30.4 第2课时 利用二次函数求实际问题中的最值-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(冀教版)

30.4 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数求实际问题中的最值 课题 第2课时 利用二次函数求实际问题中的最值 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P43-46 教学目标 1.会利用二次函数的性质解决实际问题种的最值问题. 2.在经历探索实际问题中两个变量之间的函数关系的过程中培养数学的建模思想. 3.在共同探究问题中增强用数学的意识,发展应用观点. 教学重难点 重点：利用二次函数解决实际生活中的最值问题. 难点：利用二次函数解决综合性的问题. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，引入课题 从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少? （板书课题：30.4 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数求实际问题中的最值） 将生活中的问题作为引入,创设情境,提出问题,提高学生学习的热情.也可以适当复习二次函数y=ax2+bx+c的性质，为本课时服务. 2.实践探究，学习新知 【探究1】利用二次函数求实际问题中的最值 对于二次函数 y=ax2+bx+c=a(x+)2+来说，当a>0，且x=时，y最小=;当a<0，且x=时，y最大=.二次函数的这一特征，使它成为解决许多求“最小值”或“最大值”问题的重要工具. 【教材例题】 例2 用总长度为24 m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架,其横档和竖档分别与AD,AB平行. 设AB=x m,当x为多少时,矩形框架ABCD的面积S最大?最大面积是多少平方米? 师生活动:学生可独立思考，必要时，教师可用问题链进行引导. (1)当矩形的宽AB=x m时,如何用包含x的代数式表示 矩形的长BC? (2)矩形的面积S与矩形的宽x之间的等量关系是什么? (3)你能写出矩形的面积S与矩形的宽x之间的函数表达式吗? (4)请用配方法将所得到的二次函数一般式转化成顶点式. (5)该二次函数有没有最大值?最大值是多少?此时x的值是多少? 解:∵S=·x=x2+8x=（x-3）2+12， a=<0, ∴当x=3时,S有最大值,且S最大=12m2 . 答:当x=3时,矩形框架ABCD的面积S最大,最大面积为12 m2. 【归纳总结】 利用二次函数解决生活实际中最值问题的一般方法: （1）根据题意找等量关系,列出二次函数的表达式,求出符合题意的自变量的取值范围. （2）在自变量的取值范围内,求出二次函数的最大值或最小值. 【教材例题】 例3 一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产80件,每件可获利润12元.产品每提高一个档次,每件产品的利润增加2元,但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑,他生产哪个档次的产品,可获得最大利润? 师生活动：题目涉及哪些变量?哪个量是自变量?哪些量随之发生了变化? 答案预设：利润、产量和档次是变量,档次是自变量,利润、产量随之发生变化. 解:设生产第x档次的产品时,每天所获得的利润为w元,则:w=[12+2(x-1)][80-4(x-1)] =(10+2x)(84-4x) =-8x2+128x+840 =-8(x-8)2+1352. 当x=8时,w有最大值,且w最大=1352. 答:该工艺师生产第8档次的产品,可使每天获得的利润最大,最大利润为1352元. 【归纳总结】 利用二次函数求实际问题的最值的一般步骤: (1)认真分析题意,找两个变量之间的等量关系; (2)根据等量关系写出二次函数的表达式,根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围; (3)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值. 【做一做】 某种燃气灶的开关旋钮可从0°旋转到90°.为测试开关旋钮在不同角度的燃气用量,在相同条件下,用开关旋钮的5个不同角度分别烧开一壶水,得到下列对应值: (1)若所用燃气量是开关旋钮转过角度的二次函数,求这个二次函数的表达式; (2)当开关旋钮转过多少度时,烧开一壶水所用燃气量最少? 师生活动：学生可分组交流，自主解答，教师根据巡视情况进行必要指导. 答案预设： （1）y=x2x+97. （2）40°. 本节课的内容是利用二次函数求实际问题中的最大(或最小)值,这个最大(或最小)值实际上就是二次函数图像的顶点的纵坐标. 让学生感受到数学的严谨性和数学结论的正确性,形成实事求是的学习态度,养成独立思考的学习习惯.让学生用自己的语言清晰地表达解决问题的过程,提高语言表达能力. 这类问题,没有直接的二次函数(或抛物线)模型,需要把实际问题抽象成二次函数问题,即把问题中变量间的关系用表达式表示出来,确定是二次函数,再用二次函数的知识去解决,这时就需要弄清题意,理清变量间的关系,求出表达式,这也是学生容易感到困惑的地方,因此,教师要加以引导、帮助,学生间要多合作交流. 求最大利润的实质是求二次函数的最大值. 总利润=每件商品的利润×商品数量 解决问题后学生教师进行交流，最后可以由教师总结步骤，学生体会. 从生活中的实例出发,使学生愿意参加数学活动,在活动中发挥积极作用. 最后做一做问题可以由学生自己解答.教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正. 3.学以致用，应用新知 考点 利用二次函数求实际问题中的最值 【例1】某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的一边长为x m，面积为S m2. (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用． 解：(1)∵矩形的一边长为x m， ∴另一边长为(6－x)m， ∴S＝x(6－x)＝－x2＋6x，其中0＜x＜6； (2)∵S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9， ∴当x＝3，即矩形的一边长为3 m时，矩形面积最大，为9 m2，这时设计费最多，为9×1000＝9000(元). 【例2】　春节期间，物价局规定花生油最低价格为4.1元/L，最高价格为4.5元/L，小王按4.1元/L购入，若原价卖出，则每天平均可卖出200L，若价格每上涨0.1元，则每天少卖20L油，问油价定为多少时，每天获利最大？最大获利为多少？ 解：设油价定为x元/L时获利y元，则 y＝(x－4.1)＝－200(x－4.6)2＋50. ∵4.1≤x≤4.5， ∴当x＝4.5时，y最大值＝－200×(4.5－4.6)2＋50＝48， 即油价定为4.5元/L时，每天获利最大，最大获利为48元． 通过例题讲解，巩固理解利用二次函数解决实际问题中的最值，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏. 4.随堂训练，巩固新知 1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个；若这种商品在一定范围内每降价1元，每日销量就增加1个．为了获得最大利润，则应该降价(　 　) A．5元　 B．10元　 C．15元　　 D．20元 答案：A 2．如图，从长宽比为2：1的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在 . 答案：AD中点 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 5.课堂小结，自我完善 （1）如何求二次函数的最小（大）值，如何利用二次函数的最小（大）值解决实际问题？ （2）在解决问题的过程中应注意哪些问题？学到了哪些思考问题的方法. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P45-46习题中的A组T1—T2，B组T1—T2. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 30.4 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数求实际问题中的最值 提纲挈领，重点突出. 教后反思 上节课的问题是抛物线型的，从图形中能较清晰地看出是二次函数问题，本节课的特点是从题目中不能马上把实际问题抽象成二次函数问题，这是本节课的难点.需要先把实际问题中的变量关系用表达式表示出来，这就建立起二次函数模型，再运用二次函数的性质解决问题，故在授课过程中需适当引导、帮助. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$