第二十九章 直线与圆的位置关系（单元测试）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（冀教版）

第二十九章 直线与圆的位置关系（单元测试） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在所在平面内有一点，若，半径为，则点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断 2．已知的半径为，若直线与圆心的距离为，则直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交 3．直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．命题：直角三角形的一条直角边与以另一条直角边为直径的圆相切．符合该命题的图形是(　　) A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径外端的直线是圆的切线 6．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 7．如图，为外一点，，分别切于，两点，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 8．一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 9．已知的直径为，若直线l与只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．平面上有及内一点，到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 12．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移   cm时与⊙O相切． 13．下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是 ． 14．如图，是的切线，为切点，连接．若，则= ． 15．若正多边形的一个中心角为，则这个正多边形的一个内角等于 °． 16．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,O是AB上一点, ⊙O与BC相切于点E,交AB于点F,连接AE,若AF=2BF,则∠CAE的度数是 . 三、解答题 17．如图，OA，OB为⊙O的半径，AC为⊙O的切线，连接AB．若∠B=25°，求∠BAC的度数． 18．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 19．如图，，分别切、于点、．切于点，交于点与不重合）． （1）用直尺和圆规作出；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若半径为1，，求的长． 20．如图，直线AB过点A，且与y轴交于点B． （1）求直线AB的解析式； （2）若点P是直线AB上一点，且的半径为1，请直接写出与坐标轴相切时点P的坐标． 21．如图，是的直径，点是线段的中点，． (1)求证：； (2)求证：是的切线． 22．如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 23．如图，点是∆ABC的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)求证：． 24．如图，是∆ABC的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 25．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十九章 直线与圆的位置关系（单元测试） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在所在平面内有一点，若，半径为，则点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与圆的半径进行判定，掌握点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．根据题意，点到圆心的距离与圆的半径，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在园内；由此即可求解． 【详解】解：设点到圆心的距离为，圆的半径为， ∴， ∵， ∴点在外， 故选：B ． 2．已知的半径为，若直线与圆心的距离为，则直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：根据题意，得 的半径为，若直线与圆心的距离为， 直线和圆相交； 故选：D． 3．直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交． 【详解】解：∵直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5， ∴， ∵， ∴A、B、C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 4．命题：直角三角形的一条直角边与以另一条直角边为直径的圆相切．符合该命题的图形是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形即可． 【详解】解：由题意画出图形可得：， 故选C． 【点睛】此题考查命题与定理，关键是根据题意画出图形解答． 5．下列说法正确的是（    ） A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径外端的直线是圆的切线 【答案】B 【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可判定C、D错误；由切线的定义：到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，可判定A错误，B正确．注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线，故本选项错误； B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确； C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误； D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】此题考查了切线的判定．此题难度不大，注意掌握切线的判定定理与切线的定义是解此题的关键． 6．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 【答案】A 【分析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判定直线与相切，符合题意； B、由，得到，且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； C、点O到直线的距离是5，等于半径，能判定直线与相切，不符合题意； D、且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定；熟练掌握切线的判定是解题的关键． 7．如图，为外一点，，分别切于，两点，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理，直接根据切线长定理，即可得出结果． 【详解】∵为外一点，，分别切于，两点， ∴， 故选B． 8．一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形中心角．熟练掌握中心角的计算公式是解题的关键． 根据正n边形的中心角的度数为，进行计算即可得到答案． 【详解】解：设正多边形的边数为n， 则有， 解得， 是所列方程的解，且符合题意， ∴该正多边形的边数为6． 故选：A． 9．已知的直径为，若直线l与只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．熟练掌握直线与圆只有一个交点，则直线与圆相切，圆心到这条直线的距离为半径长是解题的关键． 根据直线与圆只有一个交点，则直线与圆相切，圆心到这条直线的距离为半径长求解作答即可． 【详解】解：由直线与圆的位置关系，可知直线l与相切， ∴圆心O到这条直线的距离为， 故选：B． 10．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求得，然后根据阴影部分的面积计算即可求解． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故选：C． 【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 二、填空题 11．平面上有及内一点，到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了圆的基础知识，根据距离最长可得点是在圆的直径上的点，由此作图分析即可求解． 【详解】解：根据直径是圆中最长线段，作图如下， ∴， ∴圆的半径为， 故答案为：7 ． 12．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移   cm时与⊙O相切． 【答案】2 【详解】∵直线和圆相切时，OH=5， 又∵在直角三角形OHA中，HA=AB÷2 =4，OA=5， ∴OH=3． ∴需要平移5-3=2cm． 故答案是：2． 【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，则应满足d=R． 13．下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是 ． 【答案】②③④① 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角确定圆的一条直径，然后根据圆的一条切线与切点所在的直径垂直，进行求解即可． 【详解】解：第一步：先根据直径所对的圆周角是直角，确定圆的一条直径与圆的交点，即图②， 第二步：画出圆的一条直径，即画图③； 第三边：根据切线的判定可知，圆的一条切线与切点所在的直径垂直，确定切点的位置从而画出切线，即先图④再图①， 故答案为：②③④①． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，熟知相关知识是解题的关键． 14．如图，是的切线，为切点，连接．若，则= ． 【答案】65° 【分析】根据切线长定理即可得出AB=AC，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论． 【详解】解：∵是的切线， ∴AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠A）=65° 故答案为：65°． 【点睛】此题考查的是切线长定理和等腰三角形的性质，掌握切线长定理和等边对等角是解决此题的关键． 15．若正多边形的一个中心角为，则这个正多边形的一个内角等于 °． 【答案】 【分析】 本题考查正多边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，根据题意，题中正多边形的中心与一条边的两个端点相连，构成等边三角形，从而一个内角由两个角构成，即可得到答案，熟练掌握正多边形的性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由正多边形的性质可知，题中正多边形的中心与一条边的两个端点相连，构成等边三角形， 这个正多边形的一个内角等于， 故答案为：． 16．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,O是AB上一点, ⊙O与BC相切于点E,交AB于点F,连接AE,若AF=2BF,则∠CAE的度数是 . 【答案】30° 【详解】【分析】连接OE,EF 利用切线性质得∠OEB=90〫，再证，AC∥OE.,得∠CAE=∠AEO，根据直角三角形性质，由AF=2BF=2OF,得EF=OF=OE, 得∠OEF=60〫，所以，∠OEF=60〫, 所以∠AEO=90〫-∠OEF=30〫. 所以，OF=BF, 【详解】连接OE,EF 因为，⊙O与BC相切于点E, 所以，∠OEB=90〫，又∠C=90°， 所以，AC∥OE., 所以∠CAE=∠AEO， 因为，AF=2BF=2OF, 所以，OF=BF, 所以，EF=OF=OE, 所以，三角形OEF是等边三角形, 所以，∠OEF=60〫, 所以，∠AEO=90〫-∠OEF=30〫 所以，∠CAE=∠AEO=30〫 故答案为30〫 【点睛】本题考核知识点：切线性质，平行线性质，直角三角形性质,等边三角形判定. 解题关键点：证出三角形OEF是等边三角形. 三、解答题 17．如图，OA，OB为⊙O的半径，AC为⊙O的切线，连接AB．若∠B=25°，求∠BAC的度数． 【答案】65°． 【分析】根据切线的性质得到∠OAC=90°，再根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠B=25°，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵AC为⊙O的切线， ∴∠OAC=90°． ∵OA=OB，∠B=25°， ∴∠OAB=∠B=25°． ∴∠BAC=∠OAC-∠OAB =90°-25° =65°． 【点睛】本题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用． 18．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】(1)点在内，点在外，点在上 (2) 【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解； （2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解． 【详解】（1）解：连接， ，， ， 的半径为8， 点在内，点在外，点在上； （2）解：，，， 又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 19．如图，，分别切、于点、．切于点，交于点与不重合）． （1）用直尺和圆规作出；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若半径为1，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）以A为圆心，为半径画弧交于，作直线交于点，直线即为所求． （2）设，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，直线即为所求． （2）连接，． 是的内切圆，，，是切点， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，设， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查作图复杂作图，切线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20．如图，直线AB过点A，且与y轴交于点B． （1）求直线AB的解析式； （2）若点P是直线AB上一点，且的半径为1，请直接写出与坐标轴相切时点P的坐标． 【答案】（1）y=2x+3；（2）（1,5）；（－1,1）；（－2，－1）． 【详解】试题分析：（1）首先设出直线的解析式，然后利用待定系数法进行求解；（2）根据直线与圆的位置关系，分情况进行讨论，求出点P的坐标． 试题解析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将（0,3）（－3，－3）代入得：k=2，b=3 ∴直线AB的解析式为：y=2x+3 （2）当x=1时，y=5；当x=－1时，y=1；当y=1时，x=－1；当y=－1时，x=－2． ∴点P的坐标为（1,5）；（－1,1）；（－2，－1）． 考点：一次函数、圆与直线的位置关系． 21．如图，是的直径，点是线段的中点，． (1)求证：； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）利用等腰三角形的“三线合一”性质得，，则，然后由判定方法即可求证； （）利用等腰三角形的“三线合一”性质得，又是的直径，从而求证； 本题考查了切线的判定，全等三角形的判定，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵点是线段的中点，， ∴，， ∴， 在和， ， ∴； （2）证明：∵点是线段的中点，， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线． 22．如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 23．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的性质得，再利用圆内接四边形的性质得，则，从而得到，则可判断； （2）根据三角形内心的性质得，然后证明得到． 【详解】（1）证明：∵点是的内心， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵点是的内心， ∴， ∵， 即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、三角形的外心、圆周角定理、圆内接四边形等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．注意数形结合思想的应用． 24．如图，是的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】 （1）连接，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得； （2）连接，由题意可得，即可证，可得，则可证是的切线； （3）过点作于点，由角平分线的性质可得，可证可得，根据勾股定理可求的半径长． 【详解】（1） 证明：连接 ， ，， 四边形是圆内接四边形， ，且， ； （2） 证明：连接 为直径， ， 又， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （3） 解：过点作于点， 又，， ， 在和中， (AAS)， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得，， 的半径的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【答案】(1)，； (2) (3)或或5 【分析】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分三种情况：①当时，②当时，③当时分类讨论即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； （2）连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式 （3）解：设， ，， 解得：，， ， ①当时，连接 ，， ， ， ， ， ， ， 点E和点P横坐标相同, ， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， ③当时，如图： ， 即， ， ， 综上所述：得长度为或或5． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$