专题03 圆和扇形的面积（四大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年六年级数学下册压轴题攻略（沪教版2024）

专题03 圆和扇形的面积 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、两个圆面积的大小关系 2 类型二、羊吃草问题 4 类型三、移动扫过的面积问题 6 类型四、不规则组合图形面积问题 9 压轴能力测评 12 一、圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 二、扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． 如图，空白部分记作扇形AOB． 三、扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： ． 类型一、两个圆面积的大小关系 【例1】如果大圆与小圆半径的比是，那么大圆面积与小圆面积的比是 ． 【答案】/ 【详解】解：因为大圆与小圆半径的比是． 所以设大圆半径看作4份，小圆的半径看作3份， 则，． 所以 ． 故答案为：． 【例2】一个圆扩大后，面积比原来多8倍，周长比原来多50.24厘米，这个圆原来的面积是 平方厘米． 【答案】50.24 【详解】解：∵扩大后面积比原来多8倍， ∴新圆面积是原来圆面积的9倍， 设原来圆的半径为r厘米，则原来圆的面积为平方厘米，新圆面积为平方厘米， ∴新圆半径为原来圆的3倍， ∵新圆周长比原来多50.24厘米， ∴， 解得：， 原来圆的面积： （平方厘米）． 故答案为：50.24． 【变式1-1】如图，两张大小不同的圆形卡片叠放在一起，重叠部分的面积是大圆面积的 ，是小圆面积的 ，若两张卡片不重叠部分的面积和是57平方厘米，则大圆形卡片的面积是 平方厘米． 【答案】63 【详解】解：设重叠部分的面积是单位1， ∵重叠部分的面积是大圆面积的 ，是小圆面积的 ， ∴大圆的面积为：，小圆的面积为：， ∴不重叠部分的面积表示为：， ∵不重叠部分的面积和是57平方厘米， ∴每一份的面积为：， ∴大圆形卡片的面积是平方厘米， 故答案为：63． 【变式1-2】大圆半径与小圆直径相等，小圆的面积是大圆面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由大圆的半径与小圆的直径相等可知，小圆和大圆的半径之比为， ∵， ∴小圆和大圆的面积之比为． 故选：B． 【变式1-3】如图，有甲、乙两个圆，它们的半径之比为，每个圆又都被分割成黑、白两个扇形，其中甲圆被分成的黑、白两个扇形的面积之比为，乙圆被分成的黑、白两个扇形的面积之比为，那么图中两个黑色扇形的面积之和与两个白色扇形的面积之和的比是 ． 【答案】 【详解】解：设甲圆半径为3a，乙圆的半径为8a 则甲圆的面积为（3a）2π=9πa2，乙圆的面积为（8a）2π=64πa2， ∵甲圆被分成的黑、白两个扇形的面积之比为，乙圆被分成的黑、白两个扇形的面积之比为， ∴甲圆中黑扇形的面积为×9πa2=3πa2，甲圆中白扇形的面积为×9πa2=6πa2， 乙圆中黑扇形的面积为×64πa2=16πa2，乙圆中白扇形的面积为×64πa2=48πa2， ∴图中两个黑色扇形的面积之和与两个白色扇形的面积之和的比是（3πa2＋16πa2）÷（6πa2＋48πa2）=19πa2÷54πa2= 故答案为：． 【点睛】此题考查的是圆的面积和按比例分配，掌握圆的面积公式和按比例分配是解题关键． 类型二、羊吃草问题 【例3】如图，边长为的正方形池塘的周围是草地，池塘边P，Q，R，T处各有一棵树，且．现用一根长的绳子将一头羊栓在其中一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子的另一端拴在（    ） A．P处 B．Q处 C．R处 D．T处 【答案】C 【详解】解：将羊拴在Q处时，活动区域的面积是：； 将羊拴在R处时，活动区域的面积是：； 将羊拴在T处时，活动区域的面积是：； 将羊拴在P处时，活动区域的面积是：； 故拴在R处时，可使羊的活动范围最大． 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积，记住扇形的面积公式是解题的关键． 【例4】草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（如图）．问：这只羊能够活动的范围有多大？    【答案】这只羊能够活动的范围有2512平方米 【详解】解：（米），（米） （平方米）， 答：这只羊能够活动的范围有2512平方米． 【点睛】本题主要考查圆的面积的求解，解答此题的关键是：将羊的活动范围分割，分别求出各部分的面积，问题即可得解． 【变式2-1】一根长米的绳子正好可以绕一棵树的树干10圈．这棵树树干的横截面的面积大约是多少平方厘米？ 【答案】横截面的面积大约是1256平方厘米． 【详解】解： 米， 平方米平方厘米 答：横截面的面积大约是1256平方厘米． 【点睛】本题主要考查了圆面积和周长的计算，正确根据题意计算出横截面的半径是解题的关键． 【变式2-2】一片草地上有一个木桩，把一只羊用6米长的绳子拴在木桩上，羊能吃到36π平方米的草，若把绳子延长1米，则羊能多吃到（    ）平方米的草． A．π B．13π C．49π 【答案】B 【详解】解：由题意可得：绳子延长1米，羊吃草区域的半径为7米 则：该区域的面积为：72π=49π 羊能多吃到草的面积为：49π-36π=13π． 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆的面积公式，掌握运用圆的面积公式求圆的面积成为解答本题的关键． 【变式2-3】草场上有一个木屋，木屋是边长为3m的正方形如图点A是木屋的一角；在点A处有一根木桩，用6m长的绳子把一匹马栓在木桩上，求这匹马的活动范围． 【答案】 【详解】解：由分析知：马的活动面积为： ()． 答：这匹马的活动范围是． 【点睛】本题主要考查了圆的面积公式在实际生活中的应用．关键是熟记圆的面积公式． 类型三、移动扫过的面积问题 【例5】钟面上分针长 5 厘米，从4时到 4 时 30 分，分针扫过的面积是 平方厘米． 【答案】39.25 【详解】解：（平方厘米）， 故答案为：39.25 【例6】李老师家有一款直径为的圆形扫地机器人（如下图）． (1)这个扫地机器人底面的周长是多少厘米？ (2)它直走后（如图），扫过的面积是多少平方米？ 【答案】(1)这个扫地机器人底面的周长是厘米 (2)扫过的面积是平方米 【详解】（1）解：   答：这个扫地机器人底面的周长是厘米； （2）解： ， 答：扫过的面积是平方米． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)将绕着点O逆时针旋转，画出旋转后得到的 (2)求出在旋转过程中，线段扫过的图形面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图， （2）解：（2）∵且， ∴线段所扫过的图形的面积为． 【变式3-2】图形计算题 如图，将长方形绕顶点顺时针旋转，若，，，求边扫过部分的面积．（取） 【答案】 【详解】解：． 答：边扫过部分的面积． 【变式3-3】如图，直角三角形的直角顶点为，且，，，将此三角形绕点顺时针旋转到直角三角形的位置．（结果保留 (1)求运动过程中点和点经过的路径之和； (2)求扫过的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得：，，， 路径之和为：， ， ． 答：运动过程中点和点经过的路径之和为； （2）解：扫过的面积 ， ， ． 答：扫过的面积为． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算在旋转图形的路径长与面积计算中的应用，解题的关键是掌握数形结合并熟练掌握扇形与三角形的相关计算公式． 类型四、不规则组合图形面积问题 【例7】（1）如图1，求阴影周长（结果保留） （2）如图2，求阴影面积（结果保留） 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）； （2）． 【例8】求涂色部分的面积．（单位： ） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为涂色部分的面积合起来为两个直径为的圆， 所以涂色部分的面积为：（）， 答：涂色部分的面积为． （2）解：因为涂色部分的面积为4个弓形面积的和， 其中1个弓形面积为：（）， 所以涂色部分的面积为（）， 答：涂色部分的面积为． 【变式4-1】求阴影部分的周长和面积（π取3.14）． (1)四边形为梯形 (2)四边形为正方形 【答案】(1)周长为18.28，面积为9.44 (2)周长为47.1，面积为78.5 【详解】（1）解：阴影部分的周长为； 阴影部分的面积； （2）解：阴影部分的周长为； 阴影部分的面积． 【变式4-2】李明家的一扇门，为了达到既美观又耐用，需要让装修公司装上形状如图所示的装饰木条（也包括围成阴影部分的木条，木条的宽度忽略不计，其他部分都安装上玻璃，阴影部分是在玻璃上喷上彩色的油漆．（，单位：） (1)求这扇木门所用木条的总长度是多少厘米？ (2)求喷色部分的面积是多少平方厘米？ (3)若木门安装的玻璃按每平方米400元，涂色部分的油漆按每平方米2000元，木条按每米100元，一个门的安装费用是木条用料费用的，李明的爸爸又与装修公司讨价还价后，装修公司又给了总费用减免的优惠，李明家这扇门安装完毕共需要多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【详解】（1）解：木门的装饰条的长为：； 答：这扇木门所用装饰条的总长度是1350厘米． （2）解：如图，由题意知， （平方厘米）． 答：喷色部分的面积是1250平方厘米． （3）解：玻璃部分费用：元， 喷色部分费用：元， 木条及安装费：元， 优惠后费用：元， 答：李明家安装这扇门共需要元． 【变式4-3】如图，长方形的长为，宽为，以B为圆心，长为半径画扇形．求阴影部分a与b的差． 【答案】阴影部分a与b的差是平方厘米 【详解】解： （平方厘米） 答：阴影部分a与b的差是平方厘米． 1．圆的半径由增加到，面积增加了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：（）； 故选：D 2．大圆的直径是小圆直径的3倍，小圆面积与大圆面积的比是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵大圆的直径是小圆直径的3倍， ∴大圆的直径是小圆半径的3倍， 设小圆半径为r，则大圆半径为， ∴小圆面积，大圆面积， ∴小圆面积与大圆面积的比是， 故选：A． 3．如图，将一个圆分割成甲、乙、丙三个扇形，使它们的圆心角的度数之比为2：3：4．若圆的半径为3，则扇形丙的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】甲、乙、丙三个扇形的圆心角的度数之比为， 扇形丙的圆心角， ， 故选：D． 4．如图，将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形，圆的面积是（    ） A．6.28 B．9.42 C．12.56 【答案】C 【详解】解：由题意可知，圆的周长为， 所以圆的半径为， 所以圆的面积为， 故选：C． 5．如图，正方形的边长是1厘米，4个弓形面积之和是（    ）平方厘米（取）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （平方厘米）， 故4个弓形（阴影部分）面积之和是平方厘米． 故选：B． 6．如图，圆心重合的两圆半径分别为4，2，，则阴影部分图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】所求扇环的圆心角为， 阴影部分图形的面积． 故选：C． 7．如图中，小圆的直径是4厘米，大圆的半径是5厘米，让小圆沿大圆外沿滚动一周，小圆的圆心移动的路程是( )厘米，小圆扫过的面积是( )平方厘米．（取3.14） 【答案】 【详解】解：∵小圆的圆心移动的路程是以大圆圆心为圆心，以厘米为半径的一个圆的周长 ∴（厘米）， ∵小圆扫过的图形是圆环，内圆半径是5厘米，外圆半径是(厘米)， ∴ (平方厘米) 故答案为：，． 8．图中正方形边长为2厘米，两个阴影部分，的面积比为( ) 【答案】 【详解】解：， ， 所以， 故答案为：． 9．如图中，小圆的是阴影，大圆的是阴影．大圆阴影部分的面积与小圆阴影部分的面积之比是( )． 【答案】 【详解】解：如图，非阴影部分是小圆的，大圆的， 即小圆的大圆的， 设小圆面积是“1”，则大圆面积是， 所以大圆阴影部分的面积与小圆阴影部分的面积之比是． 故答案为： 10．如图，在的方格纸中设计了一个红色图案，若每个小正方形的边长为1，则该红色图案的面积为 (取3) 【答案】8 【详解】解：如图： 由图可得，该图形为轴对称图形，则该红色图案的面积， ， 同理可得：， 则该红色图案的面积， 故答案为：． 11．将如图所示的一个圆分割成四个扇形，这四个扇形的圆心角的度数比为． (1)求这四个扇形的圆心角的度数； (2)若圆的半径为，请分别求出这四个扇形的面积． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【详解】（1）解：四个扇形的圆心角度数分别如下： ； ； ； ； （2）解：扇形的面积：； 扇形的面积：； 扇形的面积：； 扇形的面积：． 12．沈阳方圆大厦是一座古钱币造型的建筑．小新模仿它设计了一个模型，模型的正面是铜钱的形状，其圆的直径是，中间正方形的边长是．这个模型正面的面积是多少平方厘米？ 【答案】34.24平方厘米 【详解】解：， 圆的面积：， 正方形的面积：， 模型正面的面积：， 答：这个模型正面的面积是平方厘米． 13．如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是．求阴影部分的面积（取）． 【答案】 【详解】 解：∵两个小圆和三个半圆的半径都是， ∴大半圆的半径为， ∴阴影部分的面积， 答：阴影部分的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆和扇形的面积 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、两个圆面积的大小关系 2 类型二、羊吃草问题 4 类型三、移动扫过的面积问题 6 类型四、不规则组合图形面积问题 9 压轴能力测评 12 一、圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 二、扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． 如图，空白部分记作扇形AOB． 三、扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： ． 类型一、两个圆面积的大小关系 【例1】如果大圆与小圆半径的比是，那么大圆面积与小圆面积的比是 ． 【例2】一个圆扩大后，面积比原来多8倍，周长比原来多50.24厘米，这个圆原来的面积是 平方厘米． 【变式1-1】如图，两张大小不同的圆形卡片叠放在一起，重叠部分的面积是大圆面积的 ，是小圆面积的 ，若两张卡片不重叠部分的面积和是57平方厘米，则大圆形卡片的面积是 平方厘米． 【变式1-2】大圆半径与小圆直径相等，小圆的面积是大圆面积的（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，有甲、乙两个圆，它们的半径之比为，每个圆又都被分割成黑、白两个扇形，其中甲圆被分成的黑、白两个扇形的面积之比为，乙圆被分成的黑、白两个扇形的面积之比为，那么图中两个黑色扇形的面积之和与两个白色扇形的面积之和的比是 ． 类型二、羊吃草问题 【例3】如图，边长为的正方形池塘的周围是草地，池塘边P，Q，R，T处各有一棵树，且．现用一根长的绳子将一头羊栓在其中一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子的另一端拴在（    ） A．P处 B．Q处 C．R处 D．T处 【例4】草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（如图）．问：这只羊能够活动的范围有多大？    【变式2-1】一根长米的绳子正好可以绕一棵树的树干10圈．这棵树树干的横截面的面积大约是多少平方厘米？ 【变式2-2】一片草地上有一个木桩，把一只羊用6米长的绳子拴在木桩上，羊能吃到36π平方米的草，若把绳子延长1米，则羊能多吃到（    ）平方米的草． A．π B．13π C．49π 【变式2-3】草场上有一个木屋，木屋是边长为3m的正方形如图点A是木屋的一角；在点A处有一根木桩，用6m长的绳子把一匹马栓在木桩上，求这匹马的活动范围． 类型三、移动扫过的面积问题 【例5】钟面上分针长 5 厘米，从4时到 4 时 30 分，分针扫过的面积是 平方厘米． 【例6】李老师家有一款直径为的圆形扫地机器人（如下图）． (1)这个扫地机器人底面的周长是多少厘米？ (2)它直走后（如图），扫过的面积是多少平方米？ 【变式3-1】在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)将绕着点O逆时针旋转，画出旋转后得到的 (2)求出在旋转过程中，线段扫过的图形面积． 【变式3-2】图形计算题 如图，将长方形绕顶点顺时针旋转，若，，，求边扫过部分的面积．（取） 【变式3-3】如图，直角三角形的直角顶点为，且，，，将此三角形绕点顺时针旋转到直角三角形的位置．（结果保留 (1)求运动过程中点和点经过的路径之和； (2)求扫过的面积． 类型四、不规则组合图形面积问题 【例7】（1）如图1，求阴影周长（结果保留） （2）如图2，求阴影面积（结果保留） 【例8】求涂色部分的面积．（单位： ） (1) (2) 【变式4-1】求阴影部分的周长和面积（π取3.14）． (1)四边形为梯形 (2)四边形为正方形 【变式4-2】李明家的一扇门，为了达到既美观又耐用，需要让装修公司装上形状如图所示的装饰木条（也包括围成阴影部分的木条，木条的宽度忽略不计，其他部分都安装上玻璃，阴影部分是在玻璃上喷上彩色的油漆．（，单位：） (1)求这扇木门所用木条的总长度是多少厘米？ (2)求喷色部分的面积是多少平方厘米？ (3)若木门安装的玻璃按每平方米400元，涂色部分的油漆按每平方米2000元，木条按每米100元，一个门的安装费用是木条用料费用的，李明的爸爸又与装修公司讨价还价后，装修公司又给了总费用减免的优惠，李明家这扇门安装完毕共需要多少元？ 【变式4-3】如图，长方形的长为，宽为，以B为圆心，长为半径画扇形．求阴影部分a与b的差． 1．圆的半径由增加到，面积增加了（    ） A． B． C． D． 2．大圆的直径是小圆直径的3倍，小圆面积与大圆面积的比是（    ）． A． B． C． D． 3．如图，将一个圆分割成甲、乙、丙三个扇形，使它们的圆心角的度数之比为2：3：4．若圆的半径为3，则扇形丙的面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形，圆的面积是（    ） A．6.28 B．9.42 C．12.56 5．如图，正方形的边长是1厘米，4个弓形面积之和是（    ）平方厘米（取）    A． B． C． D． 6．如图，圆心重合的两圆半径分别为4，2，，则阴影部分图形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图中，小圆的直径是4厘米，大圆的半径是5厘米，让小圆沿大圆外沿滚动一周，小圆的圆心移动的路程是( )厘米，小圆扫过的面积是( )平方厘米．（取3.14） 8．图中正方形边长为2厘米，两个阴影部分，的面积比为( ) 9．如图中，小圆的是阴影，大圆的是阴影．大圆阴影部分的面积与小圆阴影部分的面积之比是( )． 10．如图，在的方格纸中设计了一个红色图案，若每个小正方形的边长为1，则该红色图案的面积为 (取3) 11．将如图所示的一个圆分割成四个扇形，这四个扇形的圆心角的度数比为． (1)求这四个扇形的圆心角的度数； (2)若圆的半径为，请分别求出这四个扇形的面积． 12．沈阳方圆大厦是一座古钱币造型的建筑．小新模仿它设计了一个模型，模型的正面是铜钱的形状，其圆的直径是，中间正方形的边长是．这个模型正面的面积是多少平方厘米？ 13．如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是．求阴影部分的面积（取）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$