第二章 平面向量及其应用（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（北师大版2019必修第二册）

第二章 平面向量及其应用 （单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. 其中，正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】零向量与单位向量 【分析】根据零向量的定义、性质判断各项的正误即可. 【详解】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确； 故选：C 2.在矩形中，，E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用可得答案. 【详解】在矩形中，，E为的中点， 所以 ，，则 . 故选：C. 3.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量 【分析】由平面向量的线性运算逐步表示即可得解. 【详解】由题可知， 则 . 故选：B． 4.已知，向量，若，则实数（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】D 【知识点】垂直关系的向量表示、已知模求参数 【分析】由，可得，用坐标表示数量积，即得解 【详解】由 可得 ，因为，所以. 故选：D 5.已知△ABC，点G、M满足，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据向量关系判断三角形的心、向量的线性运算的几何应用 【分析】由已知可知为的重心，然后结合向量的线性运算及三角形重心的性质可求． 【详解】满足，∴为的重心， ∴＝＝， 又∵， ∴ ． 故选：A． 6.与向量平行的单位向量是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】利用坐标求向量的模、平行向量（共线向量）、零向量与单位向量 【分析】与向量平行的单位向量是，即可求解. 【详解】因为与向量平行的单位向量是，, 所以, 故选：D 7.已知，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求投影向量 【分析】由，可得，再由，两边平方可得，由投影向量计算公式即可得到在上的投影向量. 【详解】因为，所以， 又，， 所以，得， 所以向量在上的投影向量为． 故选：B． 8.在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则 A．是定值，定值为4 B．是定值，定值为3 C．是定值，定值为4 D．是定值，定值为3 【答案】C 【知识点】平面向量基本定理的应用、向量减法的法则 【解析】由可得，设，可得，根据平面向量基本定理可得结果. 【详解】因为，所以，即， 依题意设，则， 则，又，， 所以， 根据平面向量基本定理可得，消去可得，即. 故选：C 【点睛】本题考查了平面想向量的线性运算，考查了平面向量基本定理，属于中档题. 第二部分（非选择题 共92分） 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】由可得四边形是平行四边形，从而结合平行四边形的性质对选项逐一判断即可． 【详解】对A,由，四边形是平行四边形，所以，选项A正确； 对BD,平行四边形对角线与互相平分，得，，选项B错误，选项D正确； 对C,显然与相交，他们不是相等向量，选项C错误； 故选：AD 10.如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量的线性运算分别判断各选项. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项错误； C选项：，C选项正确； D选项：，D选项错误； 故选：AC. 11.是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】垂直关系的向量表示、用定义求向量的数量积、向量的模 【分析】由可判断A；计算的值可判断B，C错误；计算的值可判断D. 【详解】在中，由，得，故A错误； 又，且，所以，所以，故B，C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：ABC. 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知向量，，则在的方向上的数量投影为 ． 【答案】/ 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】利用数量投影的定义可求答案. 【详解】向量，，在的方向上的数量投影为. 故答案为： 13.如图，在正方形中，，为上一点，且，则 . 【答案】12 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用定义求向量的数量积 【分析】利用平面向量的线性运算以及数量积运算进行求解. 【详解】在正方形中，， 又，为上一点，且， 所以． 故答案为：12. 14.三国（年~年）是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权．元末明初的小说家罗贯中依据这段历史创作了《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣往来，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰能走公里，一天最多能跑个小时，十天能到达．如果吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东，相距约公里，那么吴国都城一叛徒要向魏国都城告密大约需要 （填整数）天能达到魏国都城． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【解析】将魏、蜀、吴三国的都城分别记为、、，可得出公里，公里，，利用余弦定理求出，再除以可得结果. 【详解】将魏、蜀、吴三国的都城分别记为、、， 由题意可知，公里，公里，， 由余弦定理可得公里， （天），故叛徒大约需要天才能到达目的地. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知，当（1）；（2）；（3）与的夹角为时，分别求与的数量积． 【答案】（1） ；（2） 0；（3）15 ． 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】（1）就与同向或反向分类讨论，结合数量积的定义可求两者的数量积. （2）若，则两向量的夹角为直角，从而可求两者的数量积. （3）利用数量积的定义可求两者的数量积. 【详解】设与的夹角为. （1）若与同向，则，； 若与反向，则，． （2）若，则与夹角为，． （3）与的夹角为，． 16.（15分）已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． （3）若，求在上的投影向量． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、平面向量数量积的几何意义、向量的模 【分析】（1）直接利用数理积公式求解即可，由于，然后代值求解即可； （2）利用向量的夹角公式直接求解即可； （3）利用投影公式直接求解即可 【详解】（1）由已知，得， ； （2）设与的夹角为， 则， 因此，与的夹角的余弦值为 （3）因为， 所以在上的投影向量为 17.（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinA+sinC）（sinC﹣sinA）＝sinB（sinC﹣sinB）. （1）求角A的大小； （2）若b＝2，△ABC的面积是，求a的大小. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）本小题先运用正弦定理角化边，再运用余弦定理求角A即可； （2）本小题先运用面积公式求，再运用余弦定理求a即可. 【详解】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得：，，， ∵（sinA+sinC）（sinC﹣sinA）＝sinB（sinC﹣sinB）， ∴，整理得：， 由余弦定理得：， ∴ （2）∵在△ABC中，b＝2，△ABC的面积是， ∴ ，解得： 由余弦定理得：即， ∴ 【点睛】本题考查正弦定理角化边、面积公式、余弦定理求边角，是基础题. 18.（17分）如图，在中，角所对的边为，已知，是边上的点，满足，.    (1)求角大小； (2)求三角形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式求积的最大值、数量积的运算律、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可求出结果； （2）根据平面向量知识得到，再根据基本不等式求出的最大值，最后根据三角形面积公式可求出结果. 【详解】（1）由及正弦定理可知，， 由余弦定理知，，又，. （2）因为，所以， 所以，又， ，所以， 即， ，解得，当时等号成立， . 即三角形面积的最大值为. 19.（17分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求角; (2)若，求的值； (3)若的面积为，，求的周长. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用内角和定理与和角的正弦公式化简得到，即可求得角A； （2）由求得，利用二倍角公式求得的值，利用差角的正弦公式计算即得； （3）由三角形面积公式求出，利用余弦定理变形转化求出，即得的周长. 【详解】（1）．由正弦定理可得， 因， 所以，可得， 为三角形内角，，解得，， ． （2）由已知，，所以， ，， . （3），， 由余弦定理得， 即，解得， 的周长为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 平面向量及其应用 （单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. 其中，正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 2.在矩形中，，E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 3.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（　　） A． B． C． D． 4.已知，向量，若，则实数（    ） A． B． C．-2 D．2 5.已知△ABC，点G、M满足，，则(    ) A． B． C． D． 6.与向量平行的单位向量是（    ） A． B． C．或 D．或 7.已知，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8.在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则 A．是定值，定值为4 B．是定值，定值为3 C．是定值，定值为4 D．是定值，定值为3 第二部分（非选择题 共92分） 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10.如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11.是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知向量，，则在的方向上的数量投影为 ． 13.如图，在正方形中，，为上一点，且，则 . 14.三国（年~年）是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权．元末明初的小说家罗贯中依据这段历史创作了《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣往来，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰能走公里，一天最多能跑个小时，十天能到达．如果吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东，相距约公里，那么吴国都城一叛徒要向魏国都城告密大约需要 （填整数）天能达到魏国都城． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知，当（1）；（2）；（3）与的夹角为时，分别求与的数量积． 16.（15分）已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． （3）若，求在上的投影向量． 17.（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinA+sinC）（sinC﹣sinA）＝sinB（sinC﹣sinB）. （1）求角A的大小； （2）若b＝2，△ABC的面积是，求a的大小. 18.（17分）如图，在中，角所对的边为，已知，是边上的点，满足，.    (1)求角大小； (2)求三角形面积的最大值. 19.（17分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求角; (2)若，求的值； (3)若的面积为，，求的周长. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$