2.5 第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(北师大版)

5 一元一次不等式与一次函数 第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系 课题 第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P50-51 教学目标 1、理解一次函数图象与一元一次不等式的关系。 2、能够用图像法解一元一次不等式。 3、理解两种方法的关系，会选择适当的方法解一元一次不等式。 教学重难点 重点：理解一次函数图象与一元一次不等式的关系，能够用图像法解一元一次不等式。 难点：根据题意列函数表达式，并能把函数表达式与一元一次不等式联系起来解决问题。 教学准备 教师准备：多媒体课件；学生准备：直尺或三角板、铅笔、坐标纸 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师提问：完成下列问题： 1．写出一个一元一次方程，并求出它的解。 2．写出一个一元一次不等式，并求出它的解集。 3．写出一个一次函数，并画出它的图象。 教师追问：我们学习了一元一次不等式的定义和解法，无论是定义和解法都雷同于一元一次方程，那么不等式与方程或一次函数之间是否存在某种内在的联系呢？ 这就是我们今天所要研究的内容——一元一次不等式与一次函数的关系。（板书课题：第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系） 利用问题串让学生回顾一次函数的知识，激发了学生学习兴趣，加强与旧知识的联系，体现自主学习的意识，为一元一次不等式与一次函数的学习作铺垫。 2.实践探究，学习新知 【探究1】探究一元一次不等式与一次函数的关系 问题1：作出函数y=2x－5的图象. 问题2：观察图象回答下列问题. （1）x取哪些值时，2x－5=0? （2）x取哪些值时，2x－5＜0? （3）x取哪些值时，2x－5＞0? （4）x取哪些值时，2x－5＞3? 教师点拨：（1）对应一次函数的函数值为0时x的取值，在图象中表示为图象与x轴交点的横坐标. （2）对应一次函数的函数值>0时x的取值范围.在图象中表示为x轴上方的部分所对应的自变量取值范围. （3）对应一次函数的函数值<0时x的取值范围.在图象中表示为x轴下方的部分所对应的自变量取值范围. （4）对应一次函数的函数值>1时x的取值范围.在图象中表示为直线y=1上方的部分所对应的自变量取值范围. 解：（1）当y=0时，2x－5=0。 ∴x=,∴当x=时，2x－5=0。 （2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y=0时，则有2x－5=0，解得x=.当x＞时，由y=2x－5可知y＞0。因此当x＞时，2x－5＞0； （3）同理可知，当x＜时，有2x－5＜0； （4）要使2x－5＞3，也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－5＞3。 教师追问：想一想：如果y=－2x－5，那么当x取何值时，y＜0?当x取何值时，y＜1?你是怎样求解的？与同伴交流. 学生归纳：方法一：转化为解不等式； 方法二：利用函数图象求解. 【归纳总结】 任何一元一次不等式都可以化为或(a、b为常数且a≠0)的形式，所以解一元一次不等式，可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围；或者看作：当一次函数图象在x轴上(下)方时，求自变量的取值范围． 【探究2】一元一次不等式与一次函数的实际应用 做一做 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题： （1）何时哥哥追上弟弟？ （2）何时弟弟跑在哥哥前面？ （3）何时哥哥跑在弟弟前面？ （4）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？ 你是怎样求解的？与同伴交流. 教师点拨：在回答第（3）题时，过y轴上20这一点作x轴的平行线，它与y1=4x,y2=3x+9分别有两个交点，每一交点都对应一个x值，哪个x的值小，说明用的时间就短.同理可知谁先跑过100 m. 教师点拨： 其他方法：也可用列方程找到哥哥追上弟弟的时间，也可直接解不等式解决问题。 解:设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得 y1=4x,y2=3x+9. 函数图象如图： 从图象上来看： （1）9s时哥哥追上弟弟 （2）当0＜x＜9时，弟弟跑在哥哥前面； （3）当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面； （4）弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m. 【归纳总结】 1.一元一次不等式kx+b>0（kx+b<0）与一次函数y=kx+b（k≠0）的关系. （1）kx+b>0的解集表示直线y=kx+b在x轴上方的部分所对应的自变量取值范围. （2）kx+b<0的解集表示直线y=kx+b在x轴下方的部分所对应的自变量取值范围. 2.一元一次不等式kx+b>a（kx+b<a）与一次函数y=kx+b（k≠0）的关系. （1）kx+b>a的解集表示直线y=kx+b在直线y=a上方的部分所对应的自变量取值范围. （2）kx+b<a的解集表示直线y=kx+b在直线y=a下方的部分所对应的自变量取值范围. 通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解一次函数的有关知识，让学生从整体上感受利用一次函数图象可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题. 进一步让学生体会不等式与一次函数的联系和在解决实际问题时的作用，领悟函数思想和数形结合思想的同时培养学生的应用意识. 3.学以致用，应用新知 考点 一元一次不等式与一次函数的关系 例 如图，直线经过点（2，0），则关于x的不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 答案：D 变式训练 已知函数y1＝－2x与y2＝x＋b的图像相交于点A（－1，2），则关于x的不等式－2x＞x＋b的解集是_____． 答案：x<1 通过例题讲解，巩固理解一元一次不等式与一次函数的关系，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用一元一次不等式与一次函数的关系解决问题。 4.随堂训练，巩固新知 1.在直角坐标平面内，一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A．当x＜0时，﹣2＜y＜0 B．方程ax+b＝0的解是x＝﹣2 C．当y＞﹣2时，x＞0 D．不等式ax+b＜0的解集是x＜0 答案：C 2.如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（ ） A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1 答案：B 3.已知一次函数y1＝k1x＋b1与一次函数y2＝k2x＋b2中，函数y1、y2与自变量x的部分对应值分别如表所示： x … 0 1 … y1 … 3 4 … x … 0 1 … y2 … 5 4 … 则当y1＞y2时，x的取值范围是（ ） A．x<0 B．x>0 C．0<x<1 D．x>1 答案：D 4.已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积． （3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围． 解：（1）解方程组，得， 所以点A坐标为（1，﹣3）； （2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2， 则B点坐标为（﹣2，0）； 当y2＝0时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）； ∴BC＝4﹣（﹣2）＝6， ∴△ABC的面积＝×6×3＝9； （3）根据图象可知，y1≥y2时x的取值范围是x≤1． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 1.一元一次不等式kx+b>0（kx+b<0）与一次函数y=kx+b（k≠0）的关系. （1）kx+b>0的解集表示直线y=kx+b在x轴上方的部分所对应的自变量取值范围. （2）kx+b<0的解集表示直线y=kx+b在x轴下方的部分所对应的自变量取值范围. 2.一元一次不等式kx+b>a（kx+b<a）与一次函数y=kx+b（k≠0）的关系. （1）kx+b>a的解集表示直线y=kx+b在直线y=a上方的部分所对应的自变量取值范围. （2）kx+b<a的解集表示直线y=kx+b在直线y=a下方的部分所对应的自变量取值范围. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P51习题2.6中的T1—T4. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系 一元一次不等式与一次函数的关系 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 1.本节课的教学过程中应注意引导学生初步体会从整体中把握部分的思维方法，渗透函数、方程、不等式思想和数形结合等重要的数学思想。 2.教学过程中要为学生提供展示自己的平台，教师要善于发现学生分析问题解决问题的独到见解和策略的多样性，以及思维的误区，及时给予激励性评价，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。 3、注意改进的方面： 在小组学习过程中，应给学生充分的独立思考的时间，交流时注意每个学生都要发言。教师参与小组讨论，适时指导，使小组合作学习更具实效性。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$