安徽省宣城市2024-2025学年高二上学期期末调研测试数学试卷

宣城市2024一2025学年度第一学期期末调研测试 高二数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 题号 2 3 5 6 7 8 答案 D A B B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 ABD BD ACD 三、填空题： 12.22 14.(2,3+1) 四、解答题： 15.(1)设数列{an}的公比为q,q>0, 因为a4是2a2和3a;的等差中项，所以2a4=2a2+3a3,即2a2g2=2a2+3a29 解得g=2,所以an=2×2-1=2" …6分 -11 (2)由(1)知a,=2”,则6，=1ga.lg,an·(n+1dnn+T 所以s=1-名+分方+5-}+…+=1- nn+l n+1n+1 所以。51-放16，的前2025项和s 。 13分 16.(1)设动点M坐标为(x,y),则1AM1=√(x-9)2+y,1BM1=√(x-1)2+y, 由条件，得√(x-9)2+y2=3√(x-1)2+y2.化简得x2+y2=9.…7分 (2)当直线1的斜率不存在时，此时l的方程为x=3.…9分 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为：y=k(x-3)+4. 由1与圆相切，得4=一-4-3，解得长= √2+1 此时1的方程为7x-24y+75=0. 综上，1的方程为x=3或7x-24y+75=0. 15分 宣城市高二数学参考答案第1页（共4页） 17.(1)如图，连接OC,在Rt△BCD中，由BD=2可得 0C=1. 因为PB=PD=√3，且O是BD中点 D 所以OP⊥BD,0P=√PB2-OB2=3-I=2, 因为0P=√2,0C=1,PC=3, 所以PC2=0P2+0C2,所以0P10C 又因为BD,OCC平面ABCD,BD∩OC=O,所以OP⊥平面ABCD.…6分 (2)由(1)及BC=CD可知，OC,OB,OP两两垂直， 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标 系， D 则0(0,0,0)，B(1,0,0),D(-1,0,0), C(0,1,0),P(0,0,2) 由D元=(1,1,0)，有AB=2D元=(2,2,0)， 则A(-1,-2,0).… …9分 设平面PBC的法向量m=(x,y,2),由BC=(-1,1,0),B=(-1,0,2), m·BC=-x+y=0 有 ,取x=2,则y=2,a=2, m.B=-x+2:=0 可得平面PBC的一个法向量m=(2,2,2). 设平面PAD的法向量n=(a,b,c),由D币=(1,0，N2),AD=(0,2,0). n·Dp=a+2c=0 有 ,取a=2,则b=0,c=-2, n·Ai=2b=0 可得平面PAD的一个法向量n=(2,0,-2). m·n 2 所以平面PAD与平面PBC所成夹角的余弦值为 15 1m1·nT √10×615 15分 18.(1)由题意，因为A(a,0),B(0,b),所以1AB1=√a2+b2=2. 又e=号=9c=+2所以u=5,6=l,e=2 所以椭圆的标准方程为；+了=1 6分 (2)由题意知，F2(2,0),直线(1的斜率存在。 宣城市高二数学参考答案第2页（共4页） 设直线1的方程为y=k(x-2),C(x,y), D(,,2),则直线2的方程可设为 y=3x-2),B5),F（小 联立 y=(x-2)》 消去y得(1+32)x2-62k2x+6k2-3=0, 所以55房以器) 622 1+3k2 所以M 32k2 2h 1+3k2’1+3k2 10分 同理联立 y=--2 可得 2h: 1+3k2'1+3k2 则的中点.o小，10m-号 13分 所以m0m,-,=号 -22h 1%1 1-3 +31h1256, 1+3k2=1 当且仅当☆=311，即太=±得时取等号. 所以△ON面积的最大值为。 17分 2 19.(1)若数列{an}为“紧密”数列，则x≠0，且 227s2 解得：写≤≤光即：的取值范图为[兮鹅引 4分 (2)数列1a,为紧密"数列：理由如下：数列a,的前n项和S.=子(m+3n)(neN)。 当n=1时，4=S,=4×(1+3)=1:当n≥2时， a.=8.-51=4(m2+3n）-4[(a-102+3(m-10]=2+ 1 2 又对+分-1=a,即a=1满足a,-之+分因此a.=+(aeN), 1.1 宣城市高二数学参考答案第3页（共4页） 所以对任意n∈N+,a= 2(n+1)+ 1 2 n+2 1,1n+1 =1+1 n+1 2n+2 所以7<。=1+ n+1<2, 因此数列{a.}为“紧密”数列. 10分 (3)因为数列{a.}是公比为g的等比数列，前n项和为S.,当q=1时，有an=a1,Sm=na1, 所以时12宁≤安升1+片≤2满足题意： n 当g≠1时，a,=a,g,Sn=1-g) 1-9 因为a.为紧密"数列，所以≤。=9<2，即时≤g<1或1<9≤2，当≤9<1时， 、a 发，号1，发-号2192 1-g 所以时≤写2满足8为紧客数列： 当1<9≤2时袋号1*9>2， 不满足{S,}为“紧密”数列. 综上，实数9的取值范围是[2，小 …17分 宣城市高二数学参考答案第4页（共4页）宣城市2024一2025学年度第一学期期末调研测试 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如常改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非逃择题时，将答案写在答题卡上，写在本 试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分·在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.在空间直角坐标系中，已知空间向量4=(3,2，-m),b=(m,9,-3),若a⊥b,则m= A.-2 B.2 C.3 D.-3 2.已知点A,B在直线1：x-y-2=0上运动，且1AB1=22,点C在圆(x+2)2+y2=2上，则 △ABC面积的最大值为 A.6 B.5 C.4 D.3 3.在空间直角坐标系中，已知空间向量a=(1,2,2),b=(-2,1,1),则向量a在向量b方向上 的投影向量为 (-子-分-》 (制) c(-子) n(学，分) 4.在平行六面体ABCD-A,B,C,D1中，若AB=AD=AA,=2,∠BAM1=∠DAM1=60°，∠BAD= 90°，则AC,的长度为 A.25 B.25 C.3 D.5 5.已知正三棱台A8C-AB,G,的体积为28 3,AB=4,A,B,=2,则直线A,A与平面ABC所成 角的正切值为 A.3 B.2,5 C.35 D.45 r(3-a)n-4,n≤10且neN· 6.已知数列{c,}是递增数列，且c.= ,则a的取值范围是 La9+2,n>10且neN A(13) B.(1,2] C.(2,3) D.(2,4] 宣城市高二数学试卷第1页（共4页） 7关于椭圆行如下结论：“过柄圆号+片 +=1(a>b>0)上一点P()作该椭圆的切线，切 线方限为停+号1“设隔圆C后+长=1(a>6>0)的右焦点为R,左预点为么，过F且 垂直于x抽的直线与C的一个交点为M,过M作椭圆C的切线L,若切线l与直线AM的倾 斜角互补，则C的离心率为 A方 B.3 D. 9 上 &已知双曲线C:专-F=(a>0,b>0)的左焦点为F,过点F的直线1垂直于双曲线C的二 条渐近线，并分别交两条渐近线于A,B两点（其中点A为垂足），且点A,B分别在第二、第 三象限内，若=号，则双曲线C的渐近线方程为 Ay=±2 B.y=±3 1 C.y=±4 D.y=±5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别是棱AB,BC的中点，则 A.EF∥A,C B.三校锥E-AB,F的体积为位 C异面直线B,E与A,F所成角的余弦值为区 15 D点E到直线B,D的距离为3 10.已知圆C:(x-2)2+y2=4和直线l:x-y+2=0,点P在直线1上运动，直线PA、PB分别 与圆C相切于点A,B,则下列说法正确的是 A切线长IPAI的最小值为22 B.四边形PACB面积的最小值为4 C.当IPA1最小时，弦AB所在的直线方程为x-y+1=0 D.弦AB所在直线必过定点 11.抛物线y=4x的焦点为F,顶点为0，过点F作倾斜角为0的直线l,交抛物线于A,B两 点，点A在x轴上方，分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为A1,B1,准线与x轴交于点 C,则下列说法正确的是 A当0=90时，1AB1=4 B.当6=60时，1AF1=2IBFI C.三角形ABC面积的最小值为4 D.IAM,I+21BB,I的最小值为3+2万 宣城市高二数学议卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.过坐标原点0作倾斜角为石的直线l,则直线1被圆(x-2)2+子=3所截得的弦长为 13.已知两个等差数列a和6，的前a项和分别为5和工，且受=号则会 14.已知点F,F2是椭圆C,和双曲线C2的公共焦点，P是它们在第一象限的一个公共点，且 PR,1PR2,若C,和C,的离心率分别为，，则+5的取值范围是 e e2 四、解答题：本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤。 15.（本小题13分) 已知数列{a.}是各项均为正数的等比数列，且41=2，a4是2a2和3a的等差中项.。 (1)求数列{a.}的通项公式； (2)若数列16，满足6，=1og,·1oga 一，求数列{b,}的前2025项和Ss 16.(本小题15分) 若平面内动点P到两定点A,B距离的比值为常数入（入>0且入≠1），则动点P的轨迹叫做 阿波罗尼斯图.已知两定点4，B的坐标分别为A(9.0).(1,0),动点M清足=3 (1)求动点M的阿波罗尼斯圆方程； (2)过点P(3,4)作该圆的切线1，求切线1的方程. 17.(本小题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD, O为BD的中点，BD=2,PB=PC=PD=5. (1)证明：OP⊥平面ABCD: (2)若BC=CD,求平面PAD与平面PBC夹角的 余弦值· B 宣城市高二数学试卷第3页（共4页） 18.(本小题17分) 尼知椭圆号+名1@>b>0)的左右焦点分别为F1,乃，离心率e=号，点A,B分别是 圆的右顶点和上顶点，且1AB|=2. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线，凸均过右焦点F,且它们的斜率乘积为-子，设马，人分别与椭圆交于点C,D 和E,F.若M,N分别是线段CD和EF的中点，求△OMW面积的最大值 19.(本小题17分) 设数列1a,的前n项和为S,若≤2≤2(neN,n≥1)，则称{a,是“紧密数列” a （1)已知数列，是“紧密数列”，前4项依次为1，子=，号求=的取值范围： 8 (2)若数列a,的前n项和S.=(+3m),判断a,是否是“紧密数列”，并说明理由： (3)设数列1a.}是公比为g的等比数列.若数列1a.I与{S.|都是“紧密数列”，求g的取 值范围. ■ 宣城市高二数学议张第4页（共4页）