29.5 正多边形与圆-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步教案(冀教版)

29.5 正多边形与圆 课题 29.5 正多边形与圆 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P16-19 教学目标 1.了解正多边形及与其有关的概念. 2.了解正多边形和圆的关系，并会进行有关的计算. 3.会利用尺规作圆的内接正方形和圆的内接正六边形. 教学重难点 重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、�边长之间的关系. 难点：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、�弦心距、边长之间的关系. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，引入课题 问题1：观察下面多边形，找出它们的边、角有什么特点？ 问题2：观看大屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出正多边形来吗? 问题3：圆具有哪些对称性？ （板书课题：29.5 正多边形与圆） 情境+复习引入，激发学生兴趣，且复习与本节内容相关的知识. 让学生观察、归纳出正多边形的特点. 2.实践探究，学习新知 【探究1】正多边形与圆的有关概念及计算 【过渡语】等边三角形、正方形的各边相等，各角也相等，现实中还有许多各边相等、各角也相等的多边形，这类多边形与圆有着密切的联系. 【观察与思考】 1.观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形. 2.量一量下列图形的边和角，概括它们的共同特点. 师生活动： 问题1：  什么叫正多边形？  问题2：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 【教师强调】判断一个多边形是否是正多边形，必须同时具备两个必备条件：①各边相等；②各角相等。二者缺一不可。 问题3：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 问题4：如何把一个圆几等分. 【归纳总结】 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形(regular polygon). 把一个圆n(n≥3)等分，顺次连接各等分点，就得到一个正边形.我们把这个正n边形叫做圆的内接正n边形，这个圆叫做正n边形的外接圆，外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到边的距离叫做正多边形的边心距. 如图，正六边形 ABCDEF为⊙O的内半径接正六边形，⊙O为正六边形ABCDEF的外接圆.点O为这个正六边形的中心，OA为半径，∠AOB为中心角，OH的长为边心距. 【探究2】正多边形的画法 【大家谈谈】 1.只要将圆n(n≥3)等分，就可以画出正n边形，如何将一个圆n等分呢? 2.正五边形的中心角是多少度?如何将圆五等分，画正五边形呢? 通过等分圆心角，可以画正多边形，对于一些特殊情形，可以用尺规作圆的内接正多边形. 【教材例题】 例1 用尺规作圆的内接正方形. 已知：如图，⊙O. 求作：正方形ACBD内接于⊙O. 分析：正方形的中心角是90°，作两条互相垂直的直径即可. 作法：1.作两条互相垂直的直径AC，BD. 2.顺次连接AB,BC,CD,DA. 四边形ACBD即为所求. 分析：由作图过程可知，四个中心角都是90，所以AB=BC=CD=DA.因为AC，BD都是直径，所以∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，即四边形ACBD为⊙O的内接正方形. 证明：∵AB⊥CD, ∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠DOA, AC=CB=BD=DA. ∵AB,CD是直径, ∴∠DAC=∠ACB=∠CBD=∠BDA=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 【试着做做】 1.计算圆的内接正六边形的中心角度数，指出正六边形的边长和外接圆半径之间的数量关系. 2.用尺规作圆的内接正六边形.(保留作图痕迹，不要求写出作法) 答案预设： 1.60° 正六边形的边长和其外接圆的半径相等. 2. 已知⊙O的半径为R，求作⊙O的内接正六边形. 作法：（1）作⊙O的任意一条直径FC； （2）分别以F，C为圆心，以R为半径 作弧，与⊙O 交于点E，A和D，B； （3）依次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA， 正六边形ABCDEF即为所求，如图. 【教材例题】 例2 如图29-5-4，△ABC为⊙O的内接正三角形，如果⊙O的半径为r，求这个正三角形的边长和边心距. 解:如图，连接OB，过点O作OD⊥BC，垂足为D. 在 Rt△OBD中， ∠OBD=30°，OB=r， ∴OD=，BD=，BC=2BD=. 即这个正三角形的边长为，边心距为. 【归纳总结】 圆内接正多边形的辅助线 1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形. 让学生先自主探索，再小组合作，分析、总结、交流. 让学生注意切线与切线长的区别：切线是直线，无法度量；切线长是且线上一条线段的长，可以度量. 一定要让学生亲自动手操作,从中感悟、体会过圆外一点所作圆的两条切线的切线长是相等的,另外,要为学生留有充足的交流时间和活动空间,发表自己的看法. 关于定理的证明,由于几何部分的证明的学习到了最后阶段,在教学时,建议先让学生试着写出证明过程,教师再给予指导. 对于例2的教学,应引导学生回顾以前学过的知识,在分析、讨论的基础上,由学生动手操作,进一步体会这样做的依据. 3.学以致用，应用新知 考点1 正多边形的相关概念 【例1】已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度． 解析：每个内角为108°，则每个外角为72°，根据多边形的外角和等于360°，∴正多边形的边数为5，则其中心为360°÷5＝72°. 答案：70 【例2】已知正六边形ABCDEF的半径是R，求正六边形的边长a和面积S. 解：作半径OA、OB，过O作OH⊥AB，如图.则∠AOH＝＝30°，∴AH＝R，∴a＝2AH＝R.由勾股定理可得：r2＝R2－(R)2，∴r＝R，∴S＝·a·r×6＝·R·R·6＝R2. 考点2 正多边形的作法 【例3】 如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 分析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分． 解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°； (2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形． 方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°； (2)在⊙O上用圆规截取＝； (3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形． 方法三：(1)作直径AD； (2)以D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C； (3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形． 方法四：(1)作直径AE； (2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C； (3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形． 通过例题讲解，巩固理解正多变星与圆的相关概念及性质应用、三角形内切圆及其应用，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以查缺补漏. 4.随堂训练，巩固新知 1.下列正多边形的中心角最小的是（　　） A B C D 2.已知圆内接正六边形的半径为，则该内接正六边形的边心距为（　　） A． B． C．3 D． 3.如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需（　　）个五边形完成这一圆环． A．6 B．7 C．8 D．9 4.等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积． 5.如图，在8×8的网格纸中，点O和点A都是格点，以O为圆心，OA为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法，保留作图痕迹）请在图中画⊙O的一个内接正八边形ABCDEFGH． 6.有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 . 参考答案： 1.A 2.C 3.B 4.解：设BC与⊙O切于M，连结OM、OB， 则OM⊥BC于M，OM=a， 连OE，作OE⊥EF于N，则OE=OM=a，∠EOM=45°，OE=a， ∵EN=a，EF=2EN=a，∴S正方形=a2． 5．解：如图，正八边形ABCDEFGH即为所求． 解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形． 6.解：连接OB,OC过点O作OM⊥BC于M. 在Rt△OMB中,OB＝4,∠BOM=30° ∴BM=×4=2. 利用勾股定理,可得边心距r==. 亭子地基的面积:. 亭子地基的周长:4×6=24（m） 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 1.各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 2.作正多边形的方法 （1）用量角器等分圆周作正n边形； （2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形． 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 6.布置作业 课本P18-19习题中的A组T1—T3，B组T1—T2. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 29.5 正多边形与圆 提纲挈领，重点突出. 教后反思 可取之处：正多边形是一种特殊的多边形，在生产生活中应用广泛.本节课抓住正多边形的核心概念，从学生已有的知识出发，将圆的有关概念与正多边形诸多概念进行对比学习，学生易于理解和掌握，这样设计突出了知识间的联系，关注学生的最近发展区，知识不枯燥乏味并且突出重点。利用圆的垂径定理，将正多边形的半径、边心距、边长一半转化为直角三角形的有关计算问题，难点有效突破，充分体现了转化的数学思想.让学生感受转化思想的魅力，精心设计练习，具有针对性，并将知识点结合习题有效落实，最终掌握解题的方法和技巧，落实数学思想方法. 不足之处：有的学生利用正多边形的定义去判定一个多边形是不是正多边形，只考虑其中一个必备条件；在正多边形的有关概念只去死记硬背，而不去结合图形记忆. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$