8.2.3多项式与多项式相乘（教案） 2024—2025学年沪科版数学七年级下册

3.多项式与多项式相乘 1.理解多项式与多项式的乘法法则. 2.能运用多项式与多项式的乘法法则进行计算. 3.从实际问题引出多项式乘以多项式，通过探索多项式乘以多项式的计算法则，进一步体会转化思想和数形结合思想. 4.有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中，培养学生观察、归纳的能力，通过合作交流，体验成功的喜悦. 【教学重点】 多项式与多项式相乘的计算法则. 【教学难点】 熟练地运用多项式与多项式相乘的计算法则进行计算. 一、情境导入，初步认识 问题 一块长方形的菜地，长为a，宽为m，现将它的长增加b,宽增加n，求扩大后的菜地面积. 【教学说明】教师提问题，让学生独立思考，尝试画出图形进行分析，进一步体会数形结合思想. 二、思考探究，获取新知 多项式与多项式的乘法法则探究：先按题意画图，结合图形考虑有几种计算方法？ 方法一：扩大后菜地的长是a+b，宽是m+n，所以它的面积是________. 方法二：先算4块小长方形的面积，再求总面积，扩大后菜地的面积是________. 【教学说明】学生尝试画出图形，然后根据图形列出算式，进一步体会数形结合思想. 由方法一、二可得（a+b)(m+n)=am+bm+an+bn.上面的运算还可以把（a+b）看作一个整体运用分配律，再根据单项式与多项式的乘法法则，得 (a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n =am+bm+an+bn. (a+b)(m+n)=am+bm+am+bn. 【归纳结论】 多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 三、典例精析，掌握新知 例1计算： (1)(-2x-1)(3x-2); （2）(ax+b)(cx+d). 【解】(1) (-2x-1)(3x-2) =(-2x)·3x+(-2x)·(-2)+(-1)·3x+(-1)×(-2) =-6x2+4x-3x+2 =-6x2+x+2. （2）(ax+b)(cx+d) =ax·cx+ax·d+b·cx+bd =acx2+(ad+bc)x+bd. 例2 计算：（1）(a+b)(a2-ab+b2); （2）(y2+y+1)(y+2). 【解】（1）(a+b)(a2-ab+b2) =a·a2-a·ab+a·b2+b·a2-b·ab+b·b2 =a3+b3. （2）（y2+y+1)(y+2) =y3+2y2+y2+2y+y+2 =y3+3y2+3y+2. 例3在(ax+3y)与(x-y)的积中，不含有xy项，求a2+3a-1的值. 【解】（ax+3y）(x-y) =ax2-axy+3xy-3y2 =ax2+(3-a)xy-2y2 由题意得：3-a=0 ∴a=3. ∴a2+3a-1=32+3×3-1=17. 【教学说明】 教师给出例题，学生独立自主完成，教师可让几个学生上台在黑板上演算，然后给予点评. 四、运用新知，深化理解 1.下列各式计算正确的是（ ） A.(x+5)(x-5)=x2-10x+25 B.(2x+3)(x-3)=2x2-9 C.(3x+2)(3x-1)=9x2+3x-2 D.(x-1)(x+7)=x2-6x-7 2.计算: (1)(2n+6)(n-3); (2)(3x-y)(3x+y); (3)(3a-2)(a-1)+(a+1)(a+2); (4)(3a+2)(3a-2)-9a(a-1); (5)(x-y)(x2+xy+y2); (6)(x+1)(x2-2x+3). 3.先化简，再求值：(x-2y)(x+3y)-(2x-y)(x-4y)其中x=-1,y=2. 4.已知x2-5x-14=0,求(x-1)(2x-1)-(x-2)(x+4)的值. 5.已知多项式(x2+ax+b)与(x2-2x-3)的乘积中不含x3与x2的项，求a,b的值. 【教学说明】 教师给出习题，学生独立完成.教师巡视，对学生解题过程中出现的问题及时予以指正，对解题有困难的学生给予点拨. 【答案】 1.C 2.（1）原式=2n2-6n+6n-18=2n2-18 （2）原式=9x2+3xy-3xy-y2=9x2-y2 (3)原式=3a2-3a-2a+2+a2+2a+a+2=4a2-2a+4 (4)原式=9a2-6a+6a-4-9a2+9a=9a-4 (5)原式=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3 (6)原式=x3-2x2+3x+x2-2x+3=x3-x2+x+3 ∴上式=14+9=23. 五、师生互动，课堂小结 通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流. 【教学说明】 学生相互交流，回顾多项式与多项式的乘法法则，加深对新知识的理解. 完成练习册中本课时练习. 从实际问题引出多项式与多项式的乘法，再探究多项式与多项式的乘法法则，然后运用新知识解决问题，激发学生的积极性. 学科网（北京）股份有限公司 $$