2.1 第1课时 多边形的概念及其内角和-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(湘教版)

课题 第2章 2.1 多边形 第1课时 多边形的概念及其内角和 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 一、知识与技能  1．理解多边形及正多边形的定义. 2．掌握多边形的内角和公式. 二、过程与方法 1．经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系. 2．探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.  三、情感、态度与价值观  经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系. 教学重点、 难点 教学重点：多边形的内角和. 教学难点：探索多边形的内角和公式过程. 教学准备 多媒体课件、三角尺 教学过程 1.情境导入 小学时我们已经学习过多边形，对它有了初步的了解． 提问1：若把长方形的一张纸片剪去一角，会出现什么形状的图形. 三角形，四边形，五边形. 提问2：三角形的内角和是180°，正方形和长方形的内角和是360°． 提问3：你知道下列图形中，除三角形和正方形外，其他多边形的内角和分别是多少吗？我们能不能求出任意一个多边形的内角和？ 这节课就让我们一起来探究一下多边形的内角和如何计算． 2.讲授新课 1．多边形的内角和 阅读教材P34观察，完成下列内容： (1)在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形，组成多边形的各条线段叫作多边形的边．相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点，连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，相邻两边组成的角叫作多边形的内角． (2)在平面内，边相等、角也相等的多边形叫作正多边形． 归纳：在平面内，由一些线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫作多边形． 注意：多边形有凸多边形和凹多边形之分. 如图，把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))，图(1)的多边形是凹多边形.我们探讨的一般都是凸多边形. 多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五边形EDCBA. 我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题：一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？ 小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和.你知道他们是怎么做的吗？还有其他的方法吗？ 在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三 角形.进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方 法是我们数学中一种非常重要的方法. 完成教材P35探究中的填表. 引导得出：从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引(n-3)条对角线，这时n边形被分割成(n-2)个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以我们可以得出多边形的内角和定理：n边形的内角和为：(n-2)·180°. 想一想：n边形的内角和公式中，字母n取值有没有范围？（必须是大于3的自然数） 动脑筋：我们还可以用其他方法探究n边形的内角和公式吗? 如图，在n边形内任取一点0，与多边形各顶点连接，把n边形分成n个三角形，用n个三角形的内角和n·180°减去中心的周角360°，得n边形的内角和为（n-2）·180°. 例1：(1)十边形的内角和是多少度？ (2)一个多边形的内角和为1980°，它是几边形？ 解：(1)十边形的内角和是(10-2)×180°=1440°. (2)设这个多边形的边数为n，则 (n-2)×180°=1980°，解得n=13. 所以这是一个十三边形. 2．正多边形 “想一想”：观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？ 1．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如上图中的多边形分别为：正三角形即等边三角形、正四边形即正方形、正五边形、正六边形. 2．正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形. 想一想：(1)一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？(2)一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？(3)正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？ 解：(1)如菱形的四条边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等.(2)一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等，如：矩形的内角都是直角，但它的边未必都相等.(3)因为正多边形的每个内角都相等，且它的内角和为(n-2)·180°，所以，正n边形的每个内角为：·180°.因此，正三角形的内角是×180°=60°；正方形的内角是×180°=90°. 正五边形的内角是: 108°；正六边形的内角是：120°；正八边形的内角是：135°. 3.课堂练习 1．一个正方形缺去一个角后内角和为多少度？ 解：如图，正方形缺去一个角可能为三角形或四边形或五边形，所以内角和可能为(3-2)×180o或(4-2)×180o或(5-2)×180o，即180o或360o或540o. 2．如图所示，回答下列问题： (1)小华是在求几边形的内角和？ (2)少加的那个内角为多少度？ 解：(1)∵1125÷180=6，∴n-2≥6，即n≥86， 又∵n为整数，∴n=9， 故小华求的是九边形的内角和. (2)∵1125÷180的余数为45， ∴小华少加的那个内角度数为180°-45°=135°. 3．如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数． 解：如图所示，连接BF，则∠A+∠G+∠1=∠2+∠3+ ∠4.∵∠1=∠2，∴∠A+∠G=∠3+∠4，∴∠A+∠B+ ∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠D+∠C+∠CBF+∠BFE+∠E=(5-2)×180°=540°. 方法总结：求不规则多边形的内角和时，通过添加 辅助线将其转化为规则图形，是解答此类题目最常用的方法． 4．若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍，则此多边形的边数为_______．　　 解析：可以设这个多边形有n个顶点，则就有n条边，过一个顶点可以引出(n-3)条对角线．故n=2(n-3)，即n=6.故答案为6. 方法总结：①n边形中，过一个顶点可引(n-3)条对角线；②一个n边形总共有条对角线． 5．一个多边形共有的对角线条数是它的边数的3倍，这个多边形的内角和是多少度？ 解：设这个多边形的边数为n，由题意得=3n，所以n-3=2×3，所以n=9，所以(n-2)·180°=(9-2)×180°= 1260°，所以这个多边形的内角和为1260°. 方法总结：n边形的对角线条数为，利用对角线条数的计算方法，知道多边形的边数或对角线条数其中一个，即可求出另一个数． 4.课堂小结 1．与多边形有关的概念 (1)在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形；组成多边形的各条线段叫作多边形的边；相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点；连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线；相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角. (2)在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫作正多边形. 2．多边形的内角和 1．多边形的角与对角线的计算 (1)多边形的内角和：n边形的内角和等于(n-2)·180°，且内角和一定是180°的整数倍. (2)正n边形的每一个外角都为，每一个内角都为，也可以用“180°-”来计算. (3)已知边数求对角线的条数：n边形一个顶点可以引(n-3)条对角线，把这个n边形分成(n-2)个三角形，n边形有条对角线. 5.板书设计 1．多边形的定义及相关概念 2．多边形的对角线总条数的计算公式(n为边数) 3．多边形的内角和公式：(n-2)·180° 教学设计 反思 教学过程中，要让学生学会由特殊的图形推导出一般图形的相关性质，这是我们数学学习中经常会运用的基本能力，所以我们平时就应该有意识的培养学生这方面的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$