27.2.3 相似三角形应用举例-【初中学霸创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(人教版)

27.2.3 相似三角形应用举例 课题 相似三角形应用举例 课型 新授课 教学内容 教材第39-41页的内容 教学目标 1.运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度。 2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题。 教学重难点 教学重点：利用相似三角形解决高度测量问题。 教学难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” .在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗？ 【师生活动】创设问题情境引发学生思考，激发学生的求知 欲望，增强学习兴趣。在学生的相互交流过程中，慢慢感受 到用相似三角形知识可以测量出不能直接测量的物体的高度 的思路方法，引入新课。 2.类比探究，学习新知 【探究1】探究测量高度的方法 古希腊数学家、天文学 家泰勒斯曾利用相似三 角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图，如果木杆EF长为2m，它的影长FD为3m.测得0A = 201m，求金字塔高度BO. 【师生活动】学生思考并展开讨论，寻找解决问题的方法。 寻找两个相似三角形是解题的突破口，根据太阳光线平行的基本常识，得到BA∥ED，得到△DEF∽△ABO，最后解决问题。 【探究2】探究测量河宽的方法 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和点S，使P、Q、S共线且直线PS与河岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线b上选取适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线的交点 R.已测得 QS=45m，ST= 90m，QR =60m，请根据这些数据，求河的宽度PQ. 【师生活动】分析问题：用相似的知识来解决，寻找包括河的宽度的相似三角形，分析题目可知△PQR与△PST相似，所以知道QR，ST，QS的长度即可求出PQ的长。 追问：还有其他的解题方法吗？如果删去直线b，在PR延长线上找一点T，过T作TS⊥ ，垂足为S，是否也能求出河的宽度PQ?如果可以，需测量出哪些线段长？ 【探究3】关于盲区问题的方法 如图，左、右并排的两棵大树的高 AB=8m，CD=12m，两树根部的距离BD=5m. 一个人估计自己眼睛距地面1.6m，他沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C了？ 【师生活动】教师引导学生弄清题意，即当观察者行至图（2)位置时，恰好看到较高树的顶端点C，再往右行，由于树的遮挡，就不能看到点C了，因而问题的关键转化为求图(2)中观察者所处位置M与B之间的距离。这时可设观察者的水平视线与AB、CD分别交于 P、Q，利用树的平行关系，可找出图中相似三角形进而可求线段BM的长。 3.学以致用，应用新知 【例1】如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）。已知BD=8m，FB=1.8m，人高EF=1.5m，求数高CD。 解：过E作EF⊥CD交CD于H点，交AB于点G， 易得四边形EFDH是矩形，∴EF=GB=DH=1.5m，EG=FB=1.8m， GH=BD=8m，∴AG=AB-GB=0.9m， 易得△AEG∽△CEH，∴，得CH=4.9m， ∴DC=CH+DH=6.4m，即树高6.4m。 【例2】如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等得两脚AD和BC交叉构成，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度2的地方（即同时使OA=2OD，OB=2OC），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，判断这时CD与AB之间的数量关系，并说明理由。 解：∵OA=2OD，OB=2OC， ∴,又∠AOB=∠DOC， ∴△AOB∽△DOC，∴， ∴AB=2CD。 【例3】如图，某校宣传栏BC后面12m处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2m，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住，已知AF⊥BC，AF=3m，BC=10m，求该宣传栏后DE处共有多少棵树？（不计宣传栏的厚度） 解：如图，∵BC∥ED, ∴△ABC∽△ADE，∴， ∴AG=AF+FG=15m， 即，∴DE=50m， 50÷2=25，25+1=26， 所以DE处共有26棵树。 4.随堂训练，巩固新知 （1）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的影长为90m， 这栋高楼的高度是多少？ 答案：54m （2）如图，身高1.5m的人站在离河边3m处时，恰好能看到对岸边电线杆的全部倒影，若河岸高出水面高度ED为0.75m，电线杆高MG为4.5m，求河宽. 答案：10.5m （3）小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20m.当她与镜子的距离CE＝2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6m，请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角＝反射角)． 答案：12.8m （4）如图，某一时刻，旗杆AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m.同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度． 答案：10m 5.课堂小结，自我完善 本节课学习了哪些知识？你有什么收获？ 用相似三角形的知识测量不能直接测量的物体的高度时，有哪几种构建三角形相似的方法，试举例说明. 学生自己整理与回顾，师生共同概括总结. （1）利用相似三角形测高度； （2）利用相似三角形测宽度； （3）盲区问题。 6.布置作业 课本P39练习2，P43习题27.2第8，9，10题。 通过问题情境吸引学生对本节课的关注，培养学生学习数学的兴趣，感受到相似三角形知识的实际应用，引入新课。 利用学生刚刚获得的体验来解决金字塔的高度问题水到渠成，如何将现实生活中的问题转化为数学问题是关键。教学过程中教师应关注学生的说理过程，锻炼学生分析问题，解决问题及推理能力。 学生通过对上述问题的思考，可增强数学建模能力，锻炼一题多解的解题习惯，进一步领会用相似三角形知识可求出不能直接测量的物体的高度（或长度），达到融会贯通的目的，增强学生的探究意识。 相似三角形在生活中的应用主要是利用相似三角形的性质求物体的高度和宽度，通过例题训练让学生了解求物体高度的一些方法，提高学生分析问题、解决问题的能力。 加深对实际问题解法的应用，领悟建模思想，进一步巩固所学，检测学习效果。 通过小结，激发学生参与地主动性，突出重点，强化记忆，使学生获得整体认知。 板书设计 相似三角形的性质 测量高度 测量宽度 盲区问题 教后反思 前面的课时中探讨了如何判定两个三角形相似，本课时将实际问题转化为两个三角形相似的数学模型，在教学时教师应重点强调这个转化过程是如何实现的。总体来看，本课时首先呈现生活中常见问题，以便让学生体会其必要性，接着通过三个探究让学生掌握运用相关知识解应用题的思路，整个教学过程中都渗透了转化思想。 通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识，基本达到了预期的教学目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$