5.2 二次函数的图像和性质（八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

5.2　二次函数的图像和性质（八大题型提分练） 题型一 二次函数的图像 1．二次函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数y＝ax²＋bx的图像如图所示，那么a、b的符号为（    ） A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＞0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＜0 3．如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图像（     ） A．y=x2+2x+1 B．y=x2-2x+1 C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2+2x+1 4．已知二次函数的图像过点，对称轴为直线，则这个函数图像必过点（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数，其中、，则该函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 6．小凯在画一个开口向上的二次函数图像时，列出如下表格：发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是_____________. x … 0 1 2 … y … 4 2 … 7．二次函数的图像如图所示，则b，c，，这四个式子中，值为正数的有_____________. 8．已知函数，有下列结论： ①图像具有对称性，对称轴是直线； ②当时，函数有最大值是4； ③点，点在该函数图像上，则当时，； ④函数图像与直线有4个交点； 其中正确结论的序号是 ． 9．已知二次函数． (1)求此函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)画出此函数的图像（描个点即可）； (3)当时，利用图像直接写出的取值范围：______； (4)当时，利用图像直接写出的取值范围：______． 10．为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业： 二次函数的图像经过点，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式． [观察发现] 请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图像． [思考交流] 小亮说：“满足条件的函数图像的对称轴一定在y轴的左侧．” 小莹说：“满足条件的函数图像一定在x轴的下方．” 你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明． [概括表达] 小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数的图像与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法． 请你探究这个方法，写出探究过程． 题型二 二次函数的性质 1．已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 2．如图所示，直线l为二次函数的图像的对称轴，则下列说法正确的是（    ）    A．b恒大于0 B．a，b同号 C．a，b异号 D．以上说法都不对 3．已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线经过和，则抛物线的最低点为（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数，且，则图像一定经过（    ）象限． A．三、四 B．一、三、四 C．一、二、三、四 D．二、三、四 6．在平面直角坐标系中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的是(   ) A． B． C． D． 7．对于二次函数，下列是关于其性质的一些描述：①对称轴为；②顶点纵坐标为7；③该二次函数图像与轴有两个交点；④抛物线开口向上．其中说法错误的为 ． 8．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 ． 9．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 10．若二次函数的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ． 11．小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①当时，x越小，函数值越小； ②当时，x越大，函数值越小； ③当时，x越小，函数值越大； ④当时，x越大，函数值越大． 其中正确的是 （只填写序号）． 12．如图，已知二次函数：与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C． (1)写出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)研究二次函数：（）． 写出二次函数与二次函数有关图像的两条相同的性质； 若直线与抛物线交于E、F两点，问线段的长度是否发生变化？如果不会，请求出的长度；如果会，请说明理由． 题型三 利用二次函数的性质比较大小 1．若点都在二次函数的图像上，则（    ） A． B． C． D． 2．抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是(   ) A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对 3．点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图像上．若y1＜y2，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”） 6．在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点． 若，，则 （填“”或“”）； 若对于，，，存在，则的取值范围是 ． 7．在平面直角坐标系中，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴； (2)试比较，的大小，并说明理由． 8．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； (2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； 题型四 二次函数的最值 1．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6 2．已知二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值，则a，b的大小关系为（    ） A．a>b B．a<b C．a＝b D．不能确定 3．已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．二次函数的最大值是 ． 7．当1≤x≤3时，二次函数y＝x24x5有最大值m，则m＝ ． 8．已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ． 9．学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 10．课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 题型五 二次函数的图像与系数之间的关系 1．已知，二次函数的图像如图所示，则点所在的象限是（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图像如图所示，对称轴为，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1<y2；③10b-3c=0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．函数的图像是由函数的图像轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是_________. ① ；②；    ③；④将图像向上平移1个单位后与直线有3个交点． 5．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为(2，0)． (1)抛物线与轴的另一个交点坐标为 ； (2)双曲线分居在第 象限，直线不经过第 象限； (3)有以下的说法： ①；②；③；④若(0，)，(1，)是抛物线上的两点，则． 上述说法中，正确的有 ．(填序号) 6．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3． 有下列结论： ①；②；③（m为任意实数）；④． 其中正确的是 （填序号）． 7．已知抛物线的图像如图所示．   (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③， 其中正确的有 ．（填序号） 题型六 二次函数图像的平移 1．抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 3．把函数的图像，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图像（　） A．向左平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向上平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 4．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 A．2 B．4 C．8 D．16 6．已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（      ） A．5 B． C．5或1 D．或 7．小嘉说：将二次函数的图像平移或翻折后经过点有4种方法： ①向右平移2个单位长度     ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度     ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 你认为小嘉说的方法中正确的个数有 个． 8．已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是 ． 10．把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线． （1）直接写出抛物线的函数关系式； （2）动点能否在拋物线上？请说明理由； （3）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由． 题型七 双图像问题 1．已知反比例函数 y＝的图像如图所示，则二次函数 y =ax 2－2x和一次函数 y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（      ） A．   B．  C．  D．   2．在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图像可能是（  ） A．   B．   C．   D．   3．函数与的图像如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 4．一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图像如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为 ． 6． 如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图像相交于，，三点．则不等式的解是 ． 7．将抛物线的图像位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图像，若直线与此图像有四个交点；求的取值范围． 8．如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 题型八 二次函数图像与几何的综合应用 1．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图像与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为 ．    4．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      5．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P是抛物线在第四象限图像上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为______． 6．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与y轴的交点坐标为，图像的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．    (1)求c的值及顶点M的坐标， (2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图像交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 1．二次函数 的图像大致是（　　） A． B． C． D． 2．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图像的对称轴在轴的右侧 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像与轴的交点坐标为和 D．的最小值为－9 3．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（    ） A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 5．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或4 B．或 C．或4 D．或4 6．如图，二次函数与的图像与过且平行于轴的直线分别交于两点和两点，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致如图所示，则函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 8．二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 10．已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 11．二次函数的最大值是 ． 12．将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是 ． 13．已知二次函数的图像向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 14．如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．    15．在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ． 16．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有__________. ① ②该抛物线与轴的另一个交点坐标是 ③若点和在该抛物线上，则 ④对任意实数，不等式总成立 17．已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ． 18．在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是 ． 19．关于抛物线（是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）． ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． 20．定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图像的对称轴是轴；②当时，函数图像过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是 ． 21．二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上． (1)的值为 ___________； (2)在坐标系中画出平移后的图像并求出与的交点坐标； (3)点在新的函数图像上，且两点均在对称轴的同一侧，若则 _______ （填“”或“”或“”） 22．在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 23．如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧． (1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 24．小明为了探究函数的性质，他想先画出它的图像，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 0 1 0 0 1 0 a … (1)①列出y与x的几组对应值如表，表格中，______； ②结合上表，在如图所示的平面直角坐标系中，画出当时函数M的图像； ③观察图像，当______时，y有最大值为______． (2)若关于x的方程有4个实数根，则a的取值范围是______． (3)已知，两点在函数M的图像上，当时，请直接写出m的取值范围． 25．如图，二次函数是初中数学的重要内容，它的图像是抛物线，具有许多独特的性质，下面围绕二次函数的性质展开学习． 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点． 【探究】（1）求的值及抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过点，求当取何值时，函数有最值，并写出此时的值； 【深入探究】（3）在（）的条件下，若抛物线交轴于，两点（点位于点左边），连接，过点作直线于点，交轴于点，交抛物线于点，求交点的坐标； 【拓广探索】（4）在（）的条件下，设直线对应的函数为，二次函数为，若，观察图像，请直接写出的取值范围__________． 26．已知抛物线 （1）通过配方可以将其化成顶点式为__________，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图像的特征，可以判断，当顶点在x轴__________（填上方或下方），即__________0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点； （2）若抛物线上存在两点，，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图像辅助说明，可自己画出简单示意图） （3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当，时，． 27．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）．    (1)求A点的坐标； (2)如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值； (3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围． 28．已知抛物线与x轴有公共点． (1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围； (2)将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值； (3)D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2　二次函数的图像和性质（八大题型提分练） 题型一 二次函数的图像 1．二次函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】二次函数中，，图像开口向上，顶点坐标为， 符合条件的图像是B． 故选：B． 2．已知二次函数y＝ax²＋bx的图像如图所示，那么a、b的符号为（    ） A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＞0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＜0 【答案】B 【解析】解：∵二次函数图像的开口向下， ∴ ， ∵二次函数图像的顶点坐标位于第一象限内， ∴ ，即， ∴． 故选：B 3．如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图像（     ） A．y=x2+2x+1 B．y=x2-2x+1 C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2+2x+1 【答案】D 【解析】解：由A、B的函数的解析式可知抛物线开口向上，故不合题意； C．∵y=-x2-2x+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==-1，故C不合题意； D．∵y=-x2+2x+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==1，故D符合题意； 故选：D． 4．已知二次函数的图像过点，对称轴为直线，则这个函数图像必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ 抛物线对称轴为直线x=2，并且图像过点P(1，4) ∴P(1，4)关于直线x=2的对称点为(3，4） 故选：D． 5．已知二次函数，其中、，则该函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上， ∴可以排除A选项和D选项； B选项和C选项中，抛物线的对称轴， ∵ ， ∴， ∴抛物线开口向下，可以排除B选项， 故选：C． 6．小凯在画一个开口向上的二次函数图像时，列出如下表格：发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是_____________. x … 0 1 2 … y … 4 2 … 【解析】解： 如图所示，四个点在坐标系中的分布， ∵用列表法画二次函数图像时要列出顶点坐标， ∴若错，则二次函数对称轴在直线和直线之间， ∴表中的描点没有顶点坐标，故是正确的； 若错，则二次函数对称轴为直线， ∵二次函数开口向上， ∴当时的函数值最小，这与时，函数值为4不是最小矛盾， ∴是正确的， 若错，由于，此时函数开口方向不可能向上， ∴正确； 若错，此时抛物线对称轴为， ∴当时，y随x增大而增大，满足题意， 综上所述，只有是错误的， 故答案为：． 7．二次函数的图像如图所示，则b，c，，这四个式子中，值为正数的有_____________. 【解析】解：由函数图像知：抛物线开口向上，即， 抛物线交轴负半轴，即； 又对称轴交轴的正半轴，，而， ； 抛物线与轴有两个交点， ； 由图像可知，当时，； 而当时，．即； 综上所述，b，c，，这四个式子中，值为正数的有1个． 故答案为：1． 8．已知函数，有下列结论：①图像具有对称性，对称轴是直线；②当时，函数有最大值是4；③点，点在该函数图像上，则当时，；④函数图像与直线有4个交点，其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【解析】解：如图所示，在x轴上方（包含x轴上）的函数图像即为， ∴的图像具有对称性，对称轴为直线，故①正确； 由函数图像可知，没有最大值，故②错误； 由函数图像可知，当，y随x增大而增大， ∴当时，，故③正确； 由函数图像可知，函数图像与直线有4个交点，故④正确； 故答案为：①③④． 9．已知二次函数． (1)求此函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)画出此函数的图像（描个点即可）； (3)当时，利用图像直接写出的取值范围：______； (4)当时，利用图像直接写出的取值范围：______． 【解析】（1）解：由二次函数解析式 ∴此函数图像的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：列表： 描点： 连线： 如图， （3）解：根据图像可知：当时， ∴的取值范围； （4）解：根据图像可知：当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 10．为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业： 二次函数的图像经过点，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式． [观察发现] 请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图像． [思考交流] 小亮说：“满足条件的函数图像的对称轴一定在y轴的左侧．” 小莹说：“满足条件的函数图像一定在x轴的下方．” 你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明． [概括表达] 小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数的图像与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法． 请你探究这个方法，写出探究过程． 【解析】解：[观察发现] 由题意得，这个二次函数可以是：（答案不唯一）； 画出函数图像如图： [思考交流] ∵二次函数的图像不经过第一象限， ∴抛物线的图像一定在x轴的下方，a＜0， ∴小莹的说法正确； ∵抛物线的对称轴为x＝， ∴抛物线的对称轴可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，或者是y轴， ∴小亮的说法不正确； ∵抛物线y=-x2经过x轴， ∴小莹的说法不正确； [概括表达] ∵抛物线经过点（−1，−1），且不经过第一象限， ∴a−b＋c＝−1，且a＜0， ①当对称轴在y轴右侧时，即b＞0，此时顶点在x轴上或在x轴下方， ∴Δ＝≤0，即≤4ac， ∴ac≥0， ∵a＜0， ∴c≤0， ∵2ac≤， ∴4ac≤， ∴， 当时，有，解得：， 当时，有，不成立， ∴b≤； ②当对称轴在y轴左侧或y轴上时，b≤0，此时只需保证与y轴交点在x轴上或在x轴下方， ∴c≤0； 综上所述：a＜0，b≤，c≤0，且a−b＋c＝−1． 题型二 二次函数的性质 1．已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 【答案】C 【解析】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图像开口向下，函数有最大值，为 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C． 2．如图所示，直线l为二次函数的图像的对称轴，则下列说法正确的是（    ）    A．b恒大于0 B．a，b同号 C．a，b异号 D．以上说法都不对 【答案】C 【解析】解：∵直线l为二次函数的图像的对称轴， ∴对称轴为直线， 当时，则， 当时，则， ∴a，b异号， 故选：C． 3．已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵二次函数的对称轴为y轴，当时，y随x增大而增大， ∴二次函数的图像开口向上， ∴a-1＞0，即：， 故选：B． 4．抛物线经过和，则抛物线的最低点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵抛物线经过和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线的最低点为． 故选：B． 5．已知二次函数，且，则图像一定经过（    ）象限． A．三、四 B．一、三、四 C．一、二、三、四 D．二、三、四 【答案】A 【解析】解：∵二次函数中，，， ∴二次函数的解析式为，二次函数的开口向下，二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴二次函数的顶点坐标为(0，c)，在y轴负半轴， ∴二次函数的图像 经过三、四象限； 故选：A． 6．在平面直角坐标系中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由图象可知，四条抛物线的顶点为，设抛物线解析式为 ∵抛物线与轴的交点为，∴； ∵抛物线与轴的交点为，∴； ∵抛物线与轴的交点为，∴ ； ∵抛物线与轴的交点为，且，∴； 综上，二次项系数绝对值最小的是． 故选：C． 7．对于二次函数，下列是关于其性质的一些描述：①对称轴为；②顶点纵坐标为7；③该二次函数图像与轴有两个交点；④抛物线开口向上．其中说法错误的为 ． 【解析】解：∵， ∴该二次函数图像的对称轴为，顶点坐标为， 故说法①正确，说法②错误； 令，可得， ∵， ∴该方程无实数根， ∴该二次函数图像与轴有无交点，故说法③错误； ∵， ∴抛物线开口向上，故说法④正确． 综上所述，说法错误的是②③． 故答案为：②③． 8．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 ． 【解析】解：∵ ∵开口向上，对称轴为x=1， ∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大． 故答案为：． 9．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【解析】解： 抛物线的开口向下， ＜， ＜ 故答案为：． 10．若二次函数的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ． 【解析】解：∵， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，4）， ∴顶点到x轴的距离为4， ∵函数图像有三个点到x轴的距离为m， ∴m=4， 故答案为：4． 11．小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①当时，x越小，函数值越小； ②当时，x越大，函数值越小； ③当时，x越小，函数值越大； ④当时，x越大，函数值越大． 其中正确的是 （只填写序号）． 【解析】解：列表， x 1 2 y 3 3 5 描点、连线，图像如下，        根据图像知： ①当时，x越小，函数值越大，错误； ②当时，x越大，函数值越小，正确； ③当时，x越小，函数值越大，正确； ④当时，x越大，函数值越大，正确． 故答案为：②③④． 12．如图，已知二次函数：与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C． (1)写出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)研究二次函数：（）． 写出二次函数与二次函数有关图像的两条相同的性质； 若直线与抛物线交于E、F两点，问线段的长度是否发生变化？如果不会，请求出的长度；如果会，请说明理由． 【解析】（1）抛物线中，、、， ∴对称轴，，且， ∴二次函数的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标； （2）函数：， 当时，有：， 结合，解得，或者， 则二次函数与有关图像的两条相同的性质： 对称轴为或顶点的横坐标为2，都经过，两点； 线段的长度不会发生变化． ∵直线与抛物线交于E、F两点， ∴， ∵， ∴ ，整理，得：， 解得：，， ∴， ∴线段的长度不会发生变化． 题型三 利用二次函数的性质比较大小 1．若点都在二次函数的图像上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图像上，且， ∴， 故选：A． 2．抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是(   ) A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对 【答案】D 【解析】∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图像上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2， ∴|x1|＜|x2|， ∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2<x1≤0或0< -x1<x2或0<x1< -x2, 故选：D． 3．点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图像上．若y1＜y2，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图像上， ∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n， y2=（m-1）2+n， ∵y1＜y2， ∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n， ∴（m-2）2-（m-1）2＜0， 即-2m+3＜0， ∴m＞， 故选：B． 4．已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】解：当时，画出图像如图所示， 根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项C错误，选项D正确； 当时，画出图像如图所示， 根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项A、B都错误； 故选：D 5．已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”） 【解析】解：的对称轴为y轴， ∵， ∴开口向上，当时， y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 6．在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点． 若，，则 （填“”或“”）； 若对于，，，存在，则的取值范围是 ． 【解析】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∵，， ∴， ∴； ∵，，，， ∴， ∵存在， ∴，，且离对称轴最远，离对称轴最近， ∴，即，且， ∵，， ∴且， 解得， 故答案为：；． 7．在平面直角坐标系中，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴； (2)试比较，的大小，并说明理由． 【解析】（1）解：把代入得：，整理得，　 抛物线的对称轴为． （2）解：把、代入抛物线得： ，， ， ． 8．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【解析】（1）解：∵对于，有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； （2）解：∵当，， ∴，， ∵，， ∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； (2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； 【解析】（1）解：∵抛物线经过点，且， ∴将点代入得：， 解得， 则化成顶点式为， 故答案为：2，． （2）解：，理由如下： ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即， 二次函数的对称轴为直线， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 又∵抛物线的开口向上， ∴． 题型四 二次函数的最值 1．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6 【答案】D 【解析】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6）， ∴函数有最小值为6． 故选：D． 2．已知二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值，则a，b的大小关系为（    ） A．a>b B．a<b C．a＝b D．不能确定 【答案】D 【解析】∵二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值， ∴a>0， ∵无论b为何值，此函数均有最小值， ∴a、b大小无法确定． 故答案为：D． 3．已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】解：∵二次函数y=2x2−4x−1=2(x−1)2−3， ∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，−3）， ∵1>0，开口向上， ∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大， ∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15， ∴当x=a时，y=15， ∴2(a−1)2−3=15， 解得：a=4或a=−2（舍去）， 故a的值为4． 故选：D． 4．定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：B． 5．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 6．二次函数的最大值是 ． 【解析】解：利用配方法，将一般式化成顶点式： 二次函数开口向下， 顶点处取最大值， 即当时，最大值为． 故答案为：． 7．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝ ． 【解析】∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝(x﹣2)2+1， ∴该函数开口向上，对称轴为x＝2， ∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m， ∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10， 故答案为：10． 8．已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ． 【解析】解：， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 若，当时，y随x的增大而减小， 此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意， 若，当时，函数值y最小，最小值为1， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，a的值为． 故答案为：． 9．学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 【解析】解：（1）①的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ②的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ③的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； 故答案为：①③． （2）函数 的对称轴是直线； 故答案为：直线． （3）当时，函数 有最小值 （4）∵，，． ∴ ∴当时，的最小值为． 10．课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【解析】解：（1）①把代入，得： ； ∴； ②∵， ∴当时，有最小值为； （2）∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）正确； ∵， ∴当时，有最小值为， 即：， ∴当时，有最大值，为． 题型五 二次函数的图像与系数之间的关系 1．已知，二次函数的图像如图所示，则点所在的象限是（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】解：由图可知二次函数的图像开口向上，对称轴在y轴右侧， ，， ， 在第四象限， 故选：D． 2．已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 【答案】D 【解析】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图像如图所示，对称轴为，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1<y2；③10b-3c=0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：∵对称轴， ∴b=-3a， ∴3a+b=0，①正确； ∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离小于点（3，y2）的距离， ∴y1<y2，故②正确； ∵经过点（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴3c=4b， ∴4b-3c=0，故③错误； ∵对称轴， ∴点（0，c）的对称点为（3，c）， ∵开口向上， ∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确； 故选：C． 4．函数的图像是由函数的图像轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是_________. ① ；②；    ③；④将图像向上平移1个单位后与直线有3个交点． 【解析】解：由函数图像可得：与x轴交点的横坐标为－1和3， ∴对称轴为，即， ∴整理得：，故①正确； ∵与y轴的交点坐标为（0，3）， 可知，开口向上，图中函数图像是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成， ∴c＝-3，故②错误； ∵中a＞0，， ∴b＜0， 又∵c＝-3＜0， ∴，故③正确； 设抛物线的解析式为， 代入（0，3）得：， 解得：a＝－1， ∴， ∴顶点坐标为（1，4）， ∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5）， ∴将图像向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确； 故答案为：①③④． 5．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为(2，0)． (1)抛物线与轴的另一个交点坐标为 ； (2)双曲线分居在第 象限，直线不经过第 象限； (3)有以下的说法：①；②；③；④若(0，)，(1，)是抛物线上的两点，则．上述说法中，正确的有 ．(填序号) 【解析】（1）解：∵该抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为(2，0)． ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为（－1，0）， 故答案为：（－1，0）； （2）解：∵该抛物线的开口向下，与y轴的正半轴相交，对称轴为直线在y轴右侧， ∴a＜0，b＞0，c＞0， ∴双曲线分居在第 二、四象限，直线经过第 一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：二、四；四； （3）解：①∵a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴a=－b，即a+b=0，故②正确； ③∵图像经过点（2，0）， ∴当x=2时，y=4a+2b+c=0，故③错误； ④∵对称轴为直线， ∴(0，)关于直线对称的点的坐标为(1，)， ∴，故④正确， 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 6．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点左侧， 而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点右侧， ∴当时， ， ∴，所以②错误； ∵时，二次函数有最大值， ∴m为任意实数时， ， ∴，即，所以③正确； ∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3， ∴时，一次函数值比二次函数值大， 即， 而， ∴，解得，所以④正确． 故答案为：①③④． 7．已知抛物线的图像如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【解析】（1）解：抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴右侧， 、异号， ， 抛物线与y轴负半轴相交， ， 当时，， ； （2）解：由函数的图像可知，当时，， ； （3）解：由（1）可知，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，②结论错误； 当时，， 当时，， ， ， ，③结论正确； 故答案为：①③． 题型六 二次函数图像的平移 1．抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：抛物线经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=1，不可能是经过平移得到， 故选：D． 2．将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 3．把函数的图像，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图像（　） A．向左平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向上平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】C 【解析】抛物线的顶点坐标是，抛物线线的顶点坐标是， 所以将顶点向右平移个单位，再向上平移个单位得到顶点， 即将函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像． 故选：C． 4．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：若将轴向上平移2个单位长度， 相当于将函数图像向下平移2个单位长度， 将轴向左平移3个单位长度， 相当于将函数图像向右平移3个单位长度， 则平移以后的函数解析式为： 化简得：， 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】解：过点C作CA⊥y轴于点A， 根据抛物线的对称性得：OBD的面积等于CAO的面积， ∴阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积． ∵， ∴顶点坐标为C（2，－2）． ∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4． 故选：B． 6．已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（      ） A．5 B． C．5或1 D．或 【答案】C 【解析】解：比较抛物线与抛物线， 发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式， ∵与轴的一个交点是，与轴有两个交点，， ∴当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=1， 当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=5， 故选：C． 7．小嘉说：将二次函数的图像平移或翻折后经过点有4种方法： ①向右平移2个单位长度     ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度     ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 你认为小嘉说的方法中正确的个数有 个． 【解析】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； ④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意； 综上所述：正确的个数为4个； 故答案为：4． 8．已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是 ． 【解析】解：函数向右平移3个单位，得：； 再向上平移1个单位，得：+1， ∵得到的抛物线正好经过坐标原点 ∴+1即 解得：或 ∵抛物线的对称轴在轴右侧 ∴＞0 ∴＜0 ∴ 故答案为：． 9．已知二次函数的图像经过点，顶点为将该图像向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为 ． 【解析】设原来的抛物线解析式为： ， 把代入，得， 解得， 故原来的抛物线解析式是：， 设平移后的抛物线解析式为：， 把代入，得， 解得(舍去)或， 所以平移后抛物线的解析式是：， 故答案是：． 10．把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线． （1）直接写出抛物线的函数关系式； （2）动点能否在拋物线上？请说明理由； （3）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由． 【解析】（1）抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为(﹣1，2)， 根据题意，抛物线的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，﹣3)， ∴抛物线的函数关系式为：；              （2）动点P不在抛物线上．                          理由如下： ∵抛物线的顶点为，开口向上， ∴抛物线的最低点的纵坐标为．             ∵， ∴动点P不在抛物线上；                       （3）． 理由如下： 由（1）知抛物线的对称轴是，且开口向上， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小．                             ∵点都在抛物线上，且， ∴． 题型七 双图像问题 1．已知反比例函数 y＝的图像如图所示，则二次函数 y =ax 2－2x和一次函数 y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（      ） A．   B．  C．  D．   【答案】C 【解析】解：∵当x=0时，y=ax2-2x=0，即抛物线y=ax2-2x经过原点，故A错误； ∵反比例函数y=的图像在第一、三象限， ∴ab＞0，即a、b同号， 当a＜0时，抛物线y=ax2-2x的对称轴x=＜0，对称轴在y轴左边，故D错误； 当a＞0时，b＞0，直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误； C正确． 故选：C． 2．在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图像可能是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】解：A、由一次函数图像可知，a＞0，b＞0，由二次函数图像可知，a＞0，b＜0，不符合题意； B、由一次函数图像可知，a＞0，b＜0，由二次函数图像可知，a＜0，b＜0，不符合题意； C、由一次函数图像可知，a＞0，b＜0，由二次函数图像可知，a＞0，b＜0，符合题意； D、由一次函数图像可知，a＜0，b=0，由二次函数图像可知，a＞0，b＜0，不符合题意； 故选：C． 3．函数与的图像如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由函数图像可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 4．一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图像如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． 5．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为 ． 【解析】解：∵抛物线与直线相交于点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 6． 如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图像相交于，，三点．则不等式的解是 ． 【解析】解：不等式 可以转化为不等式， 根据函数图像可知不等式的解集为：或， 故答案为：或． 7．将抛物线的图像位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图像，若直线与此图像有四个交点；求的取值范围． 【解析】解：根据题意，画出新图像如图所示： 直线与抛物线有一个交点时：方程有一个实数根， 整理方程得：， ， 解得：； 由解得：，， ∴ 当直线经过点时，得， ∴m的取值范围是：． 8．如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 【解析】解：， 当，， 定点M的坐标为， 把代入直线中， 即， 解得：， 直线MN的解析式为：． 题型八 二次函数图像与几何的综合应用 1．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：连接，交y轴于点D，如图所示：    当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选：B． 2．如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图像与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3， 当抛物线经过（3，1）时，a=， 观察图像可知≤a≤3， 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为 ．    【解析】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC，AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为：1． 4．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      【解析】解：， ∴对称轴为， 如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，    当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 在y轴上取点，连接，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 当E、C、F三点共线时，最小， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴当最小时，C的坐标为， 故答案为：． 5．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P是抛物线在第四象限图像上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为______． 【解析】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：令，则，解得：，， ∴点B的坐标为， ∴， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交于点D， 设点P的坐标为，则点D的坐标为， ∴， ∴， ∴最大为， ∴． 6．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与y轴的交点坐标为，图像的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．    (1)求c的值及顶点M的坐标， (2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图像交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）∵二次函数的图像与y轴的交点坐标为， ∴，                                         ∴， ∴顶点M的坐标是． （2）①∵A在x轴上，B的坐标为， ∴点A的坐标是． 当时，，的坐标分别是，． 当时，，即点Q的纵坐标是2， 当时，，即点P的纵坐标是1． ∵， ∴点G的纵坐标是1，                         ∴．                             ②存在．理由如下： ∵的面积为1，， ∴． 根据题意，得P，Q的坐标分别是，． 如图1，当点G在点Q的上方时，， 此时（在的范围内），              如图2，当点G在点Q的下方时，， 此时（在的范围内）．             ∴或． 1．二次函数 的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：二次函数的图像开口向下，对称轴是，顶点坐标为， 故选：B． 2．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图像的对称轴在轴的右侧 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像与轴的交点坐标为和 D．的最小值为－9 【答案】D 【解析】∵ ∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y轴的左侧，故选项A错误； 令x=0，则y=-8，所以图像与轴的交点坐标为，故选项B错误； 令y=0，则，解得x1=2，x2=-4，图像与轴的交点坐标为和，故选项C错误； ∵，a=1＞0，所以函数有最小值-9，故选项D正确． 故选：D． 3．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 4．将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（    ） A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】D 【解析】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 而点向左平移2个，再向下平移3个单位可得到， 所以抛物线向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x2+2x+3． 故选：D． 5．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【解析】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 6．如图，二次函数与的图像与过且平行于轴的直线分别交于两点和两点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意：， 解得：， ， ， 根据题意得：， 解得：， ， ， 故选：A． 7．在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致如图所示，则函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵一次函数的图像经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图像位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 8．二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：∵二次函数图像开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时， 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即故④不正确 正确的有②③ 故选：B 9．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 10．已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点， ，两个函数的对称轴均为直线， 即， 解得：，故①正确； ②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， ， 由函数的对称性可知， 在和中， ， ， ，故正确②； ③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为， 由①可知两个函数的解析式分别为，， ，， ， 点， ， ， 由 ， 此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确； ④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为， 点的横坐标为， ，点的横坐标为， ，， ，， 周长的最小值为，故正确④； 故选：D． 11．二次函数的最大值是 ． 【解析】解：， 即二次函数的最大值是7， 故答案为：7． 12．将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是 ． 【解析】解：将抛物线向上平移3个单位长度后， 表达式为：， ∵经过点，代入， 得：， 则==2×311=5. 故答案为：5. 13．已知二次函数的图像向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 【解析】解：， ∵二次函数的图像向左平移两个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．    【解析】解：∵抛物线与x轴相交于点、点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，，即， ∵轴， ∴，关于直线对称， ∴， ∴； 故答案为：4． 15．在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【解析】解：∵， ∴抛物线的顶点为（1，2）， 将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2）， 旋转后的抛物线为， 再向下平移5个单位，即． ∴新抛物线的顶点（1，3） 故答案是：（1，3）． 16．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有__________. ① ②该抛物线与轴的另一个交点坐标是 ③若点和在该抛物线上，则 ④对任意实数，不等式总成立 【解析】解：将代入，可得，由图像可知，此时图像在轴上方，故，故选项①正确； 对称轴是直线， 故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故选项②错误； 时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故选项③正确； 时，函数有最大值，故，即不等式总成立，故选项④正确； 故答案为：①③④． 17．已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ． 【解析】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵分别位于抛物线对称轴的两侧， 假设点在对称轴的右侧，则，解得， ∴ ∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧， ∴ 解得： 又∵， ∴ ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 18．在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是 ． 【解析】解：抛物线的对称轴为：，当时，，故抛物线与轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式， 当时，且抛物线过点时， ，解得（舍去）， 当，抛物线与线段只有一个公共点时， 即顶点在直线CD上，则，解得， 当时，且抛物线过点时， ，解得， 当抛物线过点时， 解得，m=-1 由抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段只有一个公共点， ， 综上所述，的取值范围为或， 故答案为或． 19．关于抛物线（是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）． ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． 【解析】解：当时，，此时抛物线的对称轴是轴，故①正确； ∵此抛物线与轴只有一个公共点， ∴方程的有两个相等的实数根， ∴， 解得：，故②错误； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大， ∵点，在抛物线上，且， ∴，故③错误； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标在直线上， 如图，过点A作直线于点B，则点，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即抛物线的顶点到直线的距离都等于，故④正确． 故答案为：①④ 20．定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图像的对称轴是轴；②当时，函数图像过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是 ． 【解析】解：当时， 把代入，可得特征数为 ∴，，， ∴函数解析式为，函数图像的对称轴是轴，故①正确； 当时， 把代入，可得特征数为 ∴，，， ∴函数解析式为， 当时，，函数图像过原点，故②正确； 函数 当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确； 当时，函数图像开口向下， 对称轴为： ∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误； 综上所述，正确的是①②③， 故答案是：①②③． 21．二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上． (1)的值为 ___________； (2)在坐标系中画出平移后的图像并求出与的交点坐标； (3)点在新的函数图像上，且两点均在对称轴的同一侧，若则 _______ （填“”或“”或“”） 【解析】（1）解：当时，， ∴． （2）平移后的图像如图所示： 由题意得：， 解得， 当时，，则交点坐标为：， 当时，，则交点坐标为：， 综上所述：与的交点坐标分别为和． （3）由平移后的二次函数可得：对称轴，， ∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大， ∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则， 当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则， 综上所述：点在新函数图像上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若，则或， 故答案为：或． 22．在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 【解析】（1）解：把代入得，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线； 当时，和都在对称轴右侧， 此时y随x的增大而增大， ∵， ∴ 如图，此时， ∴， 又∵， ∴； 当时，在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∴点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 如图，此时， 解得， 又∵， ∴； 综上，当或，都有． 23．如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧． (1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【解析】（1）， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4， 把代入中得： ， 解得：或， ∵点在C的对称轴右侧， ∴； （2）∵， ∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到， 平移距离为， ∴移动的最短路程为5． 24．小明为了探究函数的性质，他想先画出它的图像，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 0 1 0 0 1 0 a … (1)①列出y与x的几组对应值如表，表格中，______； ②结合上表，在如图所示的平面直角坐标系中，画出当时函数M的图像； ③观察图像，当______时，y有最大值为______． (2)若关于x的方程有4个实数根，则a的取值范围是______． (3)已知，两点在函数M的图像上，当时，请直接写出m的取值范围． 【解析】（1）解：①把代入得：， ∴， 故答案为：； ②画出当时，函数M的图像如下： ③观察图像，当或2时，y有最大值为1； 故答案为：或2；1； （2）解：由题意，如图， ∵关于x的方程有4个实数根， ∴函数与有四个交点． ∴． 故答案为：； （3）解：∵，两点在函数M的图像上，且， ∴m的取值范围：或． 25．如图，二次函数是初中数学的重要内容，它的图像是抛物线，具有许多独特的性质，下面围绕二次函数的性质展开学习． 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点． 【探究】（1）求的值及抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过点，求当取何值时，函数有最值，并写出此时的值； 【深入探究】（3）在（）的条件下，若抛物线交轴于，两点（点位于点左边），连接，过点作直线于点，交轴于点，交抛物线于点，求交点的坐标； 【拓广探索】（4）在（）的条件下，设直线对应的函数为，二次函数为，若，观察图像，请直接写出的取值范围__________． 【解析】解：（）∵二次函数的图像与轴交于点， ∴，抛物线对称轴为直线； （）由（）得，， ∴二次函数解析式为， ∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，有最小值，； （）由（）得：二次函数解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得：或， ∴交点的坐标为； （）由（）得，， 即与的交点坐标为，， ∵， ∴观察图像可得出的取值范围是， 故答案为：． 26．已知抛物线 （1）通过配方可以将其化成顶点式为__________，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图像的特征，可以判断，当顶点在x轴__________（填上方或下方），即__________0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点； （2）若抛物线上存在两点，，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图像辅助说明，可自己画出简单示意图） （3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当，时，． 【解析】解：（1）通过配方可得：， ∵a＞0，抛物线开口向上， ∴当顶点在x轴下方时，即＜0时，该抛物线与x轴必有两个交点； 故答案是：，下方， ＜； （2）若设且不等于顶点横坐标，则A，B两点位置可能有以下三种情况： ①当A，B都在对称轴左侧时，由于在对称轴左侧，抛物线开口向上，函数值随x的增大而减小，所以点A在x轴上方，点B在x轴下方，顶点M在点B下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．如图1所示 ②当A，B都在对称轴右侧时，由于在对称轴右侧，抛物线开口向上，函数值随x的增大而增大，所以点B在x轴上方，点A在x轴下方，顶点M在点A下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．如图2所示 ③当A，B在对称轴两侧时，由于A，B分布在x轴两侧，所以不管A，B哪个点在x轴下方，都可以根据抛物线的对称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上，同①或②，可以说明抛物线顶点必在x轴下方．如图3所示 （3）证明：令， 当时，；当时，，而 ∴ ∴上存在两点，分别位于x轴两侧 ∴由（1）（2）可知，顶点在x轴下方， 即， 又∵， ∴， 即：． 27．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）．    (1)求A点的坐标； (2)如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值； (3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围． 【解析】（1）解：对于直线， 当时，， ∴A点的坐标为； （2）解：联立直线与抛物线得： ， ， 或， ，， 点关于轴的对称点为点， ， ， ， ， 若，则，即，所以， 若，则，即，所以， 若，则，即，此方程无解． 或； （3）解：如图，直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上， ，，， ， 格点数恰好是26个， 落在轴和直线上的格点数应各为13个， 落在轴的格点应满足，即， ①若，即， 所以线段上的格点应该为，，，， ②若，，，所以线段上的格点正好13个， 综上，或． 28．已知抛物线与x轴有公共点． (1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围； (2)将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值； (3)D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形． 【解析】（1）解：∵抛物线与x轴有公共点， ∴ ∴∴． ∴， ∴， ∵， ∴当时，y随着x的增大而增大． （2）解：由题意，得， 当y＝0时，， 解得：或， ∵点A在点B的右侧， ∴点A的坐标为（1+n，0），点B的坐标为（－3+n，0）． ∵点C的坐标为（0，－n2 +2n+3）， ∴n+1＝－n2+2n+3． 解得：n＝2或n＝－1（舍去）． 故n的值为2. （3）解：由（2）可知：抛物线C2的解析式为y＝－（x－1）2+4． ∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（－1，0） 点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4）， 抛物线C2的对称轴是直线x＝1， ∵点E与点C关于直线x＝1对称， ∴点E的坐标为（2，3）． ∴点G的坐标为（1，3）． 设直线BE解析式为y＝kx+b， ∴ 解得： ∴y＝x+1． 当x＝1时，y＝1+1＝2．点F的坐标为（1，2）． ∴FG＝EG＝DG＝CG＝1． ∴四边形CDEF为矩形． 又∵CE⊥DF， ∴四边形CDEF为正方形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$