2024年江苏省连云港市宁海中学创新班提前招生数学试卷

2024年江苏省连云港市宁海中学创新班提前招生数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若二次函数的图象经过点、，则m的值为(    ) A. 0 B. 3 C. 1 D. 0或3 2.小明同学在计算出8个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是(    ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3.已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是(    ) A. 0个 B. 1个 C. 不少于2个但有限个 D. 无数个 4.如图四边形ABCD与BEFG是并列放在一起的两个正方形，O是BF与EG的交点.如果正方形ABCD的面积是9，，则的面积为(    ) A. 1 B. C. 4 D. 5.将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，其中正方形和正五边形的下底边是水平共线的，如果，那么(    ) A. B. C. D. 6.若实数x满足，则x应满足的条件是(    ) A. 或 B. C. D. 7.如图的三条高相交于点G，CH是角平分线，已知，，则图中的等腰三角形共有个. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8.如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在纸片中，，，，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分，则AD的长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点D的坐标为，反比例函数经过点D，若AC的延长线交y轴于点E，连接BE，则的面积为(    ) A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 11.如图，正方形ABCD的边长是3，，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确结论的个数是(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12.在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是(    ) A. 点P是三边垂直平分线的交点 B. 点P是三条内角平分线的交点 C. 点P是三条高的交点 D. 点P是三条中线的交点 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 13.已知a是一元二次方程的一个解，则代数式的值是______. 14.如图，正八边形ABCDEFGH中，______. 15.若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______. 16.有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则FI的长______. 17.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，将边AD绕点D逆时针旋转得到DE，线段DE交边BC于点F，连接若，，，则线段BC的长为______. 18.如图，等腰直角的斜边AB下方有一动点D，，BE平分交CD于点E，则的最小值是          . 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题6分 已知实数a、b满足，，求的值. 20.本小题8分 今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：，B：，C：，D：并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题： 请把条形统计图补充完整． 扇形统计图中______，______，B等级所占扇形的圆心角度数为______. 该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生用，表示，两名女生用，表示，请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 21.本小题8分 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： 如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？ 如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，，，，点B到直线AD的距离为 ①求BE的长； ②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求周长的最小值． 22.本小题8分 已知在平面直角坐标系中，直线：交坐标轴于A、B两点，直线：交坐标轴于C、D两点，已知点， 设与交于点E，试判断的形状，并说明理由； 点P、Q在的边上，且满足与全等点Q异于点，直接写出点Q的坐标. 23.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、 求抛物线的函数表达式； 点D是线段BC上一动点，点D关于AC、AB的对称点分别为点M、N，连接MN交线段AC、AB于E、求最小值； 在的条件下请直接写出线段MN的取值范围. 24.本小题10分 如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为，点P沿运动.到点B停止，点Q沿运动，到点C停止.连接AP、AQ、PQ，设的面积为这里规定：线段是面积为0的几何图形，点Q的运动时间为 当时，求x的值； 当时，求y与x之间的函数关系式； 直接写出在整运动过程中，使的所有x的值. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：二次函数的图象经过点、， 函数图象关于y轴对称， 函数的解析式形式应该是型， ， 解得：或， 二次函数的二次系数不能为0， 故选： 由于函数图象关于y轴对称，则函数的解析式形式应该是型，由此求得问题的答案． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够明确函数图象关于y轴对称是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：小明同学在计算出8个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是平均数， 故选： 由平均数的定义可得答案． 本题主要考查平均数，中位数、众数和平均数，解题的关键是掌握平均数，中位数、众数和平均数的定义． 3.【答案】A  【解析】解：由直线， 得， 如果直线上存在横、纵坐标都是整数的点， 得x，y都是整数， 得4y，2x都是偶数， 与中13为奇数矛盾， 故选： 由直线，可得，如果直线上存在横、纵坐标都是整数的点，可得x，y都是整数，即可得4y，2x都是偶数，与中13为奇数矛盾，故应选： 本题主要考查了不定方程问题，解题关键是反证法的应用． 4.【答案】D  【解析】解：连接BD， 正方形ABCD的面积是9， ， ， ， 正方形BEFG的面积， 四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形， ， ， 的面积的面积正方形BEFG的面积， 故选： 连接BD，根据正方形的面积可得，从而可得，进而可得正方形BEFG的面积，然后根据正方形的性质可得，从而可得，然后利用平行线间的距离处处相等可得：的面积的面积正方形BEFG的面积，即可解答． 本题考查了正方形的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：如下图所示： 为正三角形， ， ，， ， 五边形PQRST为正五边形， ， ， 四边形ABCD为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： 根据正三角形的内角等于，得，根据正五边形的内角等于，得，再根据正方形的内角等于得，进而得，然后由三角形的内角和定理得，最后再根据可得出的度数． 此题主要考查了等边三角形的性质，正方形的性质，正五边形的性质，邻补角的性质，三角形的内角和定理，准确识图，熟练掌握正三角形的内角等于，正方形的内角等于，正五边形的内角等于，三角形的内角和等于是解决问题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：当时，则， ， ； 当时，则， ，， ； 当时，则， ，， 综上所述：若实数x满足，则x应满足的条件是 故选： 当时，则，，由此可得；当时，则，，由此得；当时，，，由此得；综上所述即可得出答案． 此题主要考查了二次根式的性质及化简，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 7.【答案】D  【解析】解：①，， 是等腰三角形； ②，， 是等腰三角形； ③， ， 是角平分线， ， ， 是等腰三角形； ④， ， ， 是等腰三角形； ⑤， ， ， ， 是等腰三角形； ⑥， 是等腰三角形； ⑦， ， ， 是等腰三角形； ⑧是等腰三角形； 综上分析，图中等腰三角形共有8个：、、、、、、、 故选： 根据条件和等腰三角形的判定分别找出等腰三角形即可． 本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解答本题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：过点O作于E，于D，于F， ， ， 由题意得，， ， ，，， 平分，OC平分， ，， ， ， 故选： 过点O作于E，于D，于F，根据心角、弧、弦的关系定理得到，根据角平分线的判定定理、三角形内角和定理计算，得到答案． 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、角平分线的判定，掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：作于H， 在纸片中，， 由勾股定理得：， 将沿DE翻折得， ，， 平分， ， ， 设， 在中，， ， ， ∽， ， ， ， 故选： 由翻折得出，，再根据FD平分，得出，然后借助相似列出方程即可． 本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：点D的坐标为，， ，， ， ， ， 即， 的面积， 故选： 依据点D的坐标为，，即可得出，，进而得到，再根据，可得，进而得到的面积 本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用．解题的关键是将的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法． 11.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 由四边形ABCD是正方形，得到，，根据全等三角形的性质得到，根据余角的性质得到；故①正确；根据相似三角形的性质得到，由，得到；故②错误；根据全等三角形的性质得到，，于是得到，即；故③正确；根据相似三角形的性质得到，求得，，，由三角函数的定义即可得到结论． 【解答】 解：四边形ABCD是正方形， ，， ， ， 在与中，， ≌， ， ， ， ， ； 故①正确； ，， ， ∽， ， ， ， ， ， ；故②错误； 在与中， ≌， ， ， 在与中，， ≌， ， 即；故③正确； ，， ， ∽， ， ，， ∽， ， ，， ， ，故④正确， 故选： 12.【答案】D  【解析】解：过P作于D，过P作于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，如图： ，，， 四边形AEPD是矩形， 设，， 中，， 中，， 中，， ， ，时，的值最小， 此时，， ，， ， ，即， ， ，即M是AB的中点， 同理可得，N为AC中点， 是三条中线的交点， 故选： 过P作于D，过P作于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，设，，则，当，时，的值最小，此时，，由，得，M是AB的中点，同理可得，N为AC中点，即P是三条中线的交点． 本题考查直角三角形中的最小值，涉及勾股定理、二次函数的最大值、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是求出， 13.【答案】2  【解析】解：把代入方程得：， ，， ， 故答案为： 把代入方程得：，从而求出， 的值，再整体代入是代数式进行计算即可． 本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 14.【答案】  【解析】解：八边形ABCDEFGH是正八边形， ， 平分， ， 故答案为： 根据多边形内角和与正多边形的性质求得的度数，然后根据BF平分即可求得答案． 本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，结合已知条件得出BF平分是解题的关键． 15.【答案】或  【解析】解：由函数图象可知，当或时，函数图象在x轴的下方， 函数的图象与x轴的交点为3，5， 不等式的解集为或 故答案为：或 直接利用函数图象即可得出结论． 本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 16.【答案】  【解析】解：由题知，，，， ，， ， ， ∽， ， 即， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得或舍去， 故答案为： 根据题意得出，，，证∽，根据线段比例关系得出FI的长度即可． 本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质并根据比例关系求值是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：连接AE，过点E作于点G， 四边形ABCD是平行四边形， ，， 将边AD绕点D逆时针旋转得到DE， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为 连接AE，过E作于G，由旋转的性质得出，，证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，证出，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，以及旋转的基本性质． 18.【答案】  【解析】解：如图，取AB的中点O，连接OC，OD， ，， ， ，C，B，D四点共圆， ， ， ，， ， 平分， 点E是的角平分线的交点， 平分， ， ，， ， 定值， 当CD的值最大时，的值最小， 是直径时，的值最小，最小值， 故答案为： 如图，取AB的中点O，连接OC，OD，想办法证明，当CD是直径时的值最小． 本题考查了三角形的内心、等腰直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、等腰三角形的判定等知识；证明是解题的关键． 19.【答案】解：， ， ， ， ，   【解析】根据完全平方公式进行计算即可． 本题考查了完全平方公式，灵活应用完全平方公式是解答本题的关键． 20.【答案】解：被调查的总人数为人， 等级人数为人， 补全图形如下： ，5，； 画树状图如下： 共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为  【解析】解：见答案； ，即， ，即； B等级所占扇形的圆心角度数为， 故答案为：15，5，； 见答案． 先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形； 根据种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数； 分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得． 本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 21.【答案】解：四边形ABCD是正方形， ， 将绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上， ，， ， ， 四边形BEDF为“直等补”四边形； ①过C作于点F，如图1， 则， 四边形ABCD是“直等补”四边形，，，， ，， ， ， ， 四边形CDEF是矩形， ， ， ， ，， ≌， ， 设，则， ， ， 解得，，或舍， ； ②如图2，延长CB到F，使得，延长CD到G，使得，连接FG，分别与AB、AD交于点M、N，过G作，与BC的延长线交于点 则，， ， ，， 的周长的值最小， 四边形ABCD是“直等补”四边形， ， ， ， ， ∽ ，， ， ， ，， ， ， 周长的最小值为   【解析】由旋转性质得，再证明，便可； ①过点C作于点F，证明≌得，设，在中，则勾股定理列出x的方程解答便可； ②延长CB到F，使得，延长CD到G，使得，连接FG，分别与AB、AD交于点M、N，求出FG便是的最小周长． 本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第①题关键在证明全等三角形，第②题关键确定M、N的位置． 22.【答案】解：把，代入：得， 解得，， 直线的解析式为； 联立，得， 解得， 点E的坐标为， 对于直线，当时，， ， 又， ， 即，，， ， 是等腰三角形； ①当P，Q在CE上时，如图1，此时，≌， ， 设， 又， ， 解得，舍去， ， ； ②当P在CE上，Q在AE上时， 如图2，此时，≌， ，， ， 设，则， 代入，得， 解得， 则， ； ③P在AE上，Q在AC上时， 如图3，此时，≌， ， ； ④当P在AC上，Q与点E重合时， 如图4，此时，≌， 则， ， ， ， 与点E重合， ； 综上，点Q在坐标为，，，  【解析】由待定系数法求出的解析式为，联立方程组联立，得，得到点E的坐标为，由，求出点A的坐标，分别求出，，，从而可判断出为等腰三角形； 分①P，Q在CE上；②P在CE上，Q在AE上；③P在AE上，Q在AC上；④P在AC上，Q与点E重合四种情况结合图形求解即可 本题是一次函数的综合题，主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形以及一次函数与几何综合等知识，正确进行分类讨论是解答本题的关键． 23.【答案】解：抛物线经过、、， ， 抛物线的函数表达式为； 连接AD，DM，DN，如图， 点D关于AC、AB的对称点分别为点M、N， 垂直平分DM，AB垂直平分DN， ，， ， ， 、、， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ∽， ， ， 点D是线段BC上一动点， 当时，AD取得最小值，此时值最小． 当时， ， ，， ， 最小值为， 的最小值为； 由知：为等腰直角三角形， ， ， 点D是线段BC上一动点， 点D与点B重合时，，点D与点C重合时，， ， 的最大值， 当时，AD取得最小值为， 的最大值，MN的最小值 线段MN的取值范围为  【解析】利用待定系数法解答即可； 连接AD，DM，DN，利用轴对称的性质和等腰三角形的性质得到，；由，得到，则为等腰直角三角形，再利用相似三角形的判定与性质得到，利用垂线段最短的性质和三角形的面积公式求得AD的最小值，则结论可得； 利用的结论，利用AD的最小值与最大值解答即可得出结论． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，垂线段的性质，利用点的坐标变速箱相应线段的长度是解题的关键． 24.【答案】解：如图1： ， ∽， ， ， ； 如图2，当时，过点P作，垂足为点E， 四边形ABCD是矩形， ， ， ∽， ， ， ， ， ， 如图3，当时，过点P作，垂足为点F，延长FP交CD于点G， 则， ∽， ， ， ， ， ， ； ， ； 如图4，当时，过点Q作，垂足为点H，则， ， ， 综上所述； ， 当点P在OC上时，如图5，作于H， 则，∽， ， ， ， ， 解得，； 当Q与D重合时，如图6，，， 时，； 当点P停止运动，Q运动到CD的中点时，如图7， ，则≌， ， ， 此时，， 时，   【解析】根据相似三角形的判定和性质进行解答即可； 分三种情况利用相似三角形的判定和性质进行解答； 分点P、Q在不同位置，根据等腰三角形的性质解答出x的值即可． 此题考查的是四边形综合题，涉及的知识有：矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$