精品解析：湖北省黄冈市蕲春县第一高级中学2024-2025学年高一培优班上学期12月月考数学试卷

高一培优班12月月考数学试题 命题范围：必修一，必修二第六、七章 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为虚数单位，复数z满足，则为（ ）． A. B. 5 C. 2 D. 3. “”是“函数是在上的单调函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是（ ）（注：1丈=10尺） A. 立方尺 B. 立方尺 C. 3892立方尺 D. 11676立方尺 6. 定义在上的函数满足：①，，②，，，都有，③，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（ ） A. 南偏东方向 B. 南偏西方向 C. 北偏西方向 D. 北偏西方向 8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若关于的不等式的解集是或，则 B. 若集合有且仅有两个子集，则的最大值为 C. 若，则的最大值为 D. 若，且关于x的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是 11. 平行四边形ABCD中，，，.动点P满足，，下列选项中正确的有（    ） A. 时，的取值范围是 B. 时，存在使得 C. 时，动点形成的轨迹的长为 D. 且最大时，在上的投影向量为 三、填空题 12. 已知函数，则______． 13. 古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，此圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，若在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球（溢出部分水），则“阿氏球柱体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为______． 14. 克罗狄·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师，托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为:圆的内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和.已知四边形是圆的内接四边形，且，若，则（1）圆的半径是______________，（2）四边形面积的取值范围是_________. 四、解答题 15. 已知，. （1）若，，且、、三点共线，求的值. （2）当实数为何值时，与垂直? 16. 计算下列各式的值： （1） （2）设，，用a，b表示； （3）已知，试求的值. 17. 已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为. （1）求的值及的单调递增区间； （2）将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围. 18. 某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，（），日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元． （1）求的值； （2）给出以下三个函数模型：①；②；③．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； （3）设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 19. 我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. （1）若，求出，； （2）如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一培优班12月月考数学试题 命题范围：必修一，必修二第六、七章 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法得，由对数函数的性质可得，再由交集的定义求解即可. 【详解】解：由，可得， 所以； 由，可得，解得， 所以； 所以. 故选：B. 2. 设为虚数单位，复数z满足，则为（ ）． A. B. 5 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法除法法则，结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由，得， 所以， 所以. 故选：D. 3. “”是“函数是在上的单调函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先应用对数函数的单调性判断函数单调性，再结合分段函数单调性列不等式求参得出，再应用充分必要条件定义判断即可. 【详解】依题意，函数是在上的单调函数， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 所以且，即． 时不能得到，时一定满足， 所以“”是“函数是在上的单调函数”的必要不充分条件． 故选：B. 4. 在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论列式计算即得. 【详解】由，得，则， 而三点共线，则， 所以. 故选：B 5. 我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是（ ）（注：1丈=10尺） A. 立方尺 B. 立方尺 C. 3892立方尺 D. 11676立方尺 【答案】C 【解析】 【分析】由棱台的特征及其体积公式计算即可. 【详解】 如图所示，由四棱锥I-ABCD截得棱台ABCD-EFGH，W、X分别为上下底面的中心，即IX为棱锥的高，WX为棱台的高， 由题意可知棱台上下底面均为正方形， 故其上下底面面积分别为，则， 棱锥的高，由棱台的性质可知，所以棱台的高. 故（立方尺）. 故选：C 6. 定义在上的函数满足：①，，②，，，都有，③，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得函数的单调性与对称性，结合函数的奇偶性和单调性之间的性质，将不等式转化为不等式组，数形结合求解即可． 【详解】，，则为偶函数， ，，，都有 当函数为增函数， 又因为是偶函数，所以当时，为减函数， ，， 作出函数的图象如图： 等价为或，即或， 由图像可得解集为 故选：C 7. 一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（ ） A. 南偏东方向 B. 南偏西方向 C. 北偏西方向 D. 北偏西方向 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理结合面积公式，再应用同角三角函数关系求出，由正弦定理边角互化，再应用两角和差公式化简，最后应用基本不等式及对勾函数的单调性求解即得. 【详解】在锐角，由余弦定理可知， 由面积公式可得，代入到已知条件可得 ， 因为，化简可得， 根据恒等变换可得，因为锐角， 所以，所以可得， 所以， 则， 因为锐角，所以， 则，在单调递增， 则，令，所以， 所以，由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增， 当时，是极小值，当或时，最大值， 则. 故选：C 二、多选题 9. 设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于，的方程，结合同角三角函数的关系，完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意，，是方程的两根，则， 由，得，即， 解得，则，解得，故A错误； 对于B，， 因为，所以，又，所以， 则，因此，故B正确； 对于C，由，解得， 则，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：BD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若关于的不等式的解集是或，则 B. 若集合有且仅有两个子集，则的最大值为 C. 若，则的最大值为 D. 若，且关于x的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，根据一元二次不等式解集与方程根的关系来确定参数的值，再验证等式. 对于B选项，运用集合有且仅有两个子集，得到方程有一个根，借助根的判别式，得到，关系式，化简式子，再求最值即可. 对于C选项，先根据已知条件得到与的关系，再利用换元数学方法，结合基本不等式求式子的最大值. 对于D选项，根据不等式的解集以及已知条件确定的取值范围. 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集是或， 则和是两根. 由韦达定理， ， 解得，. 则，所以A选项正确. 对于B选项，运用集合有且仅有两个子集，则方程有一个根，所以判别式，即，可得. 把代入得： 所以当时，取得最大值.所以B选项错误. 对于C选项，若，则，即. 令，则. 所以. 令，则. 对求最大值，. 根据均值不等式，当且仅当时取等号. 所以，所以C选项正确. 对于D选项，当时，. 因为不等式的解集中有且仅有三个正整数，令， 则的解集中有且仅有三个正整数,所以,的解集为, 所以的解集中有且仅有三个正整数，，， 则，解得，所以D选项正确. 故选：ACD. 11. 平行四边形ABCD中，，，.动点P满足，，下列选项中正确的有（    ） A. 时，的取值范围是 B. 时，存在使得 C. 时，动点形成的轨迹的长为 D. 且最大时，在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图形特征建立平面直角坐标系，当时在线段上，从而判断A；若，，则，通过解方程进而判断B；通过从而得到动点轨迹方程进而判断C；通过图形特征以及投影向量的相关概念判断D. 【详解】在平行四边形ABCD中，作，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，则， 所以，则， 对于A，若，则在线段上（含端点），所以的取值范围是，故A正确； 对于B，若，则，所以， 所以令，所以符合题意， 所以时，存在使得，故B正确； 对于C，，则， 所以，由，得到， 所以动点形成的轨迹的长为，故C错误； 对于D，过点作，若，则在上，又因为最大， 所以与重合，作，则在上的投影向量为， 由，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：本题考查平面向量综合问题，该类问题常见的处理方法为： （1）基底法：通过基底的建立与表示进行求解； （2）坐标法：通过平面直角坐标系，结合坐标公式进行求解； （3）转化法：通过平方关系的转化求解平面向量问题. 三、填空题 12. 已知函数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】结合分段函数定义与指数、对数运算即可得. 【详解】，. 故答案为：. 13. 古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，此圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，若在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球（溢出部分水），则“阿氏球柱体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设球的半径为，计算出两几何体的体积，用圆柱体的体积减去球的体积即可得到“阿氏球柱体”中剩下的水的体积，则答案可求． 【详解】球内切于圆柱， 圆柱的底面半径与球的半径相等，不妨设为，则圆柱的高为， ，． 球与圆柱的体积之比为，即球的体积等于圆柱体积的． 在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球，溢出部分水的体积为圆柱体积的， 剩下的水的体积是圆柱体积的， 则“阿氏球柱体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为． 故答案为：． 14. 克罗狄·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师，托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为:圆的内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和.已知四边形是圆的内接四边形，且，若，则（1）圆的半径是______________，（2）四边形面积的取值范围是_________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据题意可得，利用正弦定理可得，即可得，即可得外接圆半径；分析可知，，取临界状态，分析可知点A在劣弧或上，且与的夹角，进而可求面积. 【详解】由托勒密定理，得． 因为，所以． 设圆的半径为，由正弦定理，得． 又，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，则，故． 因为，可知点到直线的距离， 可知直线为以为圆心，半径为1的圆的切线， 在中，可知，结合圆的性质可知点在优弧上， 取，则；取，则； 取，则；取，则； 可知点A在劣弧或上，且与的夹角， 所以四边形面积. 故答案为：2；. 四、解答题 15. 已知，. （1）若，，且、、三点共线，求的值. （2）当实数为何值时，与垂直? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出、的坐标，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值； （2）依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得． 【小问1详解】 因为，， 所以，， 因为、、三点共线， 所以， 所以，解得. 【小问2详解】 因为， ， 又与垂直， ，解得． 16. 计算下列各式的值： （1） （2）设，，用a，b表示； （3）已知，试求的值. 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算法则及换底公式求解即可； （2）根据对数的运算性质结合换底公式运算求解； （3）根据指对互化、对数的运算性质及换底公式运算求解. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 因为，所以，则，， 则，，所以. 17. 已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为. （1）求的值及的单调递增区间； （2）将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围. 【答案】（1）；单调递增区间为：； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式、正弦的和角公式、二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再根据三角函数的图象与性质计算即可； （2）根据三角函数图象的变换求出解析式，利用整体思想分离参数结合二次函数的性质计算即可. 【小问1详解】 由 ， 因为图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为， 所以其最小正周期为， 则， 令， 解之得； 【小问2详解】 由题意可知将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变）， 再向上平移个单位长度可得， 再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数， 当，所以， 令，则条件可化为在时有解， 易知在上单调递减，在上单调递增， 易知， 则，解之得. 18. 某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，（），日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元． （1）求的值； （2）给出以下三个函数模型：①；②；③．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； （3）设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 【答案】（1）； （2）且定义域为； （3）441 【解析】 【分析】（1）根据题设有，即可求参数； （2）根据数据的增长趋势确定模型，再由求参数，即可得解析式和定义域； （3）根据（1）（2）得，结合相关函数的单调性求最小值. 【小问1详解】 由题意，，可得； 【小问2详解】 由表格数据知：日销售量随时间先增后减，显然①②不符合， 所以，选③， 则，可得，即， 综上，且定义域为； 【小问3详解】 由题意， 所以， 当，， 当且仅当时取等号，此时最小值为441元； 当，在上单调递减， 此时最小值为元； 综上，的最小值是441. 19. 我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. （1）若，求出，； （2）如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 【答案】（1）， （2）（ⅰ）存在，，理由如下： 设，，则， 设对应的复数为，则， 设对应的复数为，， 设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以，所以. （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以，又，，， 所以 所以， 所以，所以，又， 所以，所以的范围为. 【解析】 【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数，. （2）（ⅰ）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可. （ⅱ）根据，把表示成与有关的三角函数，结合角的取值范围，求函数值域即可. 【小问1详解】 连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为， 所以， ， 所以，. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 【点睛】方法点睛：求函数最值的问题，常用的方法有： （1）转化为二次函数在给定区间上的值域，求解； （2）利用基本（均值）不等式求解； （3）通过换元，转化成三角函数的值域问题求解； （4）分析函数的单调性，利用单调性求值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $