第五章 分式与分式方程（B卷单元培优卷）-重庆市2024-2025学年八年级数学下学期阶段性达标检测卷（北师大版）

重庆市2024-2025学年八年级数学下学期 阶段性达标检测卷（北师大版） 第五章分式（B 卷单元培优卷） 分数：150分 时间：120分钟 1、 单选题（每小题4分，共10×4=40分） 1．计算的结果等于（   ） A． B．a C．1 D． 2．若分式有意义，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 4．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 5．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 6．将分式中的x，y都扩大2倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．扩大6倍 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如果，那么代数式的值为（    ） A． B． C． D． 9．为进一步加强我市中小学研学实践教育活动的管理，培养学生的创新意识、动手能力和科研精神，营造良好的学科探究氛围，某学校组织学生开展“玩转物理”为主题的研学活动，已知学校用于购买某种电学实验材料的费用为元，购买某种力学实验材料的费用为元，其中购买电学实验材料的数量是购买力学实验材料的倍，并且电学实验材料的单价比力学实验材料的单价便宜元．设购买力学实验材料的单价为元，则满足的方程为（   ） A． B． C． D． 10．若整数a使关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．24 B．12 C．6 D．4 2、 填空题（每小题4分，共6×4=24分） 11．要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 12．计算： ． 13．已知，则 ． 14．轮船顺水航行所需要的时间与逆水航行所需要的时间相同，已知水流的速度是，则轮船在静水中的速度为 ． 15．盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 16．记．若，则 ． 3、 解答题(共9题，共86分,其中第17-18题每小题8分，第19-25题每小题10分) 17．下列分式，当x取何值时有意义． (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2)． 19．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 20．（1）因式分解：； （2）因式分解：． （3）解方程：． 21．按题目要求计算或因式分解： (1)计算： ①； ②； (2)因式分解：； (3)约分： 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元． (1)求足球和排球的单价各是多少元； (2)根据学校的实际情况，需要一次性购买足球和排球共100个，若要求总费用不超过7100元，则学校最多可以购买_______个足球． 25．定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”． (1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）； ①    ②    ③ (2)若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由； (3)若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市2024-2025学年八年级数学下学期 阶段性达标检测卷（北师大版） 第五章分式（B 卷单元培优卷） 分数：150分 时间：120分钟 1、 单选题（每小题4分，共10×4=40分） 1．计算的结果等于（   ） A． B．a C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握同分母分式的加减法则是解题的关键．根据同分母分式加减法则计算即可得解． 【详解】解： , 故选：C； 2．若分式有意义，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分母不为零的条件进行解答即可． 【详解】解：若分式有意义时，分母，此时． 故选：A． 3．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算． 【详解】解：． 故选D． 4．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简，根据分式的混合运算法则正确化简即可． 【详解】解： ， 故选：C． 5．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】把分式方程化为整式方程，根据解为正数，得出的取值范围．此题主要考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解题的关键，注意要排除产生增根时的值． 【详解】解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 关于的方程的解为正数， ， 解得， 当时，， 解得：， 的取值范围是：且． 故选：B． 6．将分式中的x，y都扩大2倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．扩大6倍 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：将分式中的x，y都扩大2倍，则分式变为 此分式的值扩大2倍． 故选：B． 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是整式的运算及负整数幂，掌握其运算法则是解决此题的关键．利用合并同类项法则，单项式乘单项式的运算法则，负整数幂运算法则，单项式除单项式的运算法则计算，积的乘方与幂的乘方运算法则计算判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，故不合题意； B、，原式计算错误，故不合题意； C、，原式计算正确，故符合题意； D、，原式计算错误，故不合题意； 故选：C． 8．如果，那么代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， 原式； 故选：B 9．为进一步加强我市中小学研学实践教育活动的管理，培养学生的创新意识、动手能力和科研精神，营造良好的学科探究氛围，某学校组织学生开展“玩转物理”为主题的研学活动，已知学校用于购买某种电学实验材料的费用为元，购买某种力学实验材料的费用为元，其中购买电学实验材料的数量是购买力学实验材料的倍，并且电学实验材料的单价比力学实验材料的单价便宜元．设购买力学实验材料的单价为元，则满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系正确列出分式方程是解题的关键； 设购买力学实验材料的单价为元，则购买电学实验材料的单价为元，根据购买电学实验材料的数量是购买力学实验材料的倍，即可得出关于的分式方程，此题得解； 【详解】解：设购买力学实验材料的单价为元，则购买电学实验材料的单价为元， 根据题意可得：； 故选：D 10．若整数a使关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．24 B．12 C．6 D．4 【答案】B 【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组至多有3个整数解，确定求出的范围；再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定的值即可解答． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴ ∵不等式组至多有3个整数解， ∴， ∴． 方程， ，解得： ∵分式方程有非负整数解， ∴（x为非负整数）且， ∴且， ∴的偶数且， ∴且且a为偶数， ∴符合条件的所有整数a的值为：，0，4，6，8． ∴符合条件的所有整数．a的和是：12． 故选：B． 2、 填空题（每小题4分，共6×4=24分） 11．要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得：， 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查异分母分式的加减法，首先通分化为同分母分式，再按照分母不变，把分子相加减的方法计算．已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可． 【详解】解： ∵ ∴； 化简得：； 所以， 故答案为：3 14．轮船顺水航行所需要的时间与逆水航行所需要的时间相同，已知水流的速度是，则轮船在静水中的速度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用．解决本题的关键是根据顺水速度静水速度水流的速度、逆水速度静水速度水流的速度把轮船的顺水速度和逆水速度用含的代数式表示出来，再根据轮船顺水航行所需要的时间与逆水航行所需要的时间相同列方程求解，求出解后一定要把求出的解代入原分式方程的最简公分母检验是否增根． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为， 根据题意可得：， 解得：， 经检验是原分式方程的根， 答：轮船在静水中的速度为． 故答案为： ． 15．盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率公式以及分式的值，熟练掌握概率公式是解题的关键．由概率公式得，整理得，再代入所求分式计算即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∴， 故答案为：． 16．记．若，则 ． 【答案】4 【详解】本题考查了分式的加减运算，运算量有点大，正确进行计算是解题的关键．先把三项的分母展开，再通分，并用其中的用代替，化简即可． 【解答】解：根据题意，可知、、均不为0， ， ， ． 故答案为：4． 3、 解答题(共9题，共86分,其中第17-18题每小题8分，第19-25题每小题10分) 17．下列分式，当x取何值时有意义． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式有意义的条件进行解答即可； （2）根据分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】（1）解：要使分式有意义， 则分母， 解得：； （2）解：要使分式有意义， 则分母， 解得：． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分式的混合运算，先算乘方，然后算乘除； （2）分式的加减乘除混合运算，先算乘除，然后算加减，有小括号，先算小括号里面的． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)； (2)； 【分析】此题考查了分式的化简求值； （1）根据同分母的分式减法进行计算，最后代入求值，即可． （2）先通分，再算分式减法和除法，进行化简，最后代入求值，即可． 【详解】（1）解： 当时，原式； （2）解： ； 当时，原式 20．（1）因式分解：； （2）因式分解：． （3）解方程：． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了分式方程的求解，以及因式分解，注意计算的准确性即可． （1）综合利用提公因式和公式法即可求解； （2）综合利用提公因式和公式法即可求解； （3）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 （3）方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为： 21．按题目要求计算或因式分解： (1)计算： ①； ②； (2)因式分解：； (3)约分： 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，整式的运算，因式分解和分式的化简： （1）①先进行开方，乘方，去绝对值和零指数幂的运算，再进行加减运算即可； ②先进行乘法运算，再合并同类项即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）将分子，分母进行因式分解后，约去公因式即可． 【详解】（1）解：①原式； ②原式； （2）原式； （3）原式． 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的乘除混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先计算乘方，再约分即可． （2）先将除法变成乘法，约分即可． （3）先将分子分母因式分解，最后约分即可． （4）先将除法变成乘法，再将分子分母因式分解，最后约分即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ． （3）解：， ， ． （4）解：， ， ． 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，负整数指数幂，分式的运算，整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． （1）计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，即可求解； （2）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式计算即可求解； （3）根据积的乘方、负整数指数幂、分式的乘法运算法则计算即可求解； （4）根据分式加减运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 24．为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元． (1)求足球和排球的单价各是多少元； (2)根据学校的实际情况，需要一次性购买足球和排球共100个，若要求总费用不超过7100元，则学校最多可以购买_______个足球． 【答案】(1)80元；65元 (2)40 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，解题的关键是：审清题意、正确列出分式方程、一元一次不等式成为解题的关键． （1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，根据数量、总价、单价的关系，结合用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并经检验即可； （2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，利用总价、单价、数量的数量关系，结合购买足球和排球的总费用不超过7100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可解答． 【详解】（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：足球的单价是80元，排球的单价是65元； （2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球， 依题意得：， 解得：． 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为40． ∴学校最多可以购买40个足球． 故答案为：40． 25．定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”． (1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）； ①    ②    ③ (2)若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由； (3)若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值． 【答案】(1)①③； (2)为“勤业式”，理由见解析； (3)x的值为0或1或． 【分析】（1）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解； （2）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解； （3）先求得，由为“至善式”，得为整数，从而有或或或，求解符合条件的x的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴为“求真式”，故①符合题意， ∵ ∴为“勤业式”， 故②不符合题意， ∵， ∴即， ∴为“求真式”， 故③不符合题意． 故答案为：①③； （2）解：为“勤业式”，理由如下： ∵， ∴， ∴为“勤业式”； （3）解：∵，，且x为整数， ∴ ∵为“至善式”， ∴的值为整数，即为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得或（舍去）或或， ∴x的值为0或1或． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$