内蒙古部分名校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

高二数学考试 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:人教A版必修第二册第九、十章,选择性必修第一册,选 择性必修第二册第四章。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的, 1.直线x=√3的倾斜角为 A晋 c D.0 十36=1上一点P到焦点F的距离为6,那么点P到另一个焦 A.26 B.10 C.4 D.14 3.已知在等差数列{am}中,a4十a8=20,则a6= A.6 B.8 C.7 D.10 4.已知空间向量a=(2,一1,3),b=(2,0,一1),则向量b在向量a上的投影向量是 A(-号,4-) R(3名,-》 c(分-a品》 D.(层-》 5.已知等比数列{an}是递增数列,且{am}的前3项和为39,a1十a2=12,则a4= A.27 B.81 c D 6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA= CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是 A何 B司 C30 D.V 15 10 7.已知抛物线C:32x=y2的焦点为F,点H(4,2),P是抛物线C上的一个动点,则|PF|+ |PH引的最小值为 A.8 B.12 C.10 D.16 【高二数学第1页(共4页)】 B1+ 8.若曲线y=√4一x2与圆(x一3)2+(y一4)2=r2(r>0)相切,则r的值为 A.3 B.2或7 C.2 D.3或7 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收,随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重 (单位:kg),并整理数据,得到如图所示的频率分布直方图, 根据此频率分布直方图,下面结论正确的是 +颜率组距 3.00 A.m=0.8 2.50 B.估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为30% 2.00 C.估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至0.50 01.21.31.41.51.61.71.8质量/kg 1.6kg之间 D.估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间 10.已知点P(4m十3,一3m-4),若点Q在圆C:(x-1)2+y2=1上,则 A.点P在直线3x十4y十7=0上 B.点P可能在圆C上 C.|PQ的最小值为1 D.圆C上至少有2个点与点P的距离为1 11.如图,在正三棱台ABC-A:B1C1中,AB=2A1B1=2,高为2,O1,O分别为 A1B1C1和 ABC的中心,E为AB的中点,过O作OE的垂线交BC于点F.以O为坐标原点,OE, OF,OO1所在直线分别为x,y,x轴,建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是 A.正三棱台ABCA,B,C的体积为3 BB,停2) C.n=(-√3,6,1)是平面BCC,B,的一个法向量 D.直线AA,与平面BCC,B,所成角的正弦值为5,网 91 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12若双曲线M:号-苦-1与双曲线N:片车g-10>0)的熊距相等,则N的离心率 为 13.一支车队有15辆车,某天下午车队依次出发执行运输任务,第一辆车于12时出发,以后每 间隔12分钟发出一辆车.假设所有的司机都连续开车,并都在16时停下来休息,则截止到 16时,最后一辆车行驶了 小时. 14.已知{an}是各项都为正整数的递减数列,若a1十a2十…十an=100,则n的最大值为 ;当n取最大值时,a1的最小值为 【高二数学第2页(共4页)】 B1 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知数列{an}的前n项和Sn=n2 (1)求a1,并证明数列{an}是等差数列; (2)求数列{】}的前n项和T la.an+l 16.(15分) 甲、乙2名同学最近100次投篮的情况如下: 甲 乙 投中 50 60 不投中 50 40 由频率估计概率,解答下列问题, (1)分别估计甲、乙2名同学的投篮命中率, (2)若甲、乙进行投篮比赛,规定:甲、乙各投篮2次,投中次数多的获胜,次数相同则平局. 甲、乙每次投中与否相互独立,估计甲、乙两人最终平局的概率 【高二数学第3页(共4页)】 B1 17.(15分) 如图,在几何体中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,AQ∥DP,AD=2,DP=2, AQ=1. (1)证明:AB⊥PQ. (2)求平面PBQ与平面ABCD夹角的余弦值. 18.(17分) 已知公差为2的等差数列{a.}满足a1十a2十a3=27,数列{bn}满足b1=1,bn+1=2bn十1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 (2)设cm=an(bm十1),数列{cn}的前n项和为Tm. (i)求T.; ( )若不等式T.一 2"≥0对任意的n∈N”恒成立,求入的最大值. 19.(17分) 已知A2,0)是稀圆C:后+号-1c>6>0)的-个顶点,点1,)是C上-点 (1)求椭圆C的方程 (2)若过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于M,N两点(异于点A),设直线AM,AN的斜率 分别为k1,k2: (1)证明:k1 2为定值, (I)求|MN|的最小值. 【高二数学第4页(共4页)】 B1高二数学考试参考答案 1,C直线x=5的倾斜角为2 2.D根据题意可得椭圆的长轴长为2a=2×10=20,根据PF,十PF2=20,得|PF2|=20 -6=14. 3.D因为a:+ag=2ae=20,所以a6=10. 4.C由已知可得，a·b=4一3=1，a=√4+1+9=√14，所以向量b在向量a上的投影向 量是·日-=（分》 a1十a2十a3=a1十a1q十a1q=39, 5.B 解得g=3(g=-舍去)a:=3a,=a1g=81. a1+a2=a1+a1q=12, 6.A以C为坐标原点，CA,CB,CC,所在直线分别为x,y,轴建立空间直角坐标系（图略）， 设BC=2,则A(2,0,0),F,(1.0,2),B(0,2,0),D1(1,1,2),BD=(1,-1,2),AF=(-1. 0,2).设直线BD,与AF,所成的角为0，则cos9=|cos(BD,AF1= BD·AF1 BDAF 1-1+0+4=30 √十1干4×年一O所以直线BD与AF所成角的余弦值为0. 7.B由题意得F(8,0),准线方程为x=一8，如图，过点H作HM垂直 于准线，垂足为M,过点P作PD垂直于准线，垂足为D.IPF|十 PH=PD+PH>HM=8+4=12. 8.A由y=V/4-x2,得x2十y2=4(y≥0)，所以曲线y=√4-x2表示 圆x2+y2=4的上半部分，易知圆x2+y2=4的圆心为坐标原点O,半径为2，圆(x一3)+ (y一4)2=r(r>0)的圆心为A(3,4),半径为r.因为曲线y=√4-x7与圆(x-3)2十(y 4)=r2(r>0)相切，所以OA=2十r,则5=2+r,得r=3. 9.BCD0.5+2m+2+2.5+3-10,解得m=1,A错误.估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg 的比例为30%，B正确.估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间，C正确。 估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间，D正确， 10.AC因为3(4m十3)十4(-3n一4)=一7，所以点P在直线3.x十4y+7=0上，A正确.因 为圆C的圆心C1,0)到直线3x+4y+7=0的距离d9=2>1.所以直线3x+4y+7 0与圆C相离，B错误.|PQ的最小值为d-1=1,则圆C上只有1个点与点P的距离为 1,C正确，D错误. 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 ·B1· l.ABD V6=吉×(Sar+S46+VSar·SAG)Xh=号X(g+5+ 。,A正确： B(停，号习B正确： 000.0B1.0.B(停22.C(-25.0A停，-1.0A停-2.所以 a=(-管22)C=(-原，-1.0那=(-2 n.BC=-3x-y=0, 设平面BCC1B,的法向量为n=(x,y,z),则 ·BB,=-3,-1 令y=6,则 6x-2y+2x=0 x=-23,x=1,所以n=(-2√3,6,1)，C错误； 设直线AA,与平面BCC,B,所成的角为a, 则me=ms1=a_(-9)×(-25)+日×6+2x 639 AA 3 91· 3 2×7 即直线A,与平面B℃品，所成角的正孩值为 2,D正确. 12,2依题意可得7+9=m十m十8，解得m=4,则N的离心率为1+m8 =2 13.1.212分钟=0.2小时，则最后一辆车出发的时间为12+(15一1)×0.2=14.8时，故最后 一辆车行驶了16-14.8=1.2小时. 14.13:14要使n取最大值，am应尽量取最小，且前一项与后一项的差也应取最小.假设{am} 是公差为-1，且a.=1的等差数列，令”m,十1D≤100，可得n的最大值为13.当n取最大值 2 时，a1的最小值为14. 15.解：(1)当n=1时，a1=S,=12=1, …1分 当n≥2时，S。-1=(n-1)2=n2-2n十1，… 2分 所以当n≥2时，an=S,-S4-1=n2-(n2-2n十1)=21-1，… 3分 1=1满足a=2一1，…4分 所以数列{am}的通项公式为am=2n一1. …5分 因为am+1一am=[2(n十1)-1]-(2n-1)=2, 所以数列{4n}是首项为1，公差为2的等差数列.… …7分 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 ·BI· (2)由(1)得am-2n-1, 1 质以。8=22m十d千2(2012卡…10分 则工.1-)+（号）+（信）++（品） 1 13分 16.解：1)甲同学的投篮命中率为50十50一2 50 3分 603 乙同学的投篮命中率为60十40一亏 6分 (2)分3种情况： ①甲，乙都投中了2次，其概率为(》×()°=8 …9分 ②甲，乙都投中了1次，其概率为2××号×2×号× 3、2 6 525 …12分 ③甲，乙都投中了0次，其概率为（分》×（号）'=品 …14分 估计甲，乙两人品终平局的概率为品+会十名部 15分 17.(1)证明：因为PD⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PD⊥AB.…1分 因为四边形ABCD为正方形，所以AD⊥AB,…2分 因为AD∩PD=D,所以AB⊥平面ADPQ,…4分 因为PQC平面ADPQ,所以AB⊥PQ. … 7分 (2)解：由题意以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x, y,之轴建立空间直角坐标系，如图， 则B(2,2,0),P(0,0,2),Q(2,0,1),PB=(2,2,-2),PQ= (2,0,1).…9分 设平面PBQ的法向量是n=(x,y,2), n·PB=2.x+2y-2x=0, 则 n.Pi=2x-之=0， 取x=1,得n=(1,1,2),…11分 易得m=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量，…13分 m·n 2V6 cos(m,n=/63 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 ·B1· 、所以平面PBQ与平面ABCD夹角的余弦值为， 15分 18.解：(1)设数列{am}的公差为d,则d=2 由a1十a2十a3=27,得3a1十3d=27,解得a1=7,…2分 所以an=a1十(n-1)d=7十2(n一1)=21十5.…3分 因为bm+1=2bn十1，所以bm+1十1=2(bw十1)，…4分 因为b1十1=1十1=2，所以数列{b。十1}是以2为首项，2为公比的等比数列，…5分 所以b,十1=2X21=2”,…6分 故bn=2一1，…7分 (2)由题意得cn=an(bn十1)=(2n十5)X2,…8分 (1)(方法一)T.=7×2十9×2十11×2十…十(2n十5)×2，①…9分 2T.=7X22+9X23+11X24+…+(2n+5)X20+1,②…10分 ①-②得，-T.=7×2+2×2+2×23+…+2×2"-(2m+5)X2+1…11分 2-2X2-（2m十5)X21=6-(2m+3)×2*，…12分 =14+2×1-2 所以T。=(21十3)X2+1-6。… 13分 (方法二)c.=(2n十5)×2”=(2n十3)X2m+1-(2n十1)×2"，…10分 则T.=5×22-3×2+7×23-5×22+…+(2n+3)×2+1-(21十1)×2 =(2n十3)X2+-3X2=(2n十3)X2+1-6.…13分 (i)由T.-入·2">≥0，得入·2"≤T 因为2”>0，所以1≤， 0440400.4分 因为T。=(2m+3)X21-6,所以=2m+3)X21-6 2 =4m十6- 2, …15分 是递增数列，所以≥2=入20=7，…… 易知数列 2 16分 所以入≤7，故入的最大值为7.…17分 a=2, 19.(1)解：由题可1 9 …2分 解得4=2,6=3，所以精圆C的方程为+ =1. …4分 (2)(1)证明：由题意可知，直线l的斜率不为0，设其方程为x=my十1，M(x1y1),N(x2, x=y+1, y2.由x2 /得3m十4十6m—9—0· 31, 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 ·B1· 所以y1十y2= 3m+4y1y,=3m+44=(6m)2-4(3m2+4)(-9)=144(m2+1)> 6m -9 0, …6分 x-2k2=y 因为k=1 2-21 yiyz yiya yiya 所以k1k:(x1-2C,-2(my-1)(my:-1)m'y1y2一m0y+y)+ -9 3m2+4 9 -9 ,为定值 11分 7m2 3m2+4-m( -+ (i)解：MN|=√1+m×y1-y2=√1+m×√y1+y2)-4y1y2 61m 36 3m2+4 3m2+4 =V1+m2X 144(m+1)12(m2+1) (3m2+4) 3m2+4 3n2+4 …15分 因为子≤1一-+1，当且仅当m=0时，1一十取得最小值子 所以MN的最小值为3…17分 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】 ·B1·