专题16.10 二次根式（全章常考知识点分类专题）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题16.10 二次根式（全章常考知识点分类专题）（专项练习） 考点与题型目录 【考点一】夯实基本概念 【题型1】二次根式...........................................................1 【题型2】最简二次根式.......................................................2 【题型3】同类二次根式.......................................................2 【题型4】分母有理化.........................................................2 【考点二】性质条分缕析 【题型5】利用二次根式的性质化简.............................................3 【题型6】复合二次根式的化简.................................................3 【题型7】利用二次根式性质比较大小...........................................3 【考点三】运算娴熟精通 【题型8】二次根式乘除运算...................................................4 【题型9】二次根式加减运算...................................................4 【题型10】二次根式加减乘除混合运算..........................................4 【题型11】二次根式混合运算化简求值..........................................5 【考点一】夯实基本概念 【题型1】二次根式 1．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 3．（24-25八年级上·四川达州·期末）已知，为实数，且，则的值是 ． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，则的值是 ． 【题型2】最简二次根式 5．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 6．（21-22八年级下·广西贺州·期中）已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）将根式，，，，中是最简二次根式的填在横线上 ． 8．（21-22八年级上·四川成都·期末）在、、、、、中，是最简二次根式的是 ． 【题型3】同类二次根式 9．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）若与是同类二次根式，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 12．（23-24八年级下·吉林四平·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【题型4】分母有理化 13．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）下列各式中，与互为有理化因式的是（ ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）不等式的解集为 ． 16．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知若、是分别是整数部分和小数部分，则的值为 ． 【考点二】性质条分缕析 【题型5】利用二次根式的性质化简 17．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（17-18八年级下·全国·课后作业）化简：＝ ． 20．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则化简后为 ． 【题型6】复合二次根式的化简 21．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 22（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）计算的结果是 ． 23（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型7】利用二次根式性质比较大小 24．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； （2）判断之间的大小，并证明． 25.（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 26.（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）比较大小： ． 【考点三】运算娴熟精通 【题型8】二次根式乘除运算 27．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2），． 28．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： （1） （2） 29．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ （1）； （2）． 【题型9】二次根式加减运算 30．（24-25八年级上·广东梅州·期中）计算： （1） （2） 31．（24-25八年级上·河南开封·期末）计算： （1）； （2）． 32．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： （1） （2） 【题型10】二次根式加减乘除混合运算 33．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）计算： （1）； （2）． 34．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）计算 （1）； （2）． 35．（24-25八年级上·河南郑州·期中）计算： （1）； （2）． 【题型11】二次根式混合运算化简求值 36．（24-25八年级下·全国·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 37．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 38．（24-25九年级上·四川眉山·期中）已知，，．求： （1）和的值； （2）求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16.10 二次根式（全章常考知识点分类专题）（专项练习） 考点与题型目录 【考点一】夯实基本概念 【题型1】二次根式...........................................................1 【题型2】最简二次根式.......................................................3 【题型3】同类二次根式.......................................................5 【题型4】分母有理化.........................................................6 【考点二】性质条分缕析 【题型5】利用二次根式的性质化简.............................................8 【题型6】复合二次根式的化简.................................................10 【题型7】利用二次根式性质比较大小...........................................11 【考点三】运算娴熟精通 【题型8】二次根式乘除运算...................................................13 【题型9】二次根式加减运算...................................................15 【题型10】二次根式加减乘除混合运算..........................................17 【题型11】二次根式混合运算化简求值..........................................18 【考点一】夯实基本概念 【题型1】二次根式 1．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键； 形如的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式． 解：形如的式子叫做二次根式． 在，，，，中， 不含根号，被开方数小于，不符合要求，不是二次根式，其余个是二次根式， 所以，二次根式有个． 故选：C 2．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和解不等式组，先根据为整数和二次根式有意义求出x的值，再分别代入求解即可． 解：∵有意义， ∴， 解得：， ∵x是整数， ∴或4或5， 原式或1， 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川达州·期末）已知，为实数，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 利用二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组即可求出a的值，进而得出b的值，然后将、的值代入代数式求值即可． 解：由题意可得：且， 解得：， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，求解代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题． 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2】最简二次根式 5．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；根据此定义进行判断即可． 解：中被开方数含有弄得尽方的因数9，中被开方数含有开得尽方的因式，它们不是最简二次根式；中被开方数含有分母，故不是最简二次根式；而满足最简二次根式的条件； 故选：C． 6．（21-22八年级下·广西贺州·期中）已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可． 解：根据题意可知， 解得：， ∴． 故选D． 【点拨】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键． 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）将根式，，，，中是最简二次根式的填在横线上 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． 解：和是最简二次根式， 不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 故答案为：，． 8．（21-22八年级上·四川成都·期末）在、、、、、中，是最简二次根式的是 ． 【答案】 【分析】本题是对最简二次根式的考查，熟练掌握最简二次根式定义是解决本题的关键．根据被开方数不含分母，不含开得尽方的因数或因式分析判断即可． 解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 不是二次根式， 是最简二次根式； 故答案为：． 【题型3】同类二次根式 9．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）若与是同类二次根式，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键． 根据同类二次根式的定义逐个判断即可． 解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、，与是同类二次根式，故本选项符合题意； C、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B 10．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式和化简二次根式为最简二次根式，先将每个二次根式化为最简二次根式，判断是否为的同类二次根式，即可判断各选项． 解：A. ，不能与合并，故该选项不符合题意； B. ，能与合并，故该选项符合题意；     C. ，不能与合并，故该选项不符合题意；     D. ，不能与合并，故该选项不符合题意； 故选：B． 11．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，化简二次根式，根据同类二次根式的定义可得出，求解即可． 解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·吉林四平·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式以及同类二次根式，先整理得，因为与最简二次根式可以合并，故，即可作答． 解：依题意，， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴， 故答案为：1． 【题型4】分母有理化 13．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）下列各式中，与互为有理化因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了是分母有理化，熟练掌握两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称作互为有理化因式是解题的关键． 根据有理化因式的定义进行判断即可． 解：由题意知，与互为有理化因式的是， 故选：C． 14．（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可． 解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 15．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分母有理化和求不等式解集，解题关键熟练掌握分母有理化方法，准确进行计算； 先移项、合并同类项，再系数化为1即可求解． 解：， ， ， ， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知若、是分别是整数部分和小数部分，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值以及无理数整数部分的有关计算，先得即，从而求得，，代入进行计算，即可作答． 解： ∵ ∴， ∴即， ∵、是分别是整数部分和小数部分， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【考点二】性质条分缕析 【题型5】利用二次根式的性质化简 17．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据，得到，再利用化简即可． 解：， ， ， 故选：D． 18．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，得到，据此利用二次根式的性质化简即可． 解：根据题意可得，得到， 那么 故选：A． 19．（17-18八年级下·全国·课后作业）化简：＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质，利用二次根式的性质进行化简． 解：∵， ∴， ∴原式． 故答案为： 20．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则化简后为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简，即可求解． 解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【题型6】复合二次根式的化简 21．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 22（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 解： ； 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 23（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 解：原式 ， 故选：D． 【题型7】利用二次根式性质比较大小 24．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； （2）判断之间的大小，并证明． 【答案】（1）>；（2），见分析． 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键， （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 解：（1）解：， 则， 故答案为：>； （2）， 证明：， ， ， ， ． 25.（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 26.（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，分母有理化，比较这两个式子的大小，可以比较这两个式子的倒数，利用分母有理化的方法求出这两个式子的倒数，由于这两个数都是正数，则倒数越大，其值越小，据此求解即可． 解：， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点三】运算娴熟精通 【题型8】二次根式乘除运算 27．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2），． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算： （1）先把带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 28．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是： （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）把各式子的分子、分母进行因式分解，然后把除法转换为乘法，再进行约分，最后根据二次根式的乘法、二次根式的性质化简计算即可． 解：（1）解∶ ； （2）解： ． 29．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 解：（1） ； （2） ． 【题型9】二次根式加减运算 30．（24-25八年级上·广东梅州·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）6；（2） 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据乘方的法则，去绝对值的法则，立方根的定义，实数的运算法则计算即可． （2）根据算术平方根的定义，实数的运算法则计算即可； 解：（1）解： ； （2）解： ． 31．（24-25八年级上·河南开封·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数混合运算，涉及零指数幂、取绝对值、负整数指数幂运算、二次根式性质、二次根式加减运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键； （1）根据二次根式的加减计算即可； （2）先由零指数幂、取绝对值、负整数指数幂运算、二次根式性质化简，再有二次根式加减运算法则求解即可． 解：（1）解：原式 ； （2）原式 ． 32．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算． （1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型10】二次根式加减乘除混合运算 33．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2）2 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的除法运算，掌握二次根式的性质以及二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，求一个数的立方根和平方根，进而根据实数的性质进行计算即可； （2）根据二次根式的乘除法运算进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 34．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）运用平方差公式及完全平方公式进行运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先进行零次幂、负指数幂、去绝对值运算，同时将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算，即可求解； 掌握二次根式混合运算的步骤是解题的关键． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 35．（24-25八年级上·河南郑州·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则计算，再化简二次根式，后计算加减即可； （2）先利用乘法公式计算，再计算加减即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型11】二次根式混合运算化简求值 36．（24-25八年级下·全国·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据二次根式的定义对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 解：， ， 当时， 原式， ， 37．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 38．（24-25九年级上·四川眉山·期中）已知，，．求： （1）和的值； （2）求的值． 【答案】（1）；；（2）9 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先将已知和的值进行分母有理化，得到，，再分别根据二次根式的加法法则和乘法法则即可求出答案； （2）根据完全平方公式将原式变为，再代入（1）的值即可求出答案． 解：（1）解：， ， ， ； （2）解：由（1）可知，，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$