30.1 二次函数-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(冀教版)

30.1 二次函数 课题 30.1 二次函数 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P26-28 教学目标 1.经历建立二次函数模型的过程,体会二次函数的意义. 2.会确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. 教学重难点 重点：理解二次函数的意义;能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式. 难点：经历建立二次函数模型的过程,体验用二次函数表示变量之间的关系. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.回顾复习，导入新课 1.什么是一次函数、反比例函数? 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么关系?y是x的函数吗?这个函数是我们前面学习过的函数吗? 3.我们探究一次函数、反比例函数时的思路是什么? （板书课题：30.1 二次函数） 通过复习一次函数、反比例函数的概念及探究思路,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识. 2.实践探究，学习新知 【探究1】二次函数 【一起探究】 1.如图所示,用规格相同的正方形瓷砖铺成矩形地面,其中,横向瓷砖比纵向瓷砖每排多5块,矩形地面最外面一圈为灰色瓷砖,其余部分全为白色瓷砖.设纵向每排有n块瓷砖. (1)设灰色瓷砖的总数为y块. ①用含n的代数式表示y,则y=　　　　 .  ②y与n具有怎样的函数关系? (2)设白色瓷砖的总数为z块. ①用含n的代数式表示z,则z=　　　　 .  ②z是n的函数吗?说说理由. 师生活动：学生在教师的引导下,独立思考,小组内交流答案,学生代表回答问题后,教师点评并分析建立函数模型的关键是找等量关系. 答案预设： （1）4n+6 一次函数 （2）n2+n-6 z是n的函数. 2.某企业今年第一季度的产值为80万元,预计产值的季平均增长率为x. (1)设第二季度的产值为y万元,则y=　　　　 . 设第三季度的产值为z万元,则z=　　　　 .  (2)y,z都是x的函数吗?它们的表达式有什么不同? 答案预设： （1）y=80x+80,y是x的一次函数 （2）z=80x2+160x+80,z是x的函数 观察下面两个函数: z=n2+n-6,z=80x2+160x+80, 思考: (1)这两个函数与我们学过的函数有什么不同? (2)这两个函数的自变量x的最高指数分别是多少? (3)你能说出函数表达式右边的二次项,一次项,常数项及二次项系数,一次项系数吗? (4)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗? 师生活动：学生独立思考，交流讨论，教师适时引导，上面遇到的这两个函数都是自变量的二次式. 【归纳总结】一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0),那么称y为x的二次函数.其中,a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项. 温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 【探究2】二次函数表达式中的系数 【大家谈谈】 1.请分别指出上面出现的二次函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.谈谈一次函数、反比例函数、二次函数有什么不同. 师生活动：学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表回答,其他学生补充,教师点评. 预设答案： 1.略 2.一次函数和二次函数的表达式都是整式，但次数不同，反比例函数的表达式是分式. 【探究3】列二次函数表达式及求二次函数的函数值 【做一做】 新学期开学,全班同学见面时相互亲切握手问候.设全班有m名同学,每两人之间都握手一次,用y表示全班同学握手的总次数. (1)请用含m的代数式表示y,说明y是m的二次函数,指出该函数中对应的a,b,c的值. (2)若全班有45名同学,则这样握手的总次数是多少? 师生活动：学生在教师的引导下思考,然后独立完成解答,小组内交流答案,学生展示结果后教师点评. 解：(1) . 因为m的最高次数是2，所以y是m的二次函数， 对应的a,b,c的值依次为，，0. （2）当m=45时，y==990. 设置“感受身边的点与圆的位置关系”的环节，让学生指出哪个是圆，哪个是点，它们有怎样的位置关系.进而引出课题.激发学生的学习乐趣. 通过老师设计的问题串,学生观察、思考、交流,类比已学过的函数,抽象出二次函数的本质特征,归纳出二次函数的一般形式,学生经历概念的形成过程,达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力. 通过思考回答问题,加深对二次函数有关概念的理解和掌握,与前面学过的函数的概念相比较,让学生学会总结前后知识的联系. 通过例题加深对二次函数的有关概念的理解和掌握,同时体会在实际问题中建立函数模型,通过等量关系列函数表达式、简单例题的分析与解答,既帮助学生对概念有了完整的认识,又让学生体验到成功的快乐,激发学生学习数学的兴趣. 3.学以致用，应用新知 考点1 二次函数的定义 【例1】下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c 答案：C 【变式】若y=(m+1)是二次函数,则m的值为　　. 答案：7 解析:∵二次函数的自变量x的最高指数是2,∴m2-6m-5=2,由二次项系数不为0,得m+1≠0,解得m=7. 考点2 二次函数的一般形式 【例2】已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝　 　，一次项系数b＝　 　，常数项c＝　 　． 答案：3 ﹣5 1 考点3 根据实际问题列二次函数关系式 【例3】如图，某公园内有一块长为100 m、宽为80 m的矩形场地，计划修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进种植花卉．设修建的道路宽为x m，如果种植花卉的面积为y m2，那么y与x之间的函数关系式为（　　） A. y＝8000﹣100x﹣80x B．y＝（100﹣x）（80﹣x）+x2 C. y＝（100﹣x）（80﹣x） D. y＝100x+80x 答案：C 通过例题讲解，巩固理解二次函数及其一般形式、列二次函数表达式，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏. 4.随堂训练，巩固新知 1.下列函数： ①y=2(x-1)(x+4); ②y=3(x-1)2+2; ③y=x2++1; ④y=(x-3)2-x2. 其中不是二次函数的是 ( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 答案：B 2.当x＝-3时，函数y＝2-3x-x2的值为________． 答案：2 解析：把x＝－3直接代入函数的表达式得y＝2－3×(－3)－(－3)2＝2＋9－9＝2.即函数的值为2. 3.当x＝________时，函数y＝x2＋5x-5的函数值为1. 答案：2.-6或1 解析：令y＝1，即x2＋5x－5＝1，解这个一元二次方程得x1＝－6，x2＝1.即x＝－6或1. 4.若是二次函数,则m的值为　　　　. 答案：2 解析:根据二次函数的定义,得m2-2=2,且m+2≠0,解得m=2.故填2. 5.一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x＋1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2. 写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？ 当x的值为2或4时，相应的剩余部分面积是多少？ 解：(1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144， ∴y是x的二次函数． (2)当x＝2或4时，相应的y的值分别为132cm2或104cm2. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数叫做二次函数. 2.二次函数满足的条件: (1)函数表达式的右边是整式形式; (2)自变量的最高指数是2; (3)二次项系数不为0. 3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x取任意实数,但在实际问题中要有实际意义. 4.根据实际问题写出函数表达式:认真分析题意,找到题目中的等量关系,根据等量关系列函数表达式. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P27-28习题中的A组T1—T3，B组T1—T2. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 30.1 二次函数 提纲挈领，重点突出. 教后反思 1．本节课由实际问题导入新课,引导学生经历问题情景——建立数学模型——归纳总结的过程,掌握二次函数的有关概念.一起探究实际生活中的函数表达式时,教师把问题设计成问题串的形式,降低学生的理解难度,让学生体验成功的快乐. 2.在探究过程中,给学生提供探索和交流的空间,在小组交流、合作学习中获取知识的形成过程,激发学生的学习兴趣.学生在课堂上学会了与他人合作,学会了探索,提升了分析问题和解决问题的能力. 3.此外,教学中实际问题的解决贯穿整节课,让学生体会建模思想是解决数学问题的重要途径,培养了学生应用数学的意识. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$