30.2 第1课时 二次函数y=ax²的图像和性质-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(冀教版)

30.2 二次函数的图像和性质 第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质 课题 第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P29-31 教学目标 1.经历建立二次函数模型的过程,体会二次函数的意义. 2.会确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. 教学重难点 重点：二次函数y＝x2与y＝－x2的图像特点. 难点：二次函数y＝x2的图像特点的探索过程. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.回顾复习，导入新课 1.同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？(先画出一次函数的图像,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质) 2.我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢？如果可以,应先研究什么？(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质,应先研究二次函数的图像) 3.一次函数的图像是什么？猜想二次函数的图像是什么？（板书课题：30.2 二次函数的图像和性质 第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质） 通过复习一次函数的图像和性质的研究过程,让学生用类比的方法来研究二次函数的图像和性质，为本节课及后续的学习做好铺垫. 2.实践探究，学习新知 【探究1】二次函数y=ax2的图像 已知二次函数y=x2，我们可按下列步骤画出它的图像, (1)列表: (2)描点:如图，在直角坐标系中描出相应的点. （3）连线:如图，用平滑曲线顺次连接各点，得到二次函数y=x2的图像. 【观察与思考】 1.若将y=x2的图像沿着y轴对折，y轴两侧的部分能够完全重合吗？y=x2的图像是不是轴对称图形？如果是，那么它的对称轴是哪条直线？ 2.y=x2的图像有最低点吗？如果有，那么最低点的坐标是什么？ 师生活动：学生在教师的引导下,独立思考,小组内交流答案,学生代表回答问题后,教师点评并分析建立函数模型的关键是找等量关系. 答案预设： 1.能够完全重合，是轴对称图形，对称轴是y轴 2.有最低点，坐标是(0,0) 【归纳总结】 二次函数y=x2的图像是一条抛物线，且关于y轴对称. 【探究2】二次函数y=ax2的性质 【做一做】 1.在如图（下左）所示的直角坐标系中，已画出了y=x2的图像，请再画出函数 y=-x2的图像. 2.在如图（上右）所示的直角坐标系中，已画出了y=2x2的图像，请再画出函数 y=-2x2的图像. 师生活动：学生自己即可完成，鼓励学生用对称的方式画，教师对学习有困难的学生提供适当帮助. 【大家谈谈】 对比函数y=x2与y=-x2，以及y=2x2与y=-2x2的图像，就二次函数y=ax2回答一下问题： （1）图像的开口方向和它的最高（或最低）点与a的符号具有怎样的关系呢？ （2）图像是不是轴对称图形呢？如果是，那么它的对称轴是那条直线呢？ （3）根据图像，说明y的值随x的值的增大而变化的情况. 师生活动：根据前面画图过程，学生可以发现图像的开口方向、对称性和图像的变化规律.若学生学习有困难，教师可适当引导. 答案预设： （1）a＞0，开口向上，有最低点； a＜0，开口向下，有最高点 （2）图像是轴对称图形，对称轴是y轴 （3） （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x＜0时，y随x取值的增大而减小. 同理，（a＜0）当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x＜0时，y随x取值的增大而增大. 【归纳总结】 二次函数y=ax2 的图像是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线，曲线的对称轴叫做抛物线的对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 表达式 开口 方向 对称轴 顶点坐标 y随x的变化情况 最大（或最小）值 y＝ax2 (a＞0) 向上 y轴 原点 （0,0） 当x<0时，y随x的增大而减小;当x＞0时，y随x的增大而增大 有最低点(0，0），当x=0时， y最小=0 y＝ax2 (a＜0) 向下 y轴 原点 （0,0） 当x<0时，y随x的增大而增大;当x＞0时，y随x的增大而减小 有最高点(0，0），当x=0时， y最大=0 为了方便起见，我们把y轴记为直线x=0，把过点(a,0)且垂直于x轴的直线记为直线x=a; 把x轴记为直线y=0，把过点(0,b)且垂直于y轴的直线记为直线y=b. 二次函数y=ax2也称为抛物线y=ax2. 在一次函数的学习中已经学习过描点法画一个函数的图象.老师需要关注学生能否选取适当的自变量的值，如形状不明时是否知道通过加密点来画图. “做一做”是在观察画二次函数y=x2的图像以及对图像展开研究的基础上,画出函数y=-x2和 y=-2x2的图像,学生自己即可完成. 必要时，可以再展示几个这类函数图像帮助学生分析、验证和总结. 通过思考回答问题,加深对二次函数有关概念的理解和掌握,与前面学过的函数的概念相比较,让学生学会总结前后知识的联系. 在a＞0和a＜0两种情况下，都有|a|越大，抛物线y=ax2的开口越小. 对函数图像和性质的归纳总结可以设计成表格,由学生根据“大家谈谈”的认识自已填写,教师进行规范. 教师总结，学生体会. 3.学以致用，应用新知 考点1 二次函数的图象 【例1】抛物线y＝﹣2x2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 答案：A 【例2】已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是(　　) 解析：本题进行分类讨论：(1)当a＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝ax图象经过一、三象限，故排除选项B；(2)当a＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝ax图象经过二、四象限，故排除选项D；又因为在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象必有除原点(0，0)以外的交点. 答案：C 考点2 二次函数的性质 【例3】抛物线y=2x2的顶点坐标是（　　） A（2，0） B.（1，2） C.（0，0） D.（0，2） 答案：C 【例4】抛物线y=-3x2的对称轴是（　　） A.x=3 B.x=-3 C.x=0 D.y=0 答案：C 【例5】已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（1，y2）两点，则下列关系式中一定正确的是（　　） A．y1＞0＞y2 B．y1＞y2＞0 C．y2＞0＞y1 D．y2＞y1＞0 解析：∵抛物线y＝ax2（a＞0）， ∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）． 又a＞0，0＜1＜2， ∴y1＞y2＞0. 答案：B 通过例题讲解，巩固理解二次函数的图像和性质，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏. 4.随堂训练，巩固新知 1.若二次函数y=ax2的图象经过点（-2．-4），则a的值为（　　） A.-2 B.2 C.-1 D.1 2.当ab＞0时，抛物线y＝ax2与直线y＝ax+b在同一直角坐标系中的图象大致是（　　） A. B. C.D. 3.已知二次函数y=ax2，当x=3时，y=3． （1）求当x=-2时，y的值． （2）写出它的图像的对称轴、顶点坐标和开口方向． 参考答案 1.C 2.D 3.（1）把x=3，y=3代入y=ax2得， a•32=3，解得a=，所以这个二次函数的表达式为y=x2； 当x=-2时，y=×（-2）2=. （2）∵y=x2，a=＞0， ∴图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P31习题中的A组T1—T2，B组T1—T2. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 30.2 二次函数的图像和性质 第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质 提纲挈领，重点突出. 教后反思 1．教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法. 2.在探究过程中,给学生提供探索和交流的空间,引导学生仿照以前学过的一次函数和反比例函数的研究过程进行探究，实现知识和方法的迁移，体现知识的连贯性和整体性. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$