江苏省无锡市辅仁高级中学2024-2025学年高一上学期期末数学模拟试卷

2024-2025学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一（上）期末数学模拟试卷✥ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知，则(    ) A. B. C. D. 3.已知，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.函数的图象大致为  A. B. C. D. 5.已知，，，则    A. B. C. D. 6.已知，，则(    ) A. B. C. D. 7.已知定义在R上的函数满足，当时，若对任意都有，则实数m的最大值为    A. B. C. D. 8.在等式中，如果只给定a，b，N三个数中的一个数，那么就成为另两个数之间的“函数关系”．如果N为常数10，将a视为自变量且，则b为x的函数，记为y，那么，现将y关于x的函数记为若，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列说法错误的是(    ) A. 命题“R，”的否定为“R，” B. 命题“，都有”的否定为“，使得” C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 10.若函数满足：①对定义域内的任意，，都有；②当时，，则称为“N函数”.下列函数是“N函数”的是    A. B. C. D. 11.已知为定义在R上的偶函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是    A. B. 是周期为2的周期函数 C. 直线与的图象有且仅有2个交点 D. 的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.______. 13.已知定义在实数集R上的偶函数在区间上是单调增函数，若，则实数x的取值范围是______. 14.已知函数，对于任意，都有，则实数a的取值范围是          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 设全集R，集合，，其中R. 若“”是“”成立的必要不充分条件，求a的取值范围； 若命题“，使得”是真命题，求a的取值范围． 16.本小题12分 在平面直角坐标系xOy中，角与角的顶点均为坐标原点O，始边均与x轴的非负半轴重合，角的终边过点，将OQ绕原点O按顺时针方向旋转后与角的终边OP重合． 写出角与角的关系，并求出的值； 求的值． 17.本小题12分 已知函数的部分图象如图所示． 求函数的解析式； 求函数在区间上的单调减区间． 18.本小题12分 已知函数 若函数为奇函数，求a的值； 当时，用函数单调性的定义证明：函数在R上单调递增； 若函数有两个不同的零点，求a的取值范围. 19.本小题12分 若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数x都成立，则称函数为型函数． 若函数是型函数，求a的值； 若函数是型函数，求a和b的值； 已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，若在恒成立，求实数m的取值范围． 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：，， 故选： 进行并集的运算即可． 本题考查了集合的描述法和区间的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】C  【解析】解：， ， 故选： 利用三角函数间的诱导公式即可求得答案． 本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题． 3.【答案】A  【解析】解：由得， 等价于，解得或，解集记为集合或， 条件““记为集合 显然，而， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选： 先解不等式，再利用集合的关系判断充分、必要条件． 此题考查了分式不等式的解法及集合法判断充分、必要条件，属于基础题． 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查由函数解析式判断函数图像，属于中档题. 解题关键在于利用函数奇偶性以及特殊值排除不正确选项. 【解答】 解;因为函数的定义域为R，，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 排除B，因为排除D， 因为当时，，排除C， 故选A， 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查利用对数函数和指数函数的性质大小比较，属于一般题. 根据对数函数和指数函数的性质即可推出a，b，c的范围，从而得到它们之间的关系.  【解答】 解：由，， ， 则 故选 6.【答案】A  【解析】解：，， ， ， 则 故选： 由的范围求出的范围，根据的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，原式角度变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值． 此题考查了两角和与出的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查由正弦型函数的值域或最值求参，属于基础题. 根据已知利用正弦函数图象与性质，结合函数图象进行求解即可. 【解答】 解：当时，， 且定义在R上的函数满足， 所以函数的大致图象为 因为，， 所以， ， 所以由 ， 可得， 由得， 所以对任意 都有， 得实数m的取值范围为 则实数m的最大值为 故选： 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查对数函数单调性，属于基础题. 由题意，利用对数函数单调性可得解. 【解答】 解：因为， 所以， 所以函数在，上单调递减， 若， 则或 或 即实数m的取值范围是 故选 9.【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定，充分、必要条件的判断，属于基础题. 利用含量词命题的否定和充分、必要条件的定义逐个判断即可. 【解答】 解：对于A，命题“R，”的否定为“R，”，故A正确； 对于B，命题“，都有”的否定为“，使得”，故B错误； 对于C，由不一定得，如a，时，显然不成立； 反之，由，得， 则“”是“”的必要不充分条件，故C错误； 对于D，由，得，解得， 故“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选 10.【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查函数的新定义问题，属于中档题. 根据“N函数”的定义，逐项验证即可求解. 【解答】 解：对A：由，对定义域内的任意，，不满足条件①，故A错误； 对B：由，对定义域内的任意，，，满足条件①， 当时，因在其定义域上是增函数，所以，满足条件②，故B正确； 对C：由，对定义域内的任意，，， 不满足条件①，故C错误； 对D：由，对定义域内的任意，，，满足条件①， 当时，因在其定义域上是增函数，所以，满足条件②，故D正确. 故选： 11.【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查函数的性质，函数零点、方程的根的个数的判断，属于中档题. 由已知判断出时，函数的周期，结合当时的解析式，即可作出时的函数图象，结合奇偶性，可得整个定义域上图象，由此利用周期性以及奇偶性求值，判断A；结合图象，数形结合，可判断B，C， 【解答】 解：由题意知当时，有，则， 即时，2为的周期，由，得， 当时， 则， 结合为定义在R上的偶函数，可作出的图象如图： 对于A，， ， 故，故A正确； 对于B，由以上分析可知时，2为的周期， 结合图象，在整个定义域上不是周期函数，故B错误； 对于C，在同一坐标系再作出的图象， 可知直线与的图象有且仅有1个交点，故C错误； 对于D，结合图象可知的值域为，故D正确， 故选：AD 12.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 由已知结合指数幂及对数的运算性质即可求解． 本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：定义在实数集R上的偶函数，在区间上是单调增函数 中上是减函数 又 故答案为： 由是偶函数，通过，则不等式转化为：，再由函数在区间上是单调增函数列出不等式进行求解． 本题主要考查利用函数的奇偶性将变量转移到函数的单调区间上去，再利用函数单调性定义解不等式的应用． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用函数单调性解决参数问题，判断函数的单调性，对勾函数的图象与性质，属于中档题. 由题意得，令，可得在上单调递增，分情况讨论a的取值范围，根据函数的单调性，结合对勾函数的图象与性质，求出a的取值范围即可. 【解答】 解：由题意，对于任意， 故， 即， 令， 则对于任意，， 所以在上单调递增， 即在上单调递增， 当时，由对勾函数的图象与性质得，当时不可能恒单调递增，不合题意； 当时，在上单调递减，不合题意； 当时，在上单调递减，不合题意； 当时，在上单调递减，不合题意； 当时，若在单调递增， 由对勾函数的图象与性质得，，解得， 综上，， 则实数 a的取值范围是 故答案为： 15.【答案】解：由，得，解得，， “”是“”成立的必要不充分条件， 是A的真子集， 则，解得， 则a的取值范围为； 由题意得，且， 或， 解得或， ， 则a的取值范围为  【解析】本题考查含参数的集合关系的问题，集合之间的关系，充分必要条件的定义及应用，考查了转化的思想方法，属于中档题． 先解出集合B，根据“”是“”成立的必要不充分条件得B是A的真子集，列出不等式组，解不等式组即可； 由条件可得且，根据集合关系列出不等式组解出即可． 16.【答案】解：由题意知，，即； 角的终边过点，， 则；   【解析】本题考查了任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系和诱导公式，属于中档题. 根据任意角的定义即可得出角与角的关系；再利用任意角的三角函数的定义求出，根据角与角的关系，结合两角差的正切公式求得的值即可； 先通过诱导公式对原式化简，进而进行弦化切，然后结合即可求出答案. 17.【答案】解：由图可知， 最小正周期， 又因为，所以 因为的图象经过点， 所以，，即， 因为，所以， 故； 令，， 得，， 所以的单调减区间为，， 所以在上的单调减区间为  【解析】本题考查由部分图象求三角函数解析式，判断正弦型函数的单调性或求解单调区间，属于中档题． 利用已知条件与图象即可求出三角函数的解析式； 利用正弦型函数的单调性即可求出函数的单调减区间． 18.【答案】解： 的定义域为R，且为奇函数， 由，得， 所以， 因为， 所以为奇函数， 故 ； 证明： 当时，， 任取，且， 则 ， 因为， 所以， 所以， 即， 所以函数在R上单调递增； 有两个不同的零点，等价于有两个不同的实数解， 令，则在上有两个不同的实数解， 令，其中， 所以，解得 ， 所以a的取值范围为   【解析】本题考查利用函数的奇偶性解决参数问题，判断或证明函数的单调性，函数零点、方程的根的个数，属于较难题. 根据得到方程，求出，验证后得到答案； 定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，判号，下结论； 换元后得到在有两个不同的实数解，由根的判别式和对称轴得到不等式，求出a的取值范围. 19.【答案】解：因为是型函数，所以，所以， 所以 因为是型函数，所以， 即， 得对定义域内任意x恒成立， 所以，解得， 因为是型函数，所以 ①当时， 因为，所以，满足 ②当时，恒成立. 令，则当时，恒成立，所以恒成立. 因为在单调递增，所以， 所以 ③当时， 则， 因为，所以 令，则当时，， 由②知， 所以只要保证时，恒成立，即恒成立. 因为，当且仅当时取等号， 所以 综上，  【解析】本题考查了函数的新定义，考查了函数的最值问题、分类讨论思想、转化思想，考查了分析问题的能力，属于难题． 由，求出a的值即可； 由，求出a，b的值即可； ①当时，由得出 ②当时，恒成立.求出m的取值范围即可； ③当时，，由，得出求出m的取值范围即可. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$