29.4 切线长定理-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(冀教版)

29.4 切线长定理 课题 29.4 切线长定理 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P11-15 教学目标 1.经历探索过圆外一点作圆的切线的过程,知道过圆外一点可以作出圆的两条切线. 2.探索过圆外一点作出的圆的两条切线的切线长相等. 3.会利用圆的切线长定理解决一些简单的问题. 4.知道三角形的内心，会利用尺规找出三角形的内心,能画出三角形的内切圆. 教学重难点 重点：发现并证明切线长定理，运用切线长定理解决问题. 难点：运用切线长定理解决问题，三角形内心的应用. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，引入课题 师生活动：同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 教师：抽象出的图形有什么特点？这就是本节所要探究的内容——切线长定理. （板书课题：29.4 切线长定理） 通过生活常见的悠悠球和空竹，自然引出本节课的学习，让学生感受数学来源于生活，激发学生学习兴趣. 2.实践探究，学习新知 【探究1】切线长定理 【过渡语】过圆内一点的直线与圆不相切，过圆上一点只有一条圆的切线，过圆外一点有两条圆的切线，那么圆外的点到切点的两条线段之间具有怎样的数量关系呢? 【一起探究】 如图，已知O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线呢? 小亮是按下列步骤画图的: ①如图，连接OP，以OP为直径作圆，交⊙O于A，B两点. ②连接 PA，PB. 小亮认为PA，PB就是⊙O的切线. (1)你认为PA，PB是⊙O的切线吗?若是，请说明理由. (2)猜想线段PA，PB具有怎样的数量关系. 答案预设： （1）是 （2）相等 事实上，PA，PB都是⊙O的切线，且PA=PB.下面我们证明:过圆外一点向圆所引的两条切线的长相等. 已知:如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B. 求证：PA=PB. 证明：如图，连接OA，OB，OP. 在Rt△OAP和Rt△OBP中， ∵PA，PB分别与☉O相切于点A，B， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∴∠OAP=∠OBP=90°. 又∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴PA=PB. 【归纳总结】 切线长：我们把线段PA，PB的长叫做点P到☉O的切线长. 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等. 在上面的探究过程中，还容易得到∠APO=∠BPO，即圆外一点与圆的连线平分过这点的两条切线所形成的夹角. 【拓展】 PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C. （1）图中所有的垂直关系： OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （2）图中与∠OAC和∠AOC相等的角： ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. ∠AOC=∠BOC=∠PAC=∠PBC （3）图中所有的相等的线段：PA=PB，AC =BC，OA =OB. （4）图中所有的全等三角形: △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （5）图中所有的等腰三角形: △ABP △AOB 【教材例题】 例1 已知：如图，过点P的两条直线分别与⊙O相切于点A，B，Q为劣弧AB上异于点A，B的任意一点，过点Q的切线分别与切线PA，PB相交于点C，D. 求证：△PCD的周长等于2PA. 证明：∵PA，PB，CD都是⊙O的切线， ∴PA=PB ， CQ=CA，DQ= DB. ∴△PCD的周长= PC+PD+CD = PC+PD+CQ+DQ = PC+PD+CA+DB = PA+PB=2PA. 【探究2】三角形的内切圆 【教材例题】 例2 用尺规作圆，使其与已知三角形的三边都相切. 已知：如图，△ABC. 求作：⊙I，使它与△ABC的三边都相切. 分析：要求作的圆与△ABC的三边都相切，则这个圆的圆心到△ABC三边的距离都相等，所以圆心是三角形两个内角平分线的交点，圆的半径是交点到三角形一边的垂线的长. 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为I. 2.过点I作ID⊥BC.垂足为D. 3.以I为圆心，ID为半径作⊙I.⊙I即为所求. 如图，作IE⊥AC，IF⊥AB，垂足分别为E，F.由作图过程可知ID=IE=IF.因为I的半径为ID，所以⊙I与△ABC的三边AB，BC，AC分别相切于点F，D，E. 【归纳总结】与三角形的三边都相切的圆有且只有一个，我们称这个圆为三角形的内切圆(incircle)，称这个圆的圆心为三角形的内心(incenter). 让学生先自主探索，再小组合作，分析、总结、交流. 让学生注意切线与切线长的区别：切线是直线，无法度量；切线长是且线上一条线段的长，可以度量. 一定要让学生亲自动手操作,从中感悟、体会过圆外一点所作圆的两条切线的切线长是相等的,另外,要为学生留有充足的交流时间和活动空间,发表自己的看法. 关于定理的证明,由于几何部分的证明的学习到了最后阶段,在教学时,建议先让学生试着写出证明过程,教师再给予指导. 对于例2的教学,应引导学生回顾以前学过的知识,在分析、讨论的基础上,由学生动手操作,进一步体会这样做的依据. 3.学以致用，应用新知 考点1 切线长定理 【例1】 如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上．若PA长为2，则△PEF的周长是________． 解析：因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以PA＝PB，因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周长PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝(PE＋EC)＋(CF＋PF)＝PA＋PB＝2＋2＝4. 答案：4 【例2】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度． 解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝∠APB＝20°. 答案：20 考点2 三角形的内切圆 【例3】如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________． 解析：如图，连接OD.由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD＝30°，OD⊥BC，所以CD＝BC，OC＝2OD.又由BC＝2，则CD＝1.在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD2＋CD2＝OC2，所以OD2＋12＝(2OD)2，所以OD＝.即⊙O的半径为. 答案： 通过例题讲解，巩固理解切线长定理及其应用、三角形内切圆及其应用，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏. 4.随堂训练，巩固新知 1.平面内，⊙O的半径为2，PO=3，过点P可作⊙O的切线 （ ） A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 2.如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（　　） A.PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD 3.已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4.如图，点I是△ABC的内心，若∠I＝116°，则∠A等于（　） A．50° B．52° C．54° D．56° 5．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝　 　°． 6.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的． 参考答案： 1.C 2.D 3.D 4.B 5.76 6.解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝5(cm)，即铁环的半径为5cm. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 1.本节学习了切线长的定义，注意和切线比较. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 2.记住圆外切四边形的性质，并比较圆内接四边形. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P14-15习题中的A组T1—T5，B组T1—T2. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 29.4 切线长定理 提纲挈领，重点突出. 教后反思 教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$