ③ 把 x=8，y=2 代入①，得 8+2+z=12，解得 z=2. 因此，这个三元一次方程组的解为 答：1元、2元和5元纸币分别为 8 张、2 张、2 张． 特别解读： 解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该根据方程组中各方程的特点选择最为简便的解法，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元. 解三元一次方程组的一般步骤： (1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未 知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系 数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一 起． 例题示范 例1 解方程组 解：①×2+②，得 5x+8y=7. ④ ③与④组成方程组 解这个方程组,得 把 x=3，y=-1 代入①得， 3+3×(-1)+2z=2，解得 z=1. 因此，这个三元一次方程组的解为 例2 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，c的值. 分析已知条件，你能得到什么？ 问 怎么解？ 1. 先消去哪个未知数？为什么？ 问 2. 选择哪种消元方法，得到二元一次方程组？ 解： 根据题意，得三元一次方程组 ②-①，得 a+b=1; ④ ③-①，得 4a+b=10; ⑤ ① ② ③ ④与⑤组成方程组 解这个方程组，得 所以 即 a，b，c 的值分别为 3，-2，-5. 把 代入①，得 c=-5. 解：根据题意，得三元一次方程组 ②-①×4，得 6b-3c=3，即 2b-c=1. ④ ③-①×25，得 30b-24c=60，即5b-4c=10. ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 ① ② ③ 消去 a 解这个方程组，得 因此 即 a，b，c 的值分别为 3，-2，-5. 把 代入①，得 a=3. 解：根据题意，得三元一次方程组 ①×2+②，得 6a+3c=3，即 2a+c=1. ④ ①×5+③，得 30a+6c=60，即 5a+c=10. ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 ① ② ③ 消去 b 解这个方程组，得 因此 即 a，b，c 的值分别为 3，-2，-5. 把 代入①，得 b=-2. 随堂练习 1.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 D 2.解方程组 ,则x＝_____，y＝_______， z＝_______. x＋y－z＝11， y＋z－x＝5， z＋x－y＝1. ① ② ③ 6 8 3 3.解方程组 解：①+③，得 5x+y=7. ④ ④与⑤组成方程组 解这个方程组，得 把 x=1，y=2 代入②，得 1+2+z=6，解得 z=3. 因此，这个三元一次方程组的解为 ②+③，得 4x-y=2. ⑤ 4.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=5时，y=60；当x=0时，y=-5求a2+2ab+c2的值． 解：(1)根据题意，得 解得 所以a2+2ab+c2 =32+2×3×（-2）+（-5）2=22. 拓展提升 1.对于方程组 此二元一次方程的 最优的解法是先消去（ ）转化为二元一 次方程组. C 2x+3y=5，2x+y+z=6， 3x-2y-z=-2， D.都一样 2.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值． 解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0. 可得方程组 解得 3.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数． 解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得 解得答：原三位数是368. 归纳小结 解三元一次方程组的一般步骤： (1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未 知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系 数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一 起． 利用三元一次方程组解决实际问题的步骤： 认真审题，明确等量关系 ①审 恰当地设未知数 ②设 依据等量关系列出方程组 ③列 解方程组，求出未知数的值 ④解 写出答 ⑥答 检验是否符合题意和实际意义 ⑤验 绿卡图书—走向成功的通行证 35 $$