江苏省南通市海门市2024-2025学年高二上学期期末调研数学试题

2024-2025学年江苏省南通市海门市高二上学期期末调研数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角为    A. B. C. D. 2.已知函数，则式子表示 A. 在处的导数 B. 在处的导数 C. 在上的平均变化率 D. 在上的平均变化率 3.下面导数运算错误的是    A. B. C. D. 4.以为顶点的三角形是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 5.已知双曲线C的焦点在x轴上，两条渐近线为，则C的离心率为 A. B. C. D. 6.已知正项等比数列的前n项和为，，则    A. 9 B. C. 3 D. 2 7.下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是    A. B. C. D. 8.若P为直线上动点，，B在圆上，则的最小值为    A. B. 3 C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知直线，直线，则    A. 在y轴上的截距为 B. 恒过点 C. 当时， D. 当时， 10.已知数列的前n项和为，且，则    A. B. C. D. 数列的前n项和为 11.探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”.已知一探照灯的轴截面是抛物线顶点在原点，从焦点F射出两条互为反向的光线经C上的点反射，若直线PQ的倾斜角为，则 A. 当时，处两条反射光线所在直线的距离为 B. 当时，的面积为2 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数，则______. 13.已知圆和圆，则的公切线共有_____条. 14.一点从起点P出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走的路线和点共有种走法，如，则          ，数列相邻三项的递推关系式为          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知函数 求； 若曲线在处的切线与曲线也相切，求 16.本小题12分 已知圆C经过点 求圆C的方程； 求过点A且与圆C相切的直线的方程； 过B引直线l与圆C交于另一点D，若，求l的斜率. 17.本小题12分 已知点，直线 若l与线段AB有交点，直接写出m的取值范围； 若，设l与直线AB及x轴分别交于C，D两点，求面积的最小值. 18.本小题12分 若等差数列的公差为正整数，且首项为1，则称其是“T数列”. 若等差数列满足，证明：是“T数列”； 设是数列的前n项和，， 求； 是否存在“T数列”，存在正整数m，对于任意，当时，恒有，若存在，求数列的通项公式和m的最大值；否则，说明理由. 19.本小题12分 已知，直线相交于点M，且它们的斜率之积是，点M的轨迹记为 求轨迹C的方程； 设是线段AB的从左至右的两个三等分点. 试比较与的大小，并说明理由； 若直线MP，MQ分别与曲线C相交于另一点E和F，直线PF与C交于另一点G，求证：直线EG经过一定点. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题. 根据题意，求得直线的斜率，得出，结合倾斜角的定义，即可求解. 【解答】 解：由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 因为所以 故选：A 2.【答案】C  【解析】解：因为， 所以表示：在上的平均变化率. 故选 3.【答案】D  【解析】解： ，故A正确； ，故B正确； ，故C正确， ，故D错误. 故选 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查两条直线垂直的判定与应用，属于基础题． 求出直线AB和AC的斜率，判断出AB ，进而可得结果. 【解答】 解：因为 ， 所以 ， 故 ， 故三角形为直角三角形. 5.【答案】B  【解析】解：依题意可知  ，求得，   ，   ， 6.【答案】C  【解析】解：由正项等比数列的前n项和为且，， 可得，解得， 所以 故选 7.【答案】A  【解析】解：易知椭圆关于x轴、y轴、原点对称， 直线与直线关于x轴对称， 直线与直线关于原点对称， 所以椭圆被直线、、所截得的弦长相等，故排除B、C； 根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小， 过原点，比到原点的距离远， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要短，故排除D， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要长， 故选 8.【答案】D  【解析】解：设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 圆的圆心为，半径为1， 则， 当且仅当P、、B、C四点共线，且点B在线段上时，取得最小值，为 故选 9.【答案】AC  【解析】解：对于A，，即，故直线在y轴上的截距为，故A正确； 对于B，，即，令，，可得，，即直线恒过点，故B错误； 对于C，当时，即，，故，故C正确； 对于D，当时，令，，此时直线：，与直线重合，两直线不平行，故D错误. 故选 10.【答案】ABD  【解析】解：由，且， 可知，则为正项递增数列， 故，故A正确； 由， 则时，， 又符合上式，故 时，，故B正确； ，则，故C错误； ， 故数列的前n项和为 ，故D正确. 故选 11.【答案】ACD  【解析】解：当时，直线PQ方程为，与联立， 消去x，整理可得， 所以， 所以 ，即A正确； 当时，的面积为，B错误； 不妨令，则，C正确； 不妨令，则， ， 所以，D正确. 故选 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的导数的运算，属于容易题. 【解答】 解：因为，所以 所以 故答案为 13.【答案】2  【解析】【分析】 本题考查两圆位置关系的判断方法，考查公切线问题，属于基础题． 先判断两圆的位置关系，即可得到公切线的条数． 【解答】 解：圆C ：的圆心坐标为，半径为1， 的圆心坐标为，半径为2， 则圆心距为， 故两圆相交，故两圆的公切线的条数是2条， 14.【答案】 ；   【解析】解：， ， ， ， ， …… 故，， 即， 故答案为17， 15.【答案】解：因为，所以，即， 所以 因为，所以在处的切线方程为，即， 设在处切线为，因为， 所以，化简得， 因为，所以，所以  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：因为AO的中垂线为：，OB的中垂线为：， 联立解得，， 所以圆心，所以圆的半径， 所以圆C的标准方程为； 由得圆C的圆心为，半径为5，因为A在圆C上，所以切线与直线AC垂直， 因为直线AC的斜率为， 所以切线的方程为，即； 的斜率一定存在，设为 k，所以l的方程为， 设圆心C到l的距离为d，因为，所以，即， 所以，化简得，，即， 所以l的斜率为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：因为直线，联立 所以交点， 因为C在线段AB上，所以，即，解得， 所以或 因为直线，联立所以交点 令中，则，所以， 因为，所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为， 设，，所以， 所以当即时，S的最小值为4  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：设等差数列的公差为d，因为，所以①， 因为，所以，即②， 由①②得，，，所以等差数列是“T数列”; 因为，所以，， 两式相减得，，即， 因为，所以，所以， 所以数列构成公比和首项均为的等比数列，所以 假设存在“T数列”且其公差为，满足存在正整数m，对于任意， 当时，恒有， 当时，，，满足条件 当时，若，所以，即，因为，所以， 此时 所以对于任意，当时，恒有， 即，所以对恒成立; 设，则，因为，所以，所以递增， 因为，，，所以，，此时，，，均成立， 即，，所以，存在m的最大值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：设，因为直线AM，BM的斜率之积是， 所以，， 化简得，， 因为，，P，Q是线段AB的从左至右的两个三等分点， 所以，， 设的焦点坐标为，所以，即， 所以，为C的焦点， 因为，所以， 所以； 设，，①当MP斜率存在时，不妨令直线， 联立，化简得，， 因为MP与C的另一个交点为E， 所以， 因为， 所以式可以化为， 所以，所以点，同理点， 当轴，即时，，， 所以直线EG过x轴上点 下证：E，G，H三点共线， 因为， 同理，， 因为M，Q，F三点共线，所以，所以， 即E，G，H三点共线，所以直线EG经过一定点 ②当轴时，即，，所以， 此时，联立，解得 所以直线交C于，所以 综上，直线EG经过定点  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$