4.5 第1课时 利用一次函数解决实际问题-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(湘教版)

课题 第4章 4.5 一次函数的应用 第1课时 利用一次函数解决实际问题 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能 1．进一步训练学生的识图能力； 2．能利用函数图象解决简单的实际问题. 二、过程与方法 1．通过函数图象获取信息，进一步培养学生的数形结合意识； 2．通过函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力. 三、情感、态度与价值观 通过函数图象来解决实际问题，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，从而培养学生学习数学的兴趣，使他们能积极参与数学活动，进而更好地解决实际问题. 教学重点、 难点 教学重点：一次函数图象的应用. 教学难点：能结合一次函数表达式及其图象解决简单的实际问题. 教学准备 多媒体课件、三角尺 教学过程 1.问题导入 我们前面学习了有关函数的知识，相继我们又学习了一次函数的知识，那么你能举出生活中一次函数的例子吗？ 2.讲授新课 1．利用一次函数解决分段函数问题 探究：某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度.规定每户居民每月用电量不超过160 kW·h，则按0.6元/（kW·h)收费；若超过160 kW·h，则超出部分每1 kW·h加收0.1元. （1）写出某户居民某月应缴纳的电费y(元）与用电量x（kW·h)之间的函数表达式； （2）画出这个函数的图象； （3）小王家3月份，4月份分别用电150 kW·h和200kW·h，应缴纳电费各多少元？ （1）电费与用电量相关：当0≤x≤160时，y=0.6x； 当x>160时，y=160×0.6+(x-160)×（0.6+0.1)=0.7x-16. y与x的函数表达式也可以合起来表示为 （2）该函数的图象如图： （3）当x=150时，y=0.6×150=90，即3月份的电费为90元.当x=200时，y=0.7×200-16=124，即4月份的电费为124元. 2．利用一次函数解决相交直线问题 例1：甲、乙两地相距40 km，小明8：00点骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8 km/h；小红10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40 km/h.设小明所用的时间为x（h），小明与甲地的距离为y1（km），小红离甲地的距离为y2（km）. （1）分别写出y1，y2与x之间的函数表达式； （2）在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地. 解：（1）小明所用时间为x h，由“路程=速度×时间”可知y1=8x，自变量x的取值范围是0≤x≤5. 由于小红比小明晚出发2 h，因此小红所用时间为（x-2）h. 从而y2=40（x-2），自变量x的取值范围是2≤x≤3. （2）将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中， 如图所示. 过点M（0，40）作射线l与x轴平行，它先与射线y2=40（x-2）相交，这表明小红先到达乙地. 3.课堂练习 1.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的办法收费：月用水10 t以内(包括10 t)的用户，每吨收水费a元；月用水超过10 t的用户，10 t水仍按每吨a元收费，超过10 t的部分，按每吨b元(b>a)收费．设某户居民月用水x t，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)求a的值，并求出该户居民上月用水8t应收的水费； (2)求b的值，并写出当x>10时，y与x之间的函数表达式； (3)已知上月居民甲比居民乙多用4 t水，两家共收水费 46元，他们上月分别用水多少吨？ 解析：(1)用水量不超过10 t时，设其函数表达式为y=ax，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a的值；再将x=8代入，即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10 t多还是比10 t少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量． 解：(1)当0≤x≤10时，图象过原点，所以设y=ax.把(10，15)代入，解得a=1.5.所以y=1.5x(0≤x≤10)．当x=8时，y=1.5×8=12，即该户居民的水费为12元； (2)当x>10时，设y=bx+m(b≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得解得b=2，m=-5,即超过10 t的部分按每吨2元收费，此时函数表达式为y=2x-5(x>10)； (3)因为10×1.5+10×1.5+4×2=38<46，所以居民乙用水比10 t多．设居民乙上月用水x t，则居民甲上月用水(x+4) t.所以y甲=2(x+4)-5，y乙=2x-5. 由题意，得[2(x+4)-5]+(2x-5)=46，解得x=12. 即居民甲用水16 t，居民乙用水12 t. 方法总结：本题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论． 2.如图，线段AB，CD分别是一辆轿车和一辆客车在行驶过程中油箱内的剩余油量y1（L），y2（L）关于行驶时间x（h）的函数图象. （1）写出图中线段CD上点M的坐标及其表示的实际意义. （2）求出客车行驶前油箱内的油量. （3）求客车行驶1 h所消耗的油量相当于轿车行驶几小时所消耗的油量? 解析：第（1）题根据直角坐标系得出点M的坐标，进而得出其表示的实际意义；第（2）题先求出直线CD的表达式，再求出图象与y轴的交点坐标即可得出答案；第（3）题分别求出轿车和客车的耗油量，即可得出答案. 解：（1）点M的坐标为（1，60），表示的实际意义：客车行驶1 h所剩油量为60 L. （2）设客车在行驶过程中油箱内的剩余油量y2（L）与行驶时间x（h）之间的函数关系式为y2=ax+b，将M（1，60），D（3，0）代入，得解得a=-30，b=90. 所以表达式为y2=-30x+90.当x=0时，y=90. 故客车行驶前油箱内的油量为90 L. （3）∵轿车的耗油量为60÷4=15（L/h)，客车的耗油量为90÷3=30（L/h)， ∴客车行驶1 h所消耗的油量相当于轿车行驶2 h所消耗的油量. 方法总结：求出直线CD的表达式是解题关键，首先要利用图象信息确定函数表达式，然后根据函数表达式解决实际问题． 3.某商场欲购进A、B两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元． (1)求y关于x的函数表达式； (2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－成本) 品　牌 A B 进价(元/箱) 55 35 售价(元/箱) 63 40 解析：由表格中的信息可得到A、B两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润． 解：(1)由题意，知B种饮料有(500－x)箱，则y＝(63－55)x＋(40－35)(500－x)＝3x＋2500.即y＝3x＋2500(0≤x≤500)； (2)由题意，得55x＋35(500－x)≤20000.解得x≤125.∴当x＝125时，y最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元． 方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系． 4.如图①，底面积为30 cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示． 　　 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？ (2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为15 cm2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积． 解析：(1)根据图象，分三个部分：注满“几何体”下方圆柱需18s；注满“几何体”上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5 cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可． 解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14 cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11 cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，则18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5 cm3/s； (2)由图②知“几何体”下方圆柱的高为a cm，则a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体”上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2. 方法总结：本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题． 4.课堂小结 1.一次函数的应用 1.利用一次函数图象解题的一般步骤： （1）分析题目中的已知条件，找出题目中的相关关系； （2）确定函数的类型，设出相应的关系式； （3）将相关条件代入关系式，求出待定系数； （4）根据题意写出函数关系式并画出图象； （5）根据函数图象的性质和自变量的值解题. 2.分段函数 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 注意：（1）分段函数的出现是实际生活的一种需要，对自变量的不同取值，用不同的关系式表示同一个函数关系，所以分段函数是一个函数而不是几个函数；（2）在写分段函数的解析式时必须注明自变量的取值范围. 3.解题策略 常见一次函数的应用模型与方法： （1）用一次函数解决“数量关系”型的问题. 在某些实际问题中，题目所涉及的两个变量为一次函数关系，这个关系式以文字叙述的形式表示出来，解题时，可根据题目中的数量关系建立一次函数模型，然后运用一次函数的有关知识解决这个实际问题. （2）用一次函数解决“图形关系”型的问题. 在某些实际问题中，题目所涉及的两个变量为一次函数关系，这个关系以图形的形式表示出来，在解题时，可根据图形中反映出来的数量关系建立一次函数模型，然后运用一次函数的有关知识解决这个实同问题. 5.板书设计 一次函数与实际问题 1．建立一次函数模型解实际问题 2．利用图象(表)解决实际问题 教学设计反思 对于分段函数的实际应用问题中，学生往往忽视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高. 学科网（北京）股份有限公司 $$