专题1.11 三角形的证明（图形变换——折叠问题）（全章分层专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.11 三角形的证明（图形变换——折叠问题）（全章分层专项练习） 第一部分：夯实基础.............................................................................................................1 第二部分：链接中考.............................................................................................................16 第三部分：培优拓展.............................................................................................................21 第一部分：夯实基础 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，将沿折叠后得到，且点D在上，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质及含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．先求出即可求出结论． 解：在中，，，， ， 沿折叠后得到， ， 故选：C ． 2．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，点为的边的中点，将沿经过点的直线折叠，使点刚好落在边上的点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，折叠的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．根据折叠的性质及中点知，是等腰三角形，从而由三角形内角和定理即可求得结果的度数． 解：根据折叠的性质得： ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴是等腰三角形，且 在中， 故选：． 3．（24-25八年级上·北京·期中）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，直角三角形两个锐角互余．根据翻折的性质求出，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 解：如图，由题意，得，， ， ， ， ， 故选：B． 4．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，将长方形沿对角线折叠，点的对应点为点与交于点．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠性质、直角三角形的两个锐角互余，根据折叠性质得到，再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可． 解：由折叠性质得， ∵，， ∴， 又 ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 5．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，将长方形纸片沿折叠后点B落在点E处，则下列关于线段与的关系描述正确的是（   ）    A． B．和相互垂直平分 C．且 D．且平分 【答案】D 【分析】只要证明是线段的垂直平分线即可解决问题． 解：是由翻折得到， ，， ，平分， 故选：D． 【点拨】本题考查翻折变换、线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定，属于基础题，中考常考题型． 6．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质以及翻折变换及其应用，连接，先根据线段垂直平分线的性质得到，则，利用等边对等角和三角形内角和定理以及角平分线的性质得到，，据此可得，证明，得到， 则，再由对称性得到，， 则， 有三角形内角和定理得到， 则． 解：如图所示，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在，将沿着折叠，使点落在边上的点处，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】题主要考查了折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，根据勾股定理求出长，再利用折叠和角平分线的性质得到，最后利用三角形的面积计算是解题的关键． 解：∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， 又∵， 即， 解得：， 故选B． 二、填空题 8．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是的中线，，，把沿直线折叠，点落在处，连接那么的长为 ； 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的知识，等边三角形的性质和判定．根据中点的性质得，再根据对称的性质得，判定三角形为等边三角形即可求． 解：，为的中点， ， 根据轴对称的性质可得：，， ， 为等边三角形， ， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，沿折叠长方形纸片，点D落到点E处，交于点F，若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理的翻折应用，涉及等腰三角形的判定，熟练掌握翻折中的勾股定理是解题的关键．利用翻折和平行判定，再在中利用勾股定理列式解决即可． 解：∵四边形为长方形， ∴，，， ∴， 由翻折得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点C落在上的点E处，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，掌握折叠的性质是解题的关键．首先由勾股定理的逆定理可求，由折叠的性质可得，由勾股定理可求解． 解：， ， ， 将沿折叠， ， 设 ， 在中， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 11．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，将沿折叠得，连接，则 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理得到，根据翻折性质得出，，然后借助三角形的面积公式列出关于线段CO的关系式，问题即可解决． 解：如图，连接交于点O， ∵，，，， ∴， ∴， 根据翻折的性质得，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】此题考查了翻折的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 12．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，点为上一点，的垂直平分线交于点，将沿着折叠，点恰好和点重合，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】先利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而利用三角形的外角可得，然后利用折叠的性质可得，从而可得，最后根据三角形内角和定理可得，从而进行计算即可解答． 解：点在的垂直平分线上， ， ， 是的一个外角， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了折叠的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及折叠的性质是解题的关键． 13．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，点为上一点，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，根据题意得出，进一步推出垂直平分是解题关键． 解：由题意得： ∵， ∴垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的度数为 故答案为：． 14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）在中，，点D在的边上，且，将折叠，使点B落在点D处，折痕交边于点E，交另一边于点F，则 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：在边上，，或在边上，再结合根据角平分线的性质可求．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理以及角平分线的性质．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解：如图1．在边上， 将折叠，使点落在点处，折痕交边于点，交另一边于点， ， ∵， ， ∵， ， ； 当在边上，如图2． 在中，，， ， ， ， 将折叠，使点落在点处，折痕交边于点，交另一边于点，连接交于点G，分别过点E作， 与重合， ， ∵，， ∴四边形是矩形 ∴ ∴四边形是正方形 ∴设 ∵ ， ， 解得． ∴ 在中， 故答案为：或 15．（21-22七年级上·广西玉林·期末）如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分∠FEG，且ED′在∠A'EF内部，如图2，设∠A′ED′＝20°，则∠FED′的度数为： ． 【答案】40° 【分析】根据题意，结合折叠的性质和平角的定义，先求出∠A′EF+∠D′EG的度数，再根据∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG+∠A′ED′，及ED′平分∠FEG，求出∠FED′即可． 解：∵∠AEA′+∠DED′﹣∠A′ED′＝180°，∠A′ED′＝20° ∴∠AEA′+∠DED′＝180°+20°＝200° ∵2∠A′EF＝∠AEA′，2∠D′EG＝∠DED′ ∴∠A′EF+∠D′EG＝100° ∴∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG﹣∠A′ED′＝100°﹣20°＝80° ∵ED′平分∠FEG ∴∠FED′＝∠FEG＝×80°＝40°． 故答案为：40°． 【点拨】本题主要考查折叠问题，角平分线的性质等，解题的关键是掌握翻折变换的性质，角度的和差倍分运算等知识点． 三、解答题 16．（24-25八年级上·全国·课后作业）在中，，点M，N分别在上，将沿折叠，使得点C与点A重合，求折痕的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，图形的折叠问题．过点A作于点D，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得，然后根据折叠的性质可得，设，则，在中，由勾股定理可得，在中，再由勾股定理，即可求解． 解：如图，过点A作于点D， 因为， 所以， 所以． 因为将沿折叠，使得点C与点A重合， 所以， 设，则， 在中，由勾股定理得∶， 即， 解得∶， 即， 在中，由勾股定理得∶ ． 17．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在长方形中，，，点E为上一点，将沿折叠，使点B落在长方形内点F处，连接，且，求的度数和的长．    【答案】， 【分析】本题主要考查了折叠问题、勾股定理及其逆定理，根据勾股定理及其逆定理的运用解题即可． 解：根据折叠可知：， ∵，， ， 即， 根据勾股定理的逆定理，得是直角三角形， ∴， 设， 则， ∵根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴D、F、E三点在同一条直线上， ∴， ，， 在中，根据勾股定理，得 ，即， 解得． 故的长为2． 18．（23-24八年级上·江西景德镇·期中）如图，在长方体中，，，点为边上的一个动点．把沿折叠，若点的对应点刚好落在边的垂直平分线上．求的长． 【答案】 【分析】由矩形的性质得到，，，由线段垂直平分线的性质得到，，由折叠的性质得到：，，由勾股定理求出，由矩形的性质得到，求出，令，由勾股定理得到，求出，即可得到的长． 解：四边形是矩形， ，，， 垂直平分， 垂直平分， ，， 由折叠的性质得到：，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 令， ，， ， ， ， ． 【点拨】本题考查矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，折叠的性质，方程思想． 第二部分：链接中考 一、单选题 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与折叠，直角三角形的性质，由折叠可得，，即可得到，再分别在和利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点A落在边上的点F处， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2015·贵州毕节·中考真题）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，则∠BDF等于（ ） A．65° B．50° C．60° D．57．5° 【答案】B 【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得AD＝DF，根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解． 解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来， ∴AD＝DF， ∵D是AB边的中点， ∴AD＝BD， ∴BD＝DF， ∴∠B＝∠BFD， ∵∠B＝65°， ∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°． 考点：翻折变换（折叠问题） 【点拨】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键． 二、填空题 3．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解． 解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 解：∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为． 【点拨】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 5．（2021·广东深圳·中考真题）如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】延长，交于点G，由折叠，可知，可得，延长，，交于点M，结合，可得，，进而即可求解． 解：如图，延长，交于点G， 设 由折叠，可知， ∵， ∴， ∴， 延长，，交于点M， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【点拨】本题主要考查折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键． 6．（2013·山东烟台·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．    【答案】108 【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后判断出点是的外心，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 解：如图，连接、，    ，为的平分线， ， 又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 为的平分线，， ， 点在的垂直平分线上， 又是的垂直平分线， 点是的外心， ， 将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合， ， ， 在中，， 故答案为：108． 【点拨】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质． 第三部分：培优拓展 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，将沿所在的直线折叠，使点落在边上的点处，且，那的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明是解题的关键． 根据折叠的性质得，，再由得出，从而得到，然后由得出，即可由求解． 解：由折叠的性质得：，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：C． 2．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在长方形中，，分别是，边上的点，连接，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与边交于点．若四边形的周长是，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，由折叠可知，，，，，进而可知，再结合四边形的周长是，，即可求解． 解：由折叠可知，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的周长是，， ∴，则， 则， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：A． 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，连接、，设的垂直平分线交于点，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 为的平分线，， 点在的垂直平分线上， ， ， 将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合， ， ， 在中，， 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，长方形纸片中，，，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查长方形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件，学会利用翻折不变性解决问题．连接，证明即可得到，即可求解． 解：连接， ∵长方形纸片中，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知中，，现将沿折叠，使点与点重合，则（  ） A．20° B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，根据直角三角形两锐角互余求出，由折叠得，即可求出的度数 解：∵，， ∴， 由折叠得， ∴ 故选：A 6．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理及其逆定理的应用．连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解． 解：连接，如图； ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， , ， 故选：B． 7．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，点为上一点，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点；过，两点作直线，交于点；将沿着折叠，点恰好和点重合．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则，根据三角形的外角性质得，由翻折的性质可得，则可得，进而可得答案． 解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵将沿着折叠，点恰好和点重合， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点拨】本题考查了作图一基本作图，三角形的外角性质，内角和定理，线段垂直平分线的性质、翻折变换（折叠问题），熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 8．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，若将沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕的长为（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，折叠的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用角平分线的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据折叠可得，根据直角三角形的性质可得，进而根据角平分线的性质求得，据此求解即可． 解：∵将折叠，使点B与点A重合， ∴，， 在中，， ，， , ∴平分， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 二、填空题 9．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，得到，连接，平分，． （1）若，则的长为 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 14或15 【分析】首先求出，，然后由折叠的性质得到，，求出，得到，然后利用勾股定理求解即可；如图所示，延长，交于点H，过点F作于点N，证明出是等边三角形，得到，，然后设，表示出，，，然后根据勾股定理列方程求解即可． 解：∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴ ∵将沿折叠，得到， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 如图所示，延长，交于点H，过点F作于点N ∵∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∵ ∴ 设，则 ∴，， ∵将沿折叠，得到， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴或15 ∴的长为14或15． 故答案为：，14或15． 【点拨】此题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质，解一元二次方程，折叠的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 10．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，，以为边作一个等边三角形，将折叠，为折痕．若使点D与点C重合，则的长度为 ． 【答案】 【分析】如图，过作于，证明，，，设，可得，，由轴对称的性质可得：，可得，再解方程即可． 解：如图，过作于， ∵，等边三角形，， ∴，， ∴，， 设， ∴，， 由轴对称的性质可得： ， ∵， ， 解得：， 整理得：． 故答案为：． 【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 11．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）将等腰三角形纸片的底边沿着过B点的折线折叠，使点C落在腰上，这时纸片的不重合部分也是等腰三角形，则 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查图形的翻折变换，等腰三角形的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 设，用等腰三角形的性质表示，由折叠的性质得，根据为等腰三角形，三角形外角定理，列方程求解． 解：设，则， 由折叠的性质可知， ∵为等腰三角形，即， ∴根据三角形外角定理，得， ∴， 解得：， 即． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与、边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，那么 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、折叠的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．连接，设，则，先求出，再根据等腰三角形的定义可得，根据折叠的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理求出的大小，从而可得，最后分两种情况：①和，根据等腰三角形的性质建立方程，解方程即可得． 解：如图，连接， 设，则， ∵在中，， ∴，即， ∴， ∵在中，，为等腰三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，为等腰三角形， ∴，即， 解得，符合题意， ∴； ②当时，为等腰三角形， ∴，即， 解得，符合题意， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 13．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，把折叠，使落在边所在的直线上，且点B的对应点为点，折痕为，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出，是解题关键．利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 解：∵，，， ∴， ∴， 设， ∵翻折， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴阴影部分面积为． 故答案为：36． 14．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，将一张长方形纸片沿着对角线向下折叠，顶点A落在点处，交于点E，的垂直平分线分别交于点F，G，H，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据翻折得到，，，即，则有，在中利用勾股定理得到，连接，根据勾股定理求出，然后解题计算即可． 解：解∶由题可知，，， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得 ， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴ ， ∴， 连接．设，则，      在中， ， 在中， ， 在中，，即：， 解得， ∴ ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了折叠的性质，中垂线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 15．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，中，将沿折叠，使得点C落在上的点处，连接与，的角平分线交于点E；如果，那么下列结论：②垂直平分﹔③﹔④﹔其中正确的是 ﹔（只填写序号） 【答案】①②④ 【分析】首先通过题意得出，得出，证明结论①正确；得出，得出为等腰三角形，又因为，得出垂直平分，证明结论②正确；然后再利用等边对等角，得出，再利用三角形外角的性质得出，再利用等边对等角，得出，进而得出，证明结论③错误；然后再根据题意，得出，进而得出，算出的度数，再根据的度数，算出的度数，得出，进而得出，再利用等边对等角，得出，进而得出，最后利用内错角相等，两直线平行，得出，证明结论④正确． 解：依题意有， ∴，故结论①正确； ∵， ∴为等腰三角形，又， ∴垂直平分，故结论②正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； 综上，正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 【点拨】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 16．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）将（）沿折叠，使点刚好落在边上的点处，展开如图．若，，，则 ； 【答案】3 【分析】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．过点作，，垂足为，首先根据折叠的性质可得，，再根据角平分线的性质定理可得，结合三角形面积公式解得的值，进而可得的值，然后根据求解即可． 解：过点作，，垂足为， 由折叠得性质可得，， ∵，， ∴， ∵，即， 解得， ∴， ∴， ∵． 故答案为：3． 三、解答题 17．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，D为边上的点，将沿折叠，得到，恰好，连接，． （1）设，，求的长； （2）若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）6；（2）直角三角形，见分析 【分析】本题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理及逆定理等知识． （1）由翻折性质可得，根据勾股定理得，然后根据，得，再整体代入计算即可解决问题； （2）根据勾股定理逆定理即可判断是直角三角形． 解：（1）解：由翻折可知：， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由翻折可知：， ， ，， ， ， 是直角三角形． 18．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点与坐标原点重合，点在轴上，点在轴上，，点在边上，点的坐标为，过点且平行于轴的直线与交于点．现将纸片折叠，使顶点落在上的点处，折痕为． （1）求点G的坐标； （2）求折痕所在直线的解析式； （3）若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出的取值范围； （4）设点为轴上一点，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或或 【分析】（1）根据折叠的性质求出，根据勾股定理计算求出，得到点G的坐标； （2）设，根据勾股定理求出x，求出点E的坐标，利用待定系数法求出所在直线的解析式； （3）根据平行的性质求出m，分别把点M、点A的坐标代入解析式求出n，得到答案； （4）按点P在x轴的正半轴、负半轴，及进行分类讨论，求出点P的坐标． 解：（1）解：由折叠的性质可知，， 又 由勾股定理得，， ∴点G的坐标为， 故答案为：； （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， 在中，，即， 解得，， ∴点E的坐标为， 设所在直线的解析式为：， 则， 解得，， ∴所在直线的解析式为：； （3）解：∵直线平行于直线， ∴，即直线l的解析式为， 当直线l经过点时，， 解得，， 当直线l经过点时，， 解得，， ∴直线l与长方形有公共点时，． （4）解：设， 当时，如图， 由，得， ∴； 当时，如图， ，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 如图，， ∴； 如图，， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，点P的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 【点拨】本题主要考查了一次函数的知识、折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识与方法，掌握待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤是解题的关键，解题时需进行分类讨论，求出所有符合条件的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.11 三角形的证明（图形变换——折叠问题）（全章分层专项练习） 第一部分：夯实基础.............................................................................................................1 第二部分：链接中考.............................................................................................................5 第三部分：培优拓展.............................................................................................................6 第一部分：夯实基础 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，将沿折叠后得到，且点D在上，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，点为的边的中点，将沿经过点的直线折叠，使点刚好落在边上的点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·北京·期中）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，将长方形沿对角线折叠，点的对应点为点与交于点．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，将长方形纸片沿折叠后点B落在点E处，则下列关于线段与的关系描述正确的是（   ）    A． B．和相互垂直平分 C．且 D．且平分 6．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在，将沿着折叠，使点落在边上的点处，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 二、填空题 8．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是的中线，，，把沿直线折叠，点落在处，连接那么的长为 ； 9．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，沿折叠长方形纸片，点D落到点E处，交于点F，若，，则 ． 10．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点C落在上的点E处，则的长为 ． 11．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，将沿折叠得，连接，则 ． 12．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，点为上一点，的垂直平分线交于点，将沿着折叠，点恰好和点重合，则的度数为 ．    13．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，点为上一点，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，则的度数为 ． 14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）在中，，点D在的边上，且，将折叠，使点B落在点D处，折痕交边于点E，交另一边于点F，则 ． 15．（21-22七年级上·广西玉林·期末）如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分∠FEG，且ED′在∠A'EF内部，如图2，设∠A′ED′＝20°，则∠FED′的度数为： ． 三、解答题 16．（24-25八年级上·全国·课后作业）在中，，点M，N分别在上，将沿折叠，使得点C与点A重合，求折痕的长． 17．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在长方形中，，，点E为上一点，将沿折叠，使点B落在长方形内点F处，连接，且，求的度数和的长．    18．（23-24八年级上·江西景德镇·期中）如图，在长方体中，，，点为边上的一个动点．把沿折叠，若点的对应点刚好落在边的垂直平分线上．求的长． 第二部分：链接中考 一、单选题 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 2．（2015·贵州毕节·中考真题）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，则∠BDF等于（ ） A．65° B．50° C．60° D．57．5° 二、填空题 3．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．    4．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    5．（2021·广东深圳·中考真题）如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为 ． 6．（2013·山东烟台·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．    第三部分：培优拓展 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，将沿所在的直线折叠，使点落在边上的点处，且，那的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在长方形中，，分别是，边上的点，连接，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与边交于点．若四边形的周长是，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，长方形纸片中，，，M是上的点，且．将长方形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在边上的点P处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知中，，现将沿折叠，使点与点重合，则（  ） A．20° B． C． D． 6．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 7．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，点为上一点，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点；过，两点作直线，交于点；将沿着折叠，点恰好和点重合．则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，若将沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕的长为（    ）    A． B．3 C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，得到，连接，平分，． （1）若，则的长为 ； （2）若，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，，以为边作一个等边三角形，将折叠，为折痕．若使点D与点C重合，则的长度为 ． 11．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）将等腰三角形纸片的底边沿着过B点的折线折叠，使点C落在腰上，这时纸片的不重合部分也是等腰三角形，则 ． 12．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与、边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，那么 ． 13．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，把折叠，使落在边所在的直线上，且点B的对应点为点，折痕为，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 14．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，将一张长方形纸片沿着对角线向下折叠，顶点A落在点处，交于点E，的垂直平分线分别交于点F，G，H，连接，若，则的长为 ． 15．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，中，将沿折叠，使得点C落在上的点处，连接与，的角平分线交于点E；如果，那么下列结论：②垂直平分﹔③﹔④﹔其中正确的是 ﹔（只填写序号） 16．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）将（）沿折叠，使点刚好落在边上的点处，展开如图．若，，，则 ； 三、解答题 17．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，D为边上的点，将沿折叠，得到，恰好，连接，． （1）设，，求的长； （2）若，，试判断的形状，并说明理由． 18．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点与坐标原点重合，点在轴上，点在轴上，，点在边上，点的坐标为，过点且平行于轴的直线与交于点．现将纸片折叠，使顶点落在上的点处，折痕为． （1）求点G的坐标； （2）求折痕所在直线的解析式； （3）若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出的取值范围； （4）设点为轴上一点，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$