2024-2025学年高一上学期期末数学试题（B卷）

2024~2025学年第一学期高一期末质量检测 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区战内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范国：北师大版必修第一册第六章第一节结束。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.已知集合A={女y=n2,,B=y=e+1,则AnB A.(2,十0∞) B.(-o∞，2) C.(1,2) D.(1,十o∞) 2.已知函数f(x)=(n2一2十1)x,则“n=2”是“f(x)为幂函数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知4<a<9,-2<b<-1,则2√a+b的取值范围是 A.(6,17) B.(2,5) C.(1,3) D.(-3,-1) 4设a=(保)，b=log27-,c=(得) ”,则 A.ac>b B.a>bc C.ca>b D.c>b>a 5.若函数y=lg(2十mx)在区间[1，十∞)上单调递增，则实数m的取值范围为 A.(-∞，-1) B.(0.十o∞) C.[-2,0) D.(0,1] 6.已知lgm十lgn=0(m>0且m≠1，n>0且≠1)，则函数f(x)=m与g(x)=logx的图 象可能是 【高一期末质量检测数学卷第1页（共4页）】 5280A-1 7.已知实数p>g>r,则方程(x一p)(x一g)十(x一q)(x一r)十(x一r)(x一p)=0的两个实 数根分别属于区间 A.(一∞，p)和(p,q) B.(g,r)和(r,+o) C.(-∞，p)和(r,十o∞) D.(p,q)和(q,r) 8.我们知道，函数f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数f(x)为奇函数，由 此可以推广得到：函数f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y= f(x十a)一b为奇函数.利用推广结论，已知函数f(x)=x2一3x2,则f(一2023)+f(一2021)+ f(-2019)++f(-3)+f(-1)+f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2021)+f(2023)+ f(2025)的值为 A.-4048 B.4048 C.-4050 D.4050 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在世界无烟日，小华所在的课外学习小组为了解本地区大约有多少成年人在吸烟，随机调查 了100个成年人，结果其中有30个成年人吸烟.对于这个关于数据收集与处理的问题，下列 说法正确的是 A.获得的数据属于二手数据 B.调查的方式是抽样调查 C.本地区只有70个成年人不吸烟 D.样本是100个成年人的吸烟情况 10.已知正实数x,y满足x2十y=4,则 A.3x十y的最大值为 B.x+y2的最小值为6 C.x2y的最大值为4 D.是+手的最小值为号 10 11.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十y)十f(x一y)=f(x)f(y),f(1)=1,则下列结论 正确的是 A.f(0)=2 B.函数f(x)是偶函数 C.f(x)=f(x+4) D.[fx)]F+[x+多)y=4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数f(x)=l1og,(x-1)一a一2+4(a>0且a≠1)的图象必过定点 13.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)十2f(一x)=2x十x一1，则f(x)的值域 为 14.我们用川x川表示实数x到离它最近的整数的距离，例如一21=0,1号1=弓，一号1=号， 则‖x‖的最小值与最大值之和是 :对于函数f(x)=‖x2‖，若满足f(x)= f(3√2x),则f(x)有 种可能的值.（第一空2分，第二空3分） 【高一期末质量检测数学卷第2页（共4页）】 5280A-1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 计算下列各式： a)(1号)+0.027-(-)+16-3+2×(w3-1): (2)1og25·1og54+lg8+lg125-lg2-lg5 ez·lg0.01 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=(a2-4)x2十(a-2)x十4(a∈R). )若不等式f)<0的解集为{x<-专或x>l求a的值： (2)若不等式f(x)>0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围. 17.(本小题满分15分) 新能源汽车续航能力备受客户的关注.某科研所对一新款新能源汽车的续航能力进行实验， 每行驶30公里，测量一次蓄电池的电量，得到蓄电池的剩余电量占满电量的百分比为A%, 设f(x)=A,f(x)随里程数x(一个里程数等于30公里)的变化数据如下： 里程数x 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 100 90.5 81.95 74.255 67.330 61.097 55.487 现有三种函数模型： ①f(x)=a.x+b(a<0,x≥0，b>0): ②f(x)=log(x十k)十b(a>1,k>0,x≥0)： ③f(x）=m·a十b(m>0,0<a<1,x≥0). (1)请根据表中数据，选择符合实际情况的函数模型，并利用前三组数据求出∫(x)的解 析式； (2)经验表明，为了确保行车安全，当蓄电池的剩余电量为20%时，就应该开始寻找充电站， 避免车辆电量过低导致无法行驶，求本次实验该新能源汽车剩余电量为20%时大约行 驶了多少公里 参考数据：1g3≈0.48,1g19≈1.28. 【高一期末质量检测数学卷第3页（共4页）】 5280A-1 18.(本小题满分17分) 设函数f(x)-2十(k-1)·2,x∈R,k∈Z. (1)若「(x)是偶函数，求k的值： (2)若存在x∈[1,2]，使得fo(x)+mf(x)<3成立，求实数m的取值范围： (3)设函数g(x)=入f%(x)一f2(2x),若g(x)在[1，十∞)上有零点，求实数入的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)的定义域为I,若3m,n,t∈R,使得f(2m十x)·f(2一x)=t对Hx∈I都 成立，则称f(x)为(m,n,t)型函数 (1)证明：每一个指数函数f(x)=a(a>0且a≠1)都是(0,0,1)型函数； (2)若函数f(x)=2是(m,2,t)型函数，求实数m,t的值： (3)已知函数f(x)在定义域[一3,9]上的函数值恒大于0，且f(x)为(0,1,4)型函数，当x∈ (1,9]时，f(x)=一(1ogx)+b1ogx十3.若f(x)≥1在[-3,9]上恒成立，求实数b的 取值范围. 【高一期末质量检测数学卷第4页（共4页）】 5280A-120242025学年第一学期高一期末质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 5 6 8 答案 C A B C B D D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 答案 BD ACD ABD 1.C由>0，解得0<2，所以A=u0CK2,面yC+1>1,所以B=l>I,所以AnB (1,2).故选C 2.A若函数f(x)=(n一2n十1)x”为幂函数，则一2n十1=1，解得n=0或n=2.故“n=2”是“f(x)为幂 函数”的充分不必要条件.故选八 3.B因为4<a<9,所以4<2a<6,又-2<b<-1,所以2<2a+b<5.即2a+b的取值范围为(2,5).故 选B 4C0<(号)<)'-1.即0<a<1,6=be278=kg3=-14<0.又因为c-(传）- 3.B>3,因为c>a>b,故选C 5.B函数y=lg(2十.x)在区间[1，十∞)上单调递增，所以函数y=2十mx为[1，十o∞)上的增函数，且当x ≥1时，2+m>0恒成立，由函数性质可得C0,。所以m>0.所以m的取值范围为0，十o.故选B 2+m>0, 6Dgm+lgn=0(m>0且m≠1m>0且n≠.m=1.m=品∴g()=log4r=logr,函数f0x =与函数g(x)=og4x互为反函数，.函数f(x)=m与g(x)=log4x的图象关于直线y=x对称， 且具有相同的单调性.故选D 7.D设f(x)=(x-)(x-g)+(x-q)(x-r)+(x-r)(x-p),由p>q>r,则f八p)=(p-q)(p-r)>0, f(q)=(q一r)(g一)<0，f(r)=(r一p)(r一q)>0,由函数的零点存在定理知f(x)的零点分别位于区间(p, q)和(g,r),故方程的两个实数根分别属于区间(p,q)和(q,r),故选D. 8.C设f(x)=x-3.x2的对称中心为P(a,b),g(x)=f(x+a)一b=(x十a)3-3(x+a)2-b,则g(x)为奇 函数， 由题可知g(一x)=f(-x十a)一b,且g(一x)=一g(x),所以f(-x+a)-b=b-f(x十a),即f(一x十a)十 f(x+a)=26, 则(-x+a)3-3(-x十a)2+(x十a)1-3(x十a)2=2b,整理得(6a-6).x2+2a-6a2-2b=0, 所以/6a-6=0 密二-6-0解得份二2所以函数)=一让图象的对孩中心为1。一2》 所以f(-x+1)+f(x+1)=-4,则f(-2023)+f(2025)=f(-2021)+f(2023)==f(-1D+f(3) =-4,且f(1)=-2, 则f(-2023)+f(-2021)+f(-2019)++f(-3)+f(-1)+f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2021)+ f(2023)+f(2025)=-4×1012-2=-4050.故选C. 9.BD对于AB,从该地众多成年人中随机调查了1O0个成年人，调查的方式是抽样调查，获得的数据属于一 手数据，A错借误，B正确： 对于C,抽取的样本中有70个成年人不吸烟，而总体中不吸烟的成年人不会少于70，C错误： 对于D,样本是100个成年人的吸烟情况.故选BD. 【高一期末质量检测·数学卷参考答案第1页（共4页）】 5280A-1 10.ACD对于A,因为x2十y=4,所以y=4一x2,因为x,y为正实数，所以4一x>0,解得0<x<2,3x十y=4 -+3x=-(一号)广+空，由二次函数的性质可知3十y的最大值为空，放A正确， 对于以.r十y>2×(2字)=8，当且仅当了=一2时取等号，放B错误： 对于C<(仁生)=4，当且仅当2=y=2时跟等号，所以ry的最大值为4，放C正确： 对打D.因为+y=4,所以学+=1，+号=（仔+）·（学+学）=是+号+立>是十 2√写产-+2X号-号当且仅当号-产：博2-专一号时取等放D正确故选AD 11.ABD对于A,因为f(x十y)+f(x一y)=f(x)f(y), 令x=1,y=0,可得2f(1)=f(1)f(0),因为f(1)=1,所以f(0)=2,故A正确： 对于B,f(0)=2,令x=0,可得f(y)+f(一y)=2f(y),即f(y)=f(一y),所以函数f(x)为偶函数， 放B正确： 对于C,令x=1,y=1,f(2)+f(0)=1,即f(2)=-1,令x=2,y=2,f(4)+f(0)=1,f(4)=-1,即 f(0)≠f(4).故(x)≠f(x+4),故C错误： 对于D,令y=,得[/(x)]=f(2)+f0),用x+号代替x,,得[fx+号)]P=f2x+3)+f0,则 [/)+[/x+号)]=j2)+f2x+3)+4.由fx+2)=-x-1D得/x+3)=-.即)+ fx+3)=0.则2)+2x+3)=0,[/)了+[/x+号)=4D正确，故选ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2,3)令x-2=0,即x=2,得f(x)=3,故函数f(x)=log(x一1)一a-2+4恒过定点(2,3). 1a[-员+o）因为函数f)满足f)+2-)=2+一1①. 所以f(-x)+2f(x)=2(-x)2-x-1=2.x2-x-1②， 联立0@得f=号r-一子则f)=号-一弓=号一寻r-员值城为-是+o, 14.号18由定义可知0<x‖≤2，故‖x的最小值与最大值之和为2 设x=n+a,n∈N,a∈[0,1)→f(x)=1x2‖=1a‖，f(3√2x)=l18(+a)‖=‖18a‖， 所以f(x)=f(3/2x)白‖a川=‖18a川，也就是a和18a的小数部分要么相同，要么和为1. 当小数部分相同时，则18a一Q=k,可得a=合∈N且≤16， 所以)=1奇1=号k∈0,1,2…，8，有9种可能的值： 当小数部分和为1时，则18a十a=l,可得a=,lN且≤18， 所以x)=1‖=4∈1,2…，9，有9种可能的值 综上所述，f(x)有18种可能的值， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 1i解，1原式√厚+[品门十-(-7+(4)-号+8=号+9-49+64-号+2=号 3 …6分 （2原式=1bg5·bg:2+lE8X25)-g2X=1+3-1 …13分 壹x(-2) 16,解：)因为不等式f八)<0的解集为{<-专或>1： 所以方程(a2-4)x2+(a-2)x十4=0的两根为-31，“ 4 …2分 【高一期末质量检测·数学卷参考答案第2页（共4页）】 5280A-1 a2-4≠0， 则 4+1=-42 a2-4a十2‘解得a=1.… …6分 寺×1= 4 (2)当a2-4=0时，a=±2， 若a=2,不等式f(x)>0转化为4>0对一切实数x恒成立，显然满足题意： 8分 若a=一2，不等式f(x)>0转化为一4x十4>0对一切实数x恒成立，易知不满足题意： 10分 当a一4≠0时，由题意可知， 1a2-4>0, 1△=(a-2)-4(a2-4)×4<0, …12分 解得a<酷或a>2… ……14分 综上，实数a的取值范用为（一00，一斜）U[2,十∞.…15 15分 17.解：(1D由表中数据可知，f(x)为单调减函数，则②不符合题意，当自变量x增加量为1时，(x)的减少量越 来越小，则①不符合题意，故选③。…2分 m+b=100, 由表中数据得， ma+b=90.5 …4分 a2+b=81.95, 解得=95，a=0.9,b=5,…6分 故f(x)=95X0.9十5.…7分 (2)由题意可知，95×0.9十5=20， 8分 则0.9y=9 .3 ……10分 3 3 1g立_g3-lg19≈0.48-1.28 两边取对数得，x=l0g)=g0.9=21g3-一12×0.481 20,… 14分 所以本次实验该新能源汽车剩余电量为20%时大约行驶了30×20=600（公里）.…15分 18.解：(1)因为(x)是偶函数，所以（一x)=f(x),…1分 即2十(k-1)…2=2十(k1)·2,…2分 (k-2)(2-2)=0,解得k=2.… ……4分 (2)由f(x)十mf(x)<3,可得2-2+m·2<3, 则m<2a+3·2-1=(2)2+3·2-1, 即存在x∈[1,2]，使m<(21)2十3·2-1成立.…6分 令21=，因为x∈[1,21，所以≤1<， 则m2十31，…7分 令y=子+3-1，则对称轴为直线1=一受 所以y=+3一1在[子，]上单调递增。 4141414441tn444014” 8分 所以1=2时y=心+3-1取得最大值，即=}+号-1=子， 所以m<子，即实数m的取值范围为（一o,子）。 ……10分 (3)f0(x)=2-2‘,f2(x)=2+24,则f2(2x)=22+2-=(2-2)2+2, 所以g(）=(2-21)-(2-2)2-2。…12分 设=2-2，当xE[1,十6∞)时，函数=2-2为增函数，则>2-=是. …13分 若g(x)在[1，十∞)上有零点， 即g0)=(2-2)-(2-2)2-2=X--2=0在≥号上有解， 【高一期末质量检测·数学卷参考答案第3页（共4页）】 5280A-1 即=2+2，=5+2 15分 由对勾函数性质知函数y=十2在[号十∞)上单调递增。 所以心是+， 所以入的取值范周为号十eo. 17分 19.(1)证明：因为f(0十x）·f(0-x)=d·a=a”=1,…2分 所以f(x)=a(a>0且a≠1)是(0,0,1)型函数，即每一个指数函数都是(0,0,1)型函数.…3分 (2)解：因为函数f(x)=2左是(m,2,1)型函数，所以f(2m十x)·f(4一x)=2m·2后=1，…4分 显然>0，则2·2=2，所以2m十十4三0g,…5分 整理得x21og1十[(2m一4)1o11.x一8m1og21+2m十4=0对于定义域{x|x≠0}内任意x恒成立，… 6分 l0g1=0, 所以(214)l0g=0,解得川=一2，l=1.…9分 -8mlog1十2m十4=0， (3)解：因为f(x)为(0,1,4)型函数，所以(x)·f(2-x)=4, 当x=1时，f(1)·f(1)=4, 因为f(x)>0,所以f(1)=2,满足f(x)≥1： 10分 当x∈(1,9]时，f(x)=一(1ogx)+b logsr-+3>≥1恒成立 令1=0gx,则0<≤2，所以一X2十M十3>≥1在(0,2]上恒成立， b2A-恒成立，…12 因为y=一是在0,2]上单测递增，且=2-号=1， 故1，…小…13分 4 当re[-3,1D时，2-x(1.5,则f代）=/72=-log(2-+b1og2-0十3”…14分 4 因为f(x)≥1，所以0<-[1og(2-x)]+b1og(2-x)+3≤4， 令4=1og(2-x),则当0<4≤1og5时，0<一：+u4+3≤4恒成立. …15分 由上可知-十b十3≥1， 所以一+b:+3≤4在(0,1og:5]上恒成立， 则+1在0，log5]上恒成立， 因为十1≥2，当且仅当红=1时取得等号， 所以b2.… 16分 综上可知，1≤b≤2， 故实数b的取值范围为[1,2.…17分 【高一期末质量检测·数学卷参考答案第4页（共4页）】 5280A-1