拓展练：泰勒展开式与超越不等式-2025届高三数学二轮复习

泰勒展开式与超越不等式 一、单选题 1.下列结论中正确的个数为() ①sinx<x,x>0:②lnx<x;③er>x+l. IAIO [B]1 Ic12 [D]3 2.已知a=e0.02,b=1.012,c=ln2.02,则() IAla>b>c [Blb>a>c Icla>c>b IDlb>c>a 3.已知a=e-2,b=1-n2,c=e-e2,则() 【A1c>b>a [B]a-b-c Icla-c>b IDlc-a>b 4.已知a=sin13,b=13,c=1π，则( ) IAlc<b<a IBla<b<c Ic]a<c<b [D]c<a<b 5.(2024辽宁十一所重，点中学联考)设a=23,b=2-e13,c=1-e-23则() IA]a<b<c [B]c<b<a Ic]b<c<a ID]a<c<b 6.(2024石家庄调研)已知a=e0.1,b=31.3,c=1.052,则() [Ala-b-c [Blc>b-a Ic]b->c>a IDla-c>b 二、多选题 7.(2024济南质检)已知实数a,b满足a<b,则( [A1a2<b2 [B]a3<b3 Ic]Ib<la IDl a-sin a<b-sin b 8.已知数列{an}满足a=2,an+1=4a2n一an,neN*,则下列结论正确的是() 【A1am>1 [B]an+1>an [CI存在无穷多个k∈N,使a=23k-2 [D]1a1+1a2+…+1am<1 三、填空题 9.(2024西安调研)记0x)为函数x)的n阶导数且2x)=[/f(x',mx)= [-1(x)'(n≥3，n∈N.若fm(x)存在，则称x)n阶可导.英国数学家泰勒发现：若 fx)在xo附近n十1阶可导，则可构造T(x)=x)十f(x0)1!(x一xo)+f(2)(x0) 2!(x一xo)2+…+f(n)(x0)n(x一xo)y"(称为n次泰勒多项式)来逼近x)在o附 近的函数值.据此计算x)=ex在xo=0处的3次泰勒多项式为T(x) ；f (x)=一1x在xo=一1处的10次泰勒多项式中x3的系数为 10.已知对任意x,都有xe2x一ar一x≥1十lnx,则实数a的取值范围是 .四、 解答题 11.(15分)已知函数x)=e,g(x)=ax十1. (1)若x)≥g(x)恒成立，求实数a的值： (2)若x∈(0,1)，求证：1一nyf(x)十x-1x<1 参考答案 1.C[令fx)=x-sinx,x∈(0，+o), 则fx)=1一cosx≥0， 所以x)在(0，十∞)上单调递增， 所以fx)>f0)=0,即x一sinx>0, 即x>sinx,x>0,故①正确： 令g(x)=x-lnx,x∈(0，+o) 则g(x)=1一1x=x一1x, 所以当0<x<1时，g(x)<0, 当x>1时，g(x)>0, 所以g(x)在(0,1)上单调递减， 在(1，十∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(1)=1,即x一lnx>0恒成立， 所以x>nx,故②正确： 令hx)=e-(x+1),(x)=er-1, 当x<0时，h'(x)<0,当x>0时，x)>0, 所以hx)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增， 所以hx)≥h(0)=0,即ex-(x+1)≥0， 所以e≥x+1,当且仅当x=0时取等号，故③错误.故选C】 2.A[因为e=1十x+x22!十x33!+x44!+…, 所以e0.02=1+0.02+0.0222+0.0236+…≈1.0202， b=1.012=1.0201,c=ln2.02<1, 所以a>b>c,故选A] 3.D[令x)=x-1-lnx,x0, 则fe)=e-1-lne=e-2=a, 2)=2-1-n2=1-ln2=b, .f(x)=1-1x=x-1x, ∴.当x心1时，f)>0,x)单调递增， ∴fe)>f2),即a>b, 令gx)=e-x,则g'x)=er-l, .当x心0时，g'(x)>0,g)单调递增， ∴.g(e)>g(2),即ee-ee2-2, 所以ee-e2>e-2,即c>a. 综上，c>a心b.] 4.D[由sinx=x-x33!+x55!-…+o(x2m-1), 可得x-16r3<sinx<x(x>0) 所以sinl3∈avs4 alcol(f5313), 而16253≈3.06<3.14<元， 所以53162>1π，即sinl3∈avs4 alcol(f(113),选D.] 5.B[对于函数x)=e-x一1， f(x)=e*-1, 令fx)0→x<0,f(x)>0→x>0, 所以函数fx)在（一，0）上单调递减， 在(0，十∞)上单调递增，所以x)mm=0)=0,则x)≥0，即e*≥x十1. 所以b=2-e13≤2-law41alco1f13)+I)=23,c=1-e-23≤1-1 alvs4allcol(-f23)+1)=23. 由e2<8,得e23<813=2,所以e13<213, 则1+e-23=1+123>2123)=213>e13, 所以1-e-23<2-e13,即c<b. 所以c<ba.] 6.D[因为na=0.1,lnc=n1.052=2n1.05, 即12na=0.05,12nc=ln(1+0.05), 先证明n(1十x)x(o一1)， 设x)=ln(1十x)一x(x>-1), 则fx)=11十x-1=-x1十x, 令f(x)>0,则-1<<0： 令f(x)0,则x产0， 所以函数)在（一1,0）上单调递增， 在(0，十∞)上单调递减，所以0.05)0)， 即ln(1+0.05)-0.05<0,即ln(1+0.05)0.05, 所以2n1.05<0.1=lne.1,即1.052e0.1,即c<a. 而b=(1.3)13<(1.331)13=(1.1)]13=1.1,c=1.052=1.1025>1.1,所以a>c>b.] 7.BD[因为实数a,b满足a<b, 对于A,取a=一1，b=0,则a2>b2,A错； 对于B,对于函数x)=x3,该函数的定义域为R,f(x)=3x2≥0， 当且仅当x=0时，等号成立， 所以函数x)=x3在R上为增函数， 因为ab,则fa)b),则a3<b3,B正确： 对于C,取a=一1，b=1,则11b,C错： 对于D,对于函数g(x)=x一sinx,该函数的定义域为R, g'(x)=1-cosx≥0， 当且仅当x=2kπ(k∈Z)时，等号成立， 所以，函数gx)=x一sinx在R上为增函数， 因为ab,则g(a)g(b), 即a一sina<b一sinb,D正确] 8.ABD.4=2,.a21-a1=2,a2=42=16>1, 则a2n一an单调递增且大于0， ∴.4a2n-an单调递增，.an+1>1, 即am>1,故A正确： 令y=e-x-1(x>0),则y=ex-1>0, ∴y=e一x一1在(0，十∞)上单调递增，当且仅当x=0时，y=0, ∴y=e*-x-1>0,即ex+1. .'a2n-an>0, 且4a2n-an≥ea2n-ama2n-am+1, .an+1一a(an一1)2>0，故B正确： :a=2=23×1-2,a2=16=23×2-2,a3=416X15>23×3-2,由归纳法可知，am+1 =4a2n-an>23n+I)-2, 故不存在无穷多个k∈N*,使a=23k-2,故C错误： 由a+1>a2n-am+1得1am+1-1<lam-1-1am, 即1am<1an一1一1am+1一1，累加可得 1a1+1a2+…+1am<1al-1-la2-1+1a2-1-1a3-1+…+1an-1-1an+ 1-1=1a1-1-1am十1-1<1，可知D正确.] 91+x+x22+x36330[fx)=e,fmx)=e,fm0)=1,n∈N .T3(x)=0)+x-0)+12!(x-0)2+13!(x-0)3, .T3(x)=1+x+x22+x36: .x)=-lx, ∴.fx)=x-2,2(x)=-2x-3,f8(x) =(3!)x-4,…,9x)=(9!)x-10,f10x) =-(10!)x-1, ∴.f(-1)=1,2(-1)=2,f3(-1)=3!,…,9(-1)=9!,10(-1)=10, ∴.T1o(x)=1+(x+1)+(x+1)2+(x+1)3+…+(x+1)10 故x3的系数为C03+C14+C25++C710=C44+C34+C35+…+C310=C45 +C35+…+C310=…=C410+C310=C411=330] 10.(一∞，1][根据题意可知，x心0， 由xe2x-ax-x≥1+lnx 可得a≤e2x-lnx十1x-1(x>0)恒成立， 令fx)=e2r-lnx十lx-1.则a≤x)m 现证明e≥x十1恒成立， g(x)=e*-x-1,g'(x)=e*-1, 当g(x)=0时，解得x=0, 当x0时，g(x)0,gx)单调递减， 当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 故x=0时，函数g(x)取得最小值，g(0)=0, 所以g(x)≥g(0)=0, 即ex一x-1≥0e≥x十1恒成立， Ax)=e2x-Inx+1x-1 =xe2x-lnx-1x-1 =elnx+2x-Inx-1x-1 2Inx+2x+1-lnx-1x-1=1, 所以fx)mm=1,即a≤1. 所以实数a的取值范围是（一∞，1]门 11.(1)解设h(x)=fx)-g(x)=er-ax-1,则h(x)=er-a. 当a≤0时，(x)=ex一a>0,h(x)单调递增， h(-1)=e-1十a-1<0,不满足h(x)≥0恒成立；当a>0时，(x)在x∈(-∞，ln a上单调递减，在x∈dna,十o∞)上单调递增， 所以(x)的最小值为 hlna)=a-ana-1≥0， 即1-lna-la≥0，即lna十la-1≤0 da)=In a+la-1,o'(a)=a-la2, 所以(a)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 即gp(a)nm=p(l)=0, 故lna+1a-1≤0的解只有a=1. 综上，a=1. (2)证明先证当x∈(0,1)时， e>x十1恒成立， 令tx)=e-x-1,t(x)=e-1>0, 所以(x)在(0,1)上单调递增， 又tx)>(0)=0,所以e>x十1. 所以要证1一In xex+x一lx<1, 即证1-lnxx十1十x-1x<1, 即证1一lnx+x2+x-x+1x<x+1, 即证nx-x2+1+1x>0, 设F(x)=lnx一x2+1+1x,x∈(0,1)， 则F(x)=1x-2x-1x2=1x2-1)-2x<0, 所以F)在(0,1)上单调递减， 所以F(x)>F(1)=1>0,即原不等式成立， 所以当x∈(0,1)时，1一lnyf(x)+x-lx<1.