5.3.2正切函数的图象和性质（2大题型提分练）数学湘教版必修第一册

5.3.2正切函数的图象与性质 题型一 正切函数的图象及其应用 1.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．，则（    ） A． B． C． D． 3．当，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．下列关于函数的四个结论中错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 5．已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6（多选题）．已知函数（，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 7（多选题）．以下是方程的解的为（   ） A．0 B． C． D． 8（多选题）．已知函数的图象相邻两个对称中心之间的距离为，则（ ） A． B．的最小正周期为 C．的图象的一条渐近线为直线 D．的增区间为 9．已知函数，其中． (1)当时，求在区间上的最值及取最值时的值； (2)若的最小值为，求． 10．画出函数在上的简图． 题型二 正切函数性质的综合应用 1．已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．在区间内，曲线和交点间的线段长的最大值为（    ） A． B． C． D．4 5．函数的相邻两个零点之间的距离为（   ） A． B．6 C． D．12 6．下列函数中，周期为且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 7（多选题）．已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．的图象的对称中心为 C．在上单调递增 D．是奇函数 8．已知函数的最小正周期是2，则 ；此时函数的定义域为 . 9．已知，若点在第一象限，则的取值范围是 ． 10．（1）已知，求的值； （2）求函数的单调递增区间. 11．利用图象，求不等式的解集． 12．已知函数． (1)若，求函数的定义域及最小正周期； (2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围． 1．已知函数满足，若函数在上的零点为，则（   ） A． B． C． D． 2（多选题）．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．的最小正周期为 D．的图象关于点对称 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3.2正切函数的图象与性质 题型一 正切函数的图象及其应用 1.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意分别判断充分性，必要性从而可求解. 【详解】必要性：若，则，，故必要性不满足； 充分性：若，则，故充分性满足； 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确. 故选：A. 2．，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式特点，代入解析式求解即可. 【详解】. 故选：C 3．当，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意作出，在同一坐标系下的图象求得交点个数可得. 【详解】由，得， 作出，，的图象， 由图可知，两函数的图象的交点有4个，则曲线在上的零点个数为4. 故选：B. 4．下列关于函数的四个结论中错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义判断A；根据函数的周期判断B；根据函数的对称轴判断C；根据复合函数的性质或切化弦判断D 【详解】由，得且， 因为，所以函数为奇函数， 所以的图象关于原点对称，所以选项A正确． 因为，所以是函数的一个周期， 由选项A知点是函数的图象的对称中心， 则也是函数的图象的对称中心，所以选项B正确． 因为， 所以函数的图象关于直线对称，所以选项C正确． 方法一：因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 由复合函数的性质可知，函数在区间上单调递减，所以选项D错误． 方法二：因为，所以在区间上单调递减，所以选项D错误． 故选：D． 5．已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正切型函数的图象性质计算即可得. 【详解】当时，， 则由题意可得在上有3个实数根，即可得， 解得，即的取值范围是.故选：C. 6（多选题）．已知函数（，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】AD 【分析】观察图象确定函数的周期，结合周期公式求，判断A，根据时，函数无意义，求，判断B，再求判断C，结合对称的性质及正切函数性质判断D. 【详解】A：由图可知，的最小正周期，又，所以，故，故A正确； B：由图象可知时，函数无意义，故，由，得，故B错误； C：由上分析可得：，所以， 即的图象与轴的交点坐标为， 故C错误； D：因为， 所以 所以函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：AD. 7（多选题）．以下是方程的解的为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】解正切型方程判断即可. 【详解】因为，所以，，所以，，所以是方程的解， 故选：ACD 8（多选题）．已知函数的图象相邻两个对称中心之间的距离为，则（ ） A． B．的最小正周期为 C．的图象的一条渐近线为直线 D．的增区间为 【答案】BC 【分析】利用正切型函数的对称性和周期性可判断AB选项；利用正切型函数的渐近线可判断C选项；利用正切型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于AB选项，因为函数的图象相邻两个对称中心之间的距离为， 则该函数的最小正周期为，所以，，A错B对； 对于C选项，，当时，， 所以，的图象的一条渐近线为直线，C对； 对于D选项，由，可得， 所以，的增区间为，D错. 故选：BC. 9．已知函数，其中． (1)当时，求在区间上的最值及取最值时的值； (2)若的最小值为，求． 【答案】(1)最小值，；最大值为，；(2) 【分析】（1）利用二次函数的性质即可求解； （2）利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）当时，， 令，，则， 的图象对称轴为，开口向上， 所以当时，即时，取得最小值，最小值为， 当时，即时，取得最大值，最大值为， 所以在上的最小值为，此时，最大值为，此时. （2）因为 的最小值为， 所以，且,所以， 又，所以. 10．画出函数在上的简图． 【答案】答案见解析 【分析】根据五点作图法画图即可. 【详解】令，，可得，， 又，所以直线是该函数图象的一条渐近线． 当时，；当时，； 当时，；当时，． 描点，，，，画虚线，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．    题型二 正切函数性质的综合应用 1．已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，即可得到答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，，，. 故选：B. 2．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用诱导公式及余弦函数的性质判断C，利用诱导公式及正切函数的性质判断D. 【详解】对于A：因为在定义域上单调递减，所以，故A错误； 对于B：因为在定义域上单调递增，所以，故B错误； 对于C：，， 又在上单调递减，所以，即，故C错误； 对于D：，， 又在上单调递增，所以，所以，故D正确. 故选：D. 3．函数的定义域为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】求解不等式即可. 【详解】由题意，得， 所以，，得，， 故所求函数的定义城为，， 故选：C. 4．在区间内，曲线和交点间的线段长的最大值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】在同一坐标系中，画出两个函数的图象，数形结合解决问题. 【详解】在同一坐标系中，和的图象如下所示：    令，，解得或，故， 则，也即在区间交点间的线段长的最大值为. 故选：A. 5．函数的相邻两个零点之间的距离为（   ） A． B．6 C． D．12 【答案】B 【分析】函数的相邻两个零点之间的距离即为最小正周期，求解即可. 【详解】由正切函数的图象可知， 函数的相邻两个零点之间的距离即为最小正周期， 又最小正周期为， 所以函数的相邻两个零点之间的距离为. 故选：B. 6．下列函数中，周期为且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换规则一一判断即可. 【详解】对于A：的图象是将在轴右侧的图象关于轴对称过去，轴及轴右侧部分不变， 函数图象如下所示： 所以不具有周期性，故A错误； 对于B：的图象是将在轴右侧的图象关于轴对称过去，轴及轴右侧部分不变， 函数图象如下所示： 所以不具有周期性，故B错误； 对于C：的图象是将在轴下方部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分保持不变， 函数图象如下所示： 又的最小正周期为，所以的最小正周期为， 又在上单调递增且函数值为正，所以在上单调递增，故C正确； 对于D：的图象是将在轴下方部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分保持不变， 函数图象如下所示： 又的最小正周期为，所以的最小正周期为， 又在上单调递减且函数值为正，所以在上单调递减，故D错误； 故选：C 7（多选题）．已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．的图象的对称中心为 C．在上单调递增 D．是奇函数 【答案】CD 【分析】由题意，根据求出，进而，结合正切函数的图象与性质计算依次判断选项即可. 【详解】A：，故A错误； B：令，则，所以对称中心为，故B错误； C：由选项A知， 当时，在上单调递增，故C正确； D：设函数，得，显然定义域关于原点对称， 故是奇函数，故D正确.故选：CD. 8．已知函数的最小正周期是2，则 ；此时函数的定义域为 . 【答案】 且 【分析】根据函数的最小正周期，求得，再利用整体法求函数的定义域即可. 【详解】因为的最小正周期为2，故可得，所以； 故， 令，解得，且 所以的定义域为且. 故答案为：；且 9．已知，若点在第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，可知角不为轴线角，分类讨论角所在象限结合三角函数性质分析求解即可. 【详解】因为点在第一象限，则， 且，可知角不为轴线角， 若，则，可得， 且，则，可得； 若，则，可得，不合题意； 若，则，可得， 且，则，可得； 若，则可得，不合题意； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 10．（1）已知，求的值； （2）求函数的单调递增区间. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据函数齐次化，将其转化为相关的关系求解； （2）根据整体代入法结合正切函数的单调性来求解； 【详解】（1） . （2）对于函数， 由，可得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 11．利用图象，求不等式的解集． 【答案】 【分析】先求得和时的值，然后根据图象列出关于的不等式，由此可求出解集. 【详解】的图象如图所示： 令，则，解得， 令，则，解得， 又因为，结合图象可得， 即原不等式的解集为. 12．已知函数． (1)若，求函数的定义域及最小正周期； (2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）把代入，利用正切函数定义域及周期公式列式求解. （2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得. 【详解】（1）当时，，则函数的最小正周期； 由，解得，所以函数的定义域为． （2）由，得， 由函数在区间内单调递增，得，解得，又， 所以的取值范围为． 1．已知函数满足，若函数在上的零点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程组法求得，判断其奇偶性，再结合函数图形即可判断. 【详解】由，可得， 解得，易知为奇函数，故的图象关于原点对称， 则函数在上的图急关于原点对称， 故函数在上的零点也关于原点对称，和为0， 在上的零点和即为上的零点和，令，得， 作出和在同一坐标系中的图象，可知在内的零点有， 故零点之和为 故选：B 2（多选题）．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．的最小正周期为 D．的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】根据奇函数的定义判断A，根据正弦函数和正切函数的单调性判断B，证明是函数的周期判断C，证明为奇函数，由此判断D. 【详解】函数的定义域为，，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数，A正确； 由可得，，所以函数，在上单调递增， 所以在上单调递增，B正确； 因为，所以是函数的周期，C错误； 因为，函数的定义域为，， 定义域关于原点对称，， 所以函数为奇函数，故的图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，D正确.故选：ABD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$