精品解析： 上海市实验西校2024-2025学年八年级上学期数学期末试卷

实验西校2024学年第一学期八年级数学学科 期末阶段教学评估 一、选择题（本题共6题，每题3分，满分18分） 1. 在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于x的方程中有实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（ ） A. 8，15，17 B. ，， C. ，2， D. 1，2， 4. 下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（ ） ①函数图象经过点：②图象经过第二象限；③当时，y随x增大而增大． A. B. C. D. 5. 某种时装，平均每天销售20件，每件可盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的有（ ） ①若，则；②；③；④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 化简：______． 8. 方程的根为_______． 9. 函数定义域是______． 10. 分式程的解是______． 11. 已知关于x的方程没有实数根，则实数k的取值范围为__________． 12. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 13. 如果正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是________． 14. 如图，在中，，平分，，，则点到直线的距离是______． 15. 如图，点A，B在双曲线上，点C在双曲线上，若轴，轴，且，则的长为______． 16. 如图，在中，，，D是边中点，交于点E．那么______． 17. 定义：三角形一边上点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为_____． 18. 在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13，如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为_________． 三、解答题（本大题共8题，满分58分） 19. 计算： 20. 用配方法解方程：． 21. 解方程组：． 22. 互联网经济已经成为了我国经济的重要发展方向，下图是某电商平台上某商品第四季度的销售额y（元）和销售量x（件）之间的函数图像，线段表示某商品以原价销售时的函数图像，线段表示由于“双十一”活动阶段商品以某一幅度降价时的函数图像，线段表示由于“双十二”活动阶段商品以相同的幅度再次降价时的函数图像， （1）求线段所在直线的函数解析式； （2）该商品原价每件为______元．第二次降价后该商品每件为______元． （3）该商品每次降价的百分率为_______． 23. 如图，已知在中，，为的中点，在图中作点D，使，且，在上取点F，使得，分别联结、、，试判断与之间的位置关系，并证明． 24. 如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系内． （1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，A点的坐标为，求过P点的反比例函数的解析式，并写出该函数的增减性． （3）在（2）的条件下求直线的解析式，并直接写出的面积． 25. 把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B，，F在同一直线上．，，，，，点P是线段中点．从图1的位置出发，以的速度沿射线方向匀速运动，如图2，与相交于点Q，连接．当点D运动到边上时，停止运动．设运动时间为． （1）当时，求的长； （2）当点A在线段的垂直平分线上时，求t的值； （3）在运动过程中是否存在以为底的等腰三角形，如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 26. 小明在研究平面几何知识时，意识到等腰三角形和直角三角形经常同时出现，比如：等腰三角形三线合一：再比如：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．等等．在此基础上，小明同学还做了一些研究，并邀请你参加． 已知中，，将绕着点A旋转，点B、C的对应点分别是点D、E，连接． （1）求证； （2）点F在边上（且F不与点C、D重合），连接，过A作，交射线于点G，连接，小明发现线段、、能够组成一个直角三角形，你认为小明的发现正确吗？如果正确，请证明，如果不正确，请说明理由； （3）在（2）的条件下，已知，，设，，直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验西校2024学年第一学期八年级数学学科 期末阶段教学评估 一、选择题（本题共6题，每题3分，满分18分） 1. 在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式，依据此两项要求进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、被开方数含有看得见的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 下列关于x的方程中有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解分式方程和解无理方程，根据判别式可判断A、D；先把原方程化为整式方程，解方程求出未知数的值，进而检验即可判断B；根据算术平方根的非负性即可判断C． 【详解】解：A、由题意得，，故原方程无实数根，不符合题意； B、∵， ∴， 检验，当时，， ∴是原方程的增根，即原方程无实数根，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴原方程无实数根，不符合题意； D、由题意得，，故原方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 3. 用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（ ） A. 8，15，17 B. ，， C. ，2， D. 1，2， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴三边长为8，15，17的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴三边长为，，的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴三边长为，2，的三角形不可以组成直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴三边长为1，2，的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（ ） ①函数图象经过点：②图象经过第二象限；③当时，y随x的增大而增大． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的性质，根据一次函数的增减性可得不满足③；根据一次函数图象与其系数的关系可得不满足②；根据平行于x轴的直线的性质可得不满足③；根据反比例函数的性质可得满足①②③． 【详解】解：A、在中，一次项系数小于0，则y随x的增大而减小，不符合③，不符合题意； B、在中，一次项系数大于0，常数项小于0，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，不符合题意； C、中，y不随着x的变化而变化，不符合③，不符合题意； D、在中，，则该函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，当时，，则该函数图象经过点，故该函数满足①②③，符合题意； 故选：D． 5. 某种时装，平均每天销售20件，每件可盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件可降价x元，则每件时装可盈利元，销售量为件，再根据总盈利为1600元列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 6. 如图，中，，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的有（ ） ①若，则；②；③；④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，由此即可判断①正确；先根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出，从而可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可判断②正确；在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断③正确；过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式可得，然后根据全等三角形的性质可得，，由此即可判断④正确． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，结论①正确； ∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，则结论②正确； 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则结论③正确； 如图，过点作于点，作于点， 由上已得：，即平分， ∴， ∴， 由上已证：，， ∴，， ∴，则结论④正确； 综上，结论中正确的有4个， 故选：A． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．分母分子同乘以，计算二次根式的乘法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 8. 方程的根为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 9. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义域、二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0求解即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 所以函数的定义域是， 故答案为：． 10. 分式程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解可化为一元二次方程的分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．需注意的是，分式方程的解一定要进行检验．方程两边同乘以，再利用直接开平方法解方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得或， 经检验，是分式方程的解；不是分式方程的解， 故答案为：． 11. 已知关于x的方程没有实数根，则实数k的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程没有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 【答案】两个三角形面积相等，则这两个三角形全等 【解析】 【详解】本题考查命题的逆命题，解题的关键是明确原命题的条件和结论，再交换条件与结论得到逆命题． 确定原命题“两个全等三角形的面积相等”的条件和结论，交换原命题的条件和结论，得到逆命题． 【分析】解：原命题“两个全等三角形的面积相等”中，条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”． 根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到的逆命题为：“两个三角形面积相等则这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形面积相等，则这两个三角形全等． 13. 如果正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质（正比例函数，k≠0），当k＜0时，该函数的图象经过第二、四象限）解答． 【详解】解：∵正比例函数 的图象经过第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是熟练的掌握正比例函数的性质． 14. 如图，在中，，平分，，，则点到直线的距离是______． 【答案】##3厘米 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先求出，再过点作于点，根据角平分线的性质定理求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， 即点到直线的距离是， 故答案为：． 15. 如图，点A，B在双曲线上，点C在双曲线上，若轴，轴，且，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，设，则，据此表示出，根据建立关于m的方程，求出m的值，进而得到的长，再利用勾股定理求出的长即可． 详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，D是边的中点，交于点E．那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，等边对等角，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意可得垂直平分，则，根据等边对等角和三角形外角的性质得到，再用分别表示出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵D是边的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为_____． 【答案】或5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确理解“好点”的定义是解题关键．先求出，设，则，，再分三种情况：①点在上；②点与点重合，③点在上，利用勾股定理求出的值，再根据“好点”的定义求出的值，两者建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ①如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“好点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； ②如图，当点与点重合时，则， ∴，， ∴，这与点是边上的“好点”矛盾，则的情形不存在； ③如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“好点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； 综上，线段的长为或5， 故答案为：或5． 18. 在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13，如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为_________． 【答案】4 【解析】 【详解】如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得 A′D=AD=13， 在Rt△A′CD中，A′D2=A′C2+CD2， 即132=（13-A′B）2+52， 解得A′B=1， 如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得A′B=AB=5， ∵5-1=4， ∴点A′在BC边上可移动的最大距离为4． 三、解答题（本大题共8题，满分58分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算括号内的二次根式的加减法，然后计算二次根式的除法与乘法即可得． 【详解】解： ． 20. 用配方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 21. 解方程组：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键．先将方程②因式分解成两个方程，可得两个二元一次方程组，再利用加减消元法解方程组即可得． 【详解】解：由得：， 则方程组可转化为或， 方程组， ①③得：，解得， 将代入①得：，解得， 所以这个方程组的解为； 方程组， ①④得：，解得， 将代入①得：，解得， 所以这个方程组的解为； 综上，原方程组的解为或． 22. 互联网经济已经成为了我国经济重要发展方向，下图是某电商平台上某商品第四季度的销售额y（元）和销售量x（件）之间的函数图像，线段表示某商品以原价销售时的函数图像，线段表示由于“双十一”活动阶段商品以某一幅度降价时的函数图像，线段表示由于“双十二”活动阶段商品以相同的幅度再次降价时的函数图像， （1）求线段所在直线的函数解析式； （2）该商品原价每件为______元．第二次降价后该商品每件为______元． （3）该商品每次降价的百分率为_______． 【答案】（1） （2）10， （3） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质、从函数图像中获取信息、一元二次方程的应用，从函数图像中正确获取信息是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）根据函数图像可得每件的原价等于销售额1000元除以销售量100件；第二次降价后该商品每件的价格为销售额元除以销售量100件，由此即可得； （3）设该商品每次降价的百分率为，结合（2）的结果，建立一元二次方程，解方程即可得． 小问1详解】 解：设线段所在直线的函数解析式为， 将点代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由线段表示的函数图像可知，该商品原价每件为（元）， 由线段表示的函数图像可知，第二次降价后该商品每件为（元）， 故答案为：10，． 【小问3详解】 解：设该商品每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以该商品每次降价的百分率为， 故答案为：． 23. 如图，已知在中，，为的中点，在图中作点D，使，且，在上取点F，使得，分别联结、、，试判断与之间的位置关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得出结论． 【详解】解：，证明如下： ∵在中，，为的中点， ∴， ∵在中，，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分， 又∵，， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）． 24. 如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系内． （1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，A点的坐标为，求过P点的反比例函数的解析式，并写出该函数的增减性． （3）在（2）的条件下求直线的解析式，并直接写出的面积． 【答案】（1）见解析 （2）过点P的反比例函数解析式为，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小 （3）直线的解析式为，5 【解析】 【分析】（1）作第一象限的角平分线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交第一象限的角平分线于点P，点P即为所求； （2）在（1）的条件下，根据，A点的坐标为，利用勾股定理即可求P点的坐标，进而得到函数的增减性即可； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，设直线与x轴交于B，则，根据计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点P即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）可得是第一象限的角平分线，设点， 过点P作轴于点E，过点A作轴于点F，于点D， ∵，A点的坐标为， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）． ∴P点的坐标为， ∴过点P的反比例函数解析式为， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 如图所示，设直线与x轴交于B，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、坐标与图形的性质、角平分线的性质、勾股定理，求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，一次函数与几何综合等等，解决本题的关键是掌握角平分线的性质，确定点的位置． 25. 把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B，，F在同一直线上．，，，，，点P是线段的中点．从图1的位置出发，以的速度沿射线方向匀速运动，如图2，与相交于点Q，连接．当点D运动到边上时，停止运动．设运动时间为． （1）当时，求的长； （2）当点A在线段的垂直平分线上时，求t的值； （3）在运动过程中是否存在以为底的等腰三角形，如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）在运动过程中存在以为底的等腰三角形，此时的值为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）先根据直角三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的判定与性质可得，然后根据求解即可得； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的长，由此即可得； （3）过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，再根据勾股定理可得的长，从而可得的长，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， 由题意得：， 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵点是线段的中点，， ∴， 当点在线段的垂直平分线上时，则， ∵， ∴， 由（1）已得：， ∴， 所以的值为． 【小问3详解】 解：当点运动到边上，停止运动时，， ∴， 如图，是以为底的等腰三角形，过点作于点， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，符合题意， 所以在运动过程中存在以为底的等腰三角形，此时的值为． 26. 小明在研究平面几何知识时，意识到等腰三角形和直角三角形经常同时出现，比如：等腰三角形三线合一：再比如：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．等等．在此基础上，小明同学还做了一些研究，并邀请你参加． 已知中，，将绕着点A旋转，点B、C对应点分别是点D、E，连接． （1）求证； （2）点F在边上（且F不与点C、D重合），连接，过A作，交射线于点G，连接，小明发现线段、、能够组成一个直角三角形，你认为小明的发现正确吗？如果正确，请证明，如果不正确，请说明理由； （3）在（2）的条件下，已知，，设，，直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）小明的发现是正确的，理由见解析 （3）； 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理推导出即可； （2）延长，交于点M，连接，证明，再由垂直平分线的性质得出，在直角三角形中，，即； （3）由（2），可得，在中，，整理得到，连接，当G点与C点重合时求出的长，即可求x的取值范围． 【小问1详解】 证明：由旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：小明的发现是正确的，理由如下： 如图，延长，交于点M，连接，如图所示： 根据旋转可知，，，， ∴B、A、D在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，，即， ∴， 整理得，， 当G点与C点重合时，连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， 根据旋转可知：， 在中，， 即， 解得：， ∵点G在射线上， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，求函数解析式，求自变量的取值范围，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $