广东省佛山市2024-2025学年高二上学期1月期末教学质量检测数学试题

20242025学年上学期佛山市普通高中教学质量检测 高二数学参考答案与评分标准 一、选舞题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 题号 2 3 5 6 8 答案 D A C A B 二、选舞题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 题号 9 10 11 答案 BD AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.7 13.3 14. 2-5 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解析】(1)A,B,C,D四点共圆. …1分 [法一]依题意，ka= 5-4_1 5-(-2) 5-6 =-7,则kBk0=-1,故AB⊥BC.2分 所以AC是圆P的直径于是圆心P(2+6,4,3,即P2,D: 22 …3分 半径为AP=√(-2-2)2+(4-1)2=5.… …4分 故圆P的方程为(x-2)2+(y-1)2=25. ……5分 代入D(-1,5),则有(-1-2)2+(5-1)2=25.因此点D在圆P上，即A,B,C,D四点共圆. …6分 20-2D+4E+F=0 [法二]设圆P的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.则50+5D+5E+F=0 …2分 40+6D-2E+F=0 解得D=-4,E=-2,F=-20. …4分 所以，圆P的方程为x2+y2-4x-2y-20=0… …5分 代入D(-1,5)圆的方程，1+25+4-10-20=0： 故点D在圆P上，即A,B,C,D四点共圆. …6分 (②)当直线1的斜率不存在时，对于(x-2)2+(y-1)2=25,令x=-1,得y=-3或y=5.…7分 此时弦长W=5-(-3)=8,符合题意，故直线1的直线方程为x=一1.…8分 当直线1的斜率存在时，设y-5=k(x+1),即-y+k+5=0 …9分 于是圆心P(2,)到直线的距离为d=2-1++5」 3k+4 ……10分 Vk2+1 Vk2+1 3k+4 设弦长为WM,则MW=2√r2-d,即8=2,25 …1】分 Vk2+1 解得k=一 故直线1的方程为7x+24y-113=0 ……12分 24 高二数学试题第1页共4页 综上所述，直线1的方程为X=-1或7x+24y-113=0.…13分 16.【解析】(1)在梯形BDFE中，OE=3,OF 35,r=36 所以EF2=OE2+OF2,则OF⊥OE,… …3分 在4CF中，oF=3y5,OC=l.cF= 2 所以CF2=OC2+OF2,则OF⊥OC,… …6分 因为OE∩OC=O,OE,OCC平面EAC,所以OF⊥平面EAC.…7分 (2)以O为原点，建立空间直角坐标系O-3z如图所示， 40-10.C0.10.B5,06.F5.0,5.…8分E aE=(1,4619 …9分 设平面AEF的一个法向量为=(x,y,), nAE=0 x+y+6=0 所以。 nAF=0 -5x+y+5:=0从面可得n=35-2同…1分 2z=0 同理可得平面CEF的一个法向量为m=L,-3V5,-22),… …13分 所以cos<m,>= 网滑专 故平面AEF与平面CEF的夹角为60°， …15分 17.【解析】(1)依题意，记A=“接下来第i次投中”，i=1,2,3,4…1分 B=“甲投完第8次球后甲得分为6分”…2分 则B=44,UAA2,且AA2与AA2互斥，…3分 根据概率的加法公式和事件独立性定义，得 P(B)=P(AA,UAA.)=P(AA,)+P(AA.)=P(A)P(A,)+P(A)P(A.) …4分 11,111 22222 …5分 @记C=“甲再授一次优秀”，则C=4,放PG=P4) …7分 记D=“甲再投两次优秀”，则D=A4,放P(D)=P44)=P4)P(4)=宁分°=月 …9分 记E=“甲再投三次优秀”，则E=AA,4,UAA2A,UAA,4UAA,A, P(E)=P(AAA,UAA,A,UAAA,UAA,A,) =444)+P44再)+P4440+Pa44)=(匀+39-5…1分 记F=“甲再投四次优秀”，则F=4A4AU4A4AUA4A,A,UA4,4,4U44,44, P(F)=P(A444,UA4,4,4 UA4,4 4UA4A,4,UAAA,A) 高二数学试题第2页共4页 =P(A44,A)+P(A44,A)+P(A44,A)+P(AAA,A)+P(A44,A) =+4 …13分 16 故P(C)=P(E)>P(F)>P(D),… …14分 因此应该选择投篮7次或9次 …15分 18.【解析】(1)由 y2=4x y=+b 得2-4y+4b=0,由△=(-4)-4k×4b=0,得b=1,…2分 所以k=b=1,此时点P坐标为(1,2)， …4分 注意到点F坐标为(1,0)，所以PF⊥x轴，点9坐标为(1，-2)，故弦长P=4:…7分 (②)直线PF过点F(L,0),且斜率不为0，不妨设直线PF方程为x=y+1, 联立方程， y2=4x 得y2-4y-4=0. x=y+1 设P(5,Q(6,),由k≥b≥行知%>0且为<0，所以 X+2=4m …9分 y2=-4 △OPe面积Sae=Sem+Soe=1oF0y+=y-) …11分 由①冲励=1，得2-4y+是=0所以（内-2=0，可求得点P坐标为 12 …13分 2k (y-y广=(y+y2)}'-4y2=16m2+16 …15分 由k≥b≥分且动=1，知及∈L,2引则产∈[L4小 当电4小赋伏)上#+京-2弹调递塔其指装为0引 所以(0x-广=4产+京-2小+16e625列则%-头e4列 所以S。e-为)[2引故△OP0面积的取值范是 5-2 …17分 [法二]联立 y2=4x y=kx+ ,可得2-4y+4b=0,依题意可得△=16-16b=0,则b=1. 2 且y,= 2kk' …10分 k 设直线PO:x=y+1,联立 y2=4x 得x2-(4m2+2)x+1=0,则xx2=1, x=w+1 高二数学试题第3页共4页 1 结合x,=京得。=k,于是。=-2k,即点Q(k,2) ……13分 风面8e0-小最+2洲+号 …15分 因为仙=1，且≥b≥3放kL,2小，从而+ 因此△OPQ面积的取值范围是B,] 。…17分 19.【解析】(1)设P(x,y),A(a,0),B(0,b),由AB=3,得d2+b2=9,…2分 由BP=(xy-b),pA=(a-x,-y),BP=2PA,… …3分 则=2a-a-5 3 …5分 y-b=-2y b=3y 所以(+6=9，即学+y产=1故动点P的轨选方程为 4+2=1 …7分 x2+4y2=4 (2)设直线MN:x=y+4,且M(x,y),N(x2,y2).联立 x=y+4 得(m2+4)y2+8y+12=0,则△=642-48(m2+4)>0,得m2>12 且片+⅓=- 8m m2+45= 12 …小0分 m2+4 由题可得QL),于是ow=上二当，故直线Qw的方程为y=上-上（代-）+片.…1分 x2-1 2-1 由对称性可得，若QN恒过定点，则可猜想定点在x轴上 …12分 令y=0,则x=-出=业-（少+4y=上-4y-my丛 …14分 2一 2-片 y2-y 8m 3 由片+乃=- m+4-12 ,得当+生=-2”，即-m%”=亏4+2)， Γm2+4'y2 2 3 5 于是x= 片-4g+0+为》30)5 …6分 y-M 2-y 2 故直线QN恒过定点2,0)。 …17分 2 高二数学试题第4页共4页 高二数学试题 第 1 页 共 4 页 N M F E D C B A 2024～2025 学年上学期佛山市普通高中教学质量检测 高二数学 本试卷共 4页,19小题.满分 150分.考试用时 120分钟. 注意事项: 1．答卷前,考生务必要填涂答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点 ( )11,A y , ( )22,B y 在斜率为 3 的直线 l 上,则 =− 12 yy A. 3− B. 3 3 − C. 3 3 D. 3 2. 抛物线 2 8 0x y+ = 的焦点到准线的距离为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3．已知双曲线的一条渐近线方程是 2y x= ,虚轴的一个端点坐标为 ( )0,2 ,则双曲线的标准方程为 A. 2 2 1 4 y x − = B. 2 2 1 4 x y− = C. 2 2 1 4 16 x y − = D. 2 2 1 16 4 x y − = 4. 下列方程表示的椭圆中,形状最接近于圆的是 A. 2 2 1 3 2 x y + = B. 2 2 1 4 3 x y + = C. 2 2 1 3 4 x y + = D. 2 2 1 4 5 x y + = 5. 已知数列 na 的通项公式为 2 na n kn= + ,若 na 是递增数列,则实数 k 的取值范围为 A． ( , 2− − B． )2,− + C． ( )3,− + D． ( ), 3− − 6. 甲乙两名同学参加羽毛球单打比赛,比赛规则是 3局 2胜制.现通过设计模拟实验估算概率,用 1,3,5表 示一局比赛甲获胜,用 2,4表示一局比赛乙获胜.利用计算机产生 20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 254 由此估计甲赢得比赛的概率为 A. 6.0 B. 65.0 C. 7.0 D. 0.75 7. 已知圆 1O 和圆 2O 都和 x 轴正半轴相切,且圆心都在直线 xy = 上,半径之差为4 ,则 =21OO A． 24 B. 34 C. 26 D. 36 8. 在如图所示的试验装置中,两个正方形框架 ABCD, ABEF 的边长都是3 , 且它们所在的平面互相垂直.活动弹子 ,M N 分别在正方形对角线 AC 和 BF 上移动,则MN 的最小值为 A． 2 B． 3 C． 3 2 2 D． 2 3 3 2025 年 1 月 高二数学试题 第 2 页 共 4 页 二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对 的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分. 9. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次,设事件 =A “第一次正面朝上”,事件 =B “第二次反面朝上”,则 A. A 与 B 互斥 B. A 与 B 相互独立 C. A 与 B 相等 D. ( ) ( )P A P B= 10.如图, AB 为 O 的直径,C 为 O 上异于 ,A B的动点,PA ⊥平面 ABC , M 为 PA 的中点,且 3PA = , 7AB = ,则 A． BC 的长等于点 B 到直线 PC 的距离 B． ACB 为二面角 A PC B− − 的平面角 C．当 3AC = 时, BP 与平面 PAC 所成角为30 D．过M 作平面 // 平面 ABC ,则平面 与 PC 交点的轨迹为椭圆 11.已知抛物线C : ( )2 2 0y px p=  和椭圆 : ( ) 2 2 2 2 1 1 1 x y a a a + =  − 有相同的焦点 F ,且交于 ,M N 两 点,C 的准线与交于 ,P Q 两点,则 A．存在 2a  ,使 FPQ 为等边三角形 B．存在 1a  ,使四边形 PQNM 为正方形 C．任意 1a  ,点M 总在圆 F : ( ) 2 21 1x y− + = 外 D．任意 2a  ,椭圆上任一点总在圆F : ( ) 2 21 1x y− + = 外 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12.在空间直角坐标系Oxyz 中,平面 的法向量 ( )1,2,2=n ,点 ( )3,4,5P 在 内,则原点O到 的距离 为________. 13.已知 1F , 2F 分别为双曲线C : ( ) 2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b − =   的左、右焦点,过 2F 作斜率为2 2 的直线与C 的右支交于点 P ,若 1 2F PF 是以 2PF 为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为__________. 14.已知点 ( )1, 3P − 关于直线 kxy = 的对称点在圆C : ( )22 4 4x y+ − = 上,则 =k . 四、解答题:本题共 5小题,共 77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.( 13 分) 已知 ( )2,4A − , ( )5,5B , ( )6, 2C − 是圆P 上的三点, ( )1,5D − . (1) 判断 DCBA ,,, 四点是否共圆,并说明理由； (2) 过点 D 的直线 l 被圆 P 截得的弦长为8 ,求直线 l 的方程. 高二数学试题 第 3 页 共 4 页 O C B A D E F 16.( 15 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD是边长为2 的菱形, 3 ABC   = , AC BD O= , DF ⊥平面 ABCD, //DF BE , 2 6BE DF= = . (1) 求证:OF ⊥平面 EAC ； (2) 求平面 AEF 与平面CEF 夹角的大小. 17.( 15 分) 甲同学参加立定投篮训练活动.规则如下:每投中一球得1分,投不进得 1− 分.已知甲每次的投篮命中 率为 1 2 ,前6 次投篮全部命中,各次投篮结果相互独立. (1) 求甲投完第8次球后得分依旧为6 分的概率. (2) 若甲最多有 10次投篮机会,得分不少于7 分则为优秀.为了使获得优秀的概率最大,甲选择的投篮 次数应该是多少次？ 高二数学试题 第 4 页 共 4 页 18.( 17 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线C : 2 4y x= 的焦点为 F ,直线 l : y kx b= + ,其中 1 2 k b  ,直线 l 与C 有且只有一个公共点 P ,直线 PF 交C 于另一个点Q . (1) 当 k b= 时,求 PQ 的值； (2) 求 OPQ 面积的取值范围. 19.( 17 分) 已知长为3的线段的两个端点 A 、 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,且 2BP PA= . (1) 求动点 P 的轨迹方程； (2) 记 ( )1,0F ,动点 P 的轨迹为曲线C ,过点 ( )4,0D 的直线交曲线C 于M 、N 两点,分别过点M 、 F 作 y 轴和 x 轴的垂线交于点Q ,求证直线QN 恒过定点,并求该定点坐标.