2.2 不等式的基本性质-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步教案(北师大版)

2 不等式的基本性质 课题 2 不等式的基本性质 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P40-42 教学目标 1.经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同. 2 .掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质把比较简单的不等式转化为“x >a”或“x <a”的形式. 教学重难点 重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地应用基本性质解决简单的问题。 难点：能灵活地应用不等式的基本性质进行不等式的化简。 教学准备 课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1. 创设情景，导入新课 展示下面的脑筋急转弯： 脑筋急转弯：“有两对父子，为什么只有3个人呢？” 答案：祖父孙三人,祖与父、父与孙两两分别为父子,所以看似两对父子,其实只有三人。 教师提问：假设爷爷今年70岁了，爸爸今年40岁了，用不等关系表示爷爷与爸爸年龄的数量关系。 问题1：5年后，怎么表示？30年前呢？若干年前呢？比如m年前呢？ 问题2：观察所得的不等式，不等式的两边发生了什么变化？不等号的方向呢？ 问题3：通过以上的几个不等式，大家发现了什么规律?（板书课题：2 不等式的基本性质） 设置脑筋急转弯，极大程度上调动了学生的学习热情，通过用不等式表示爷爷与爸爸年龄的变化，让学生自主发现不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变，从而引出新课. 2.实践探究，学习新知 【探究1】探究不等式的基本性质1 教师提问： 1.同学们还记得等式的基本性质1吗？ 2.如果在不等式的两边都加或都减同一个整式，那么结果会怎样？请举几例试一试，并与同伴交流. 如：已知5<6，完成下列填空： 5+3______6+3；5–2______6–2； 5–______6–；5+______6+. 师生活动：教师出示问题，让学生尝试解答上述问题，教师注意引导。 学生总结： 1.等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式. 2.四个空都填“＜”. 教师追问：你能类比等式的性质猜想不等式的性质吗？ 【归纳总结】 不等式的基本性质1： 不等式的两边都加(或减)同一个整式，不等号的方向不变.用字母表示为如果a >b，那么a±c >b±c；如果a <b，那么a±c<b±c. 【探究2】探究不等式的基本性质2和3 做一做：用等号或不等号完成下面的填空。 已知2<3；那么 2×5 3×5； 2× 3×； 2×(-1) 3×(-1)； 2×(-5) 3×(-5)； 2×(-) 3×(-). 师生活动：教师出示问题，在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结. 学生归纳：前两个填“＜”，后两个填“＞”. 教师提问：你发现了什么？再举几例试一试，还有类似的结论吗？与同伴交流. 教师追问：通过本题中的示例，结合等式的基本性质2，猜想不等式还有哪些性质？ 验证你的结论，用字母表示你所发现的结论. 【归纳总结】 不等式的基本性质2：如果不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变； 不等式的基本性质3：如果不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要发生改变。 字母表示如下： 知识拓展： 除了三个基本性质，不等式还具有以下性质. 1.对称性（也叫互逆性）：若a>b，则b<a. 2.传递性：若a>b，b>c，则a>c. 3.同向可加性：若a>b，c>d，则a+c<b+d. 【探究3】不等式的基本性质的应用 在上一节课中，我们猜想，无论绳长l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即. 师生活动：你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？ 学生总结：因为4>π，所以，所以，即. 【教材例题】 将不等式化成“x>a”或“x<a”的形式: （1）x–5>–1；（2）–2x>3. 学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结. 教师活动：教师注意引导，注意让学生说出每一步的依据. 解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加5，得 x>–1+5，即x>4. （2）根据不等式的基本性质3，两边都除以–2，得 x<. 以问题的形式引导学生从对比中自己先猜想不等式的基本性质、再通过具体数值验算性质、最后自己总结归纳出性质并能用字母表示出来。 通过具体数值探究性质、最后自己总结归纳出性质并能用字母表示出来。 培养学生利用不等式的基本性质解决问题的能力，使学生能够学以致用. 例题是本章第一次运用不等式的基本性质将不等式进行变形，要注意让学生说出每一步变形的依据，加强对不等式基本性质的理解. 3.学以致用，应用新知 考点1 不等式的基本性质 例 已知“x＞y”，则下列不等式中，不成立的是（ ） A．3x＞3y B．x﹣9＞y﹣9 C．﹣x＞﹣y D． 答案：C 变式训练 下列变形正确的是（ ） A．由a＞b，得﹣a＜﹣b B．由a＞b，得ac＞bc C．由c﹣a＞c﹣b，得a＞b D．由a＞b，得a2＞b2 考点2 利用不等式的基本性质把不等式化为“x>a”或“x<a”的形式 例 若不等式﹣3x＜1，两边同时除以﹣3，得（ ） A．x B．x C．x D．x 答案：A 变式训练 下根据不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式． （1）x+7＞9 （2）6x＜5x﹣3 （3）． 解：（1）根据不等式性质1，不等式两边都减7，不等号的方向不变，得x+7﹣7＞9﹣7，即x＞2. （2）根据不等式性质1，不等式两边都减去5x，不等号的方向不变，得6x﹣5x＜5x﹣5x﹣3，即x＜﹣3. （3）根据不等式性质2，不等式两边同乘以5，不等号的方向不变，得x＜2. 通过例题讲解，巩固理解不等式的基本性质，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用不等式的基本性质解决问题。 4.随堂训练，巩固新知 1.已知a＜b，下列不等式成立的是（ ） A．a+2＜b+1 B．﹣3a＞﹣2b C．m﹣a＞m﹣b D．am2＜bm2 答案：C 2.若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ） A．a﹣1≥b B．a+1＞b+1 C．﹣a＞﹣b D．a﹣1＞b+1 答案：B 3.有一道这样的题：“由★x＞1得到x＜”，则题中★表示的是（ ） A．非正数 B．正数 C．非负数 D．负数 答案：D 4.若a＜b，那么﹣2a+9 ﹣2b+9（填“＞”“＜”或“＝”）． 答案：＞ 5.根据不等式的基本性质，把下列各式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）x﹣2＜3x﹣3； （2）﹣x+2＜x﹣6； （3）3x+3＜0； （4）﹣2x+1＜x+4． 解：（1）x﹣2＜3x﹣3 两边同时加上2，得x＜3x﹣1 两边同时减去3x，得﹣2x＜﹣1 两边同时除以﹣2，得x＞； （2）﹣x+2＜x﹣6 两边同时减去2，得x＜x﹣8 两边同时减去x，得﹣2x＜﹣8 两边同时除以﹣2，得x＞4； （3）3x+3＜0 两边同时减去3，得3x＜﹣3 两边同时除以3，得x＜﹣1； （4）﹣2x+1＜x+4 两边同时减去1，得﹣2x＜x+3 两边同时减去x，得﹣3x＜3 两边同时除以﹣3，得x＞﹣1． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 注意：运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P42习题2.2中的T1—T4. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 2 不等式的基本性质 不等式的基本性质1 不等式的基本性质2 不等式的基本性质3 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课通过复习等式的基本性质，类比得出不等式的基本性质雏形。教学中问题的设置通过与等式的基本性质相对比，引导学生自己先猜想不等式基本性质、再通过具体数值验算性质、最后自己总结归纳完善性质定理并能用字母表示出来。在接下来的讲解例题与练习的过程中，每一步变形的依据都能够集体回答或个别举手回答正确，黑板上的演示过程也十分规范。 在整个教学过程中，学生始终处于主导地位，不等式的基本性质主要由学生自己推导得出。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$