精品解析：山东省青岛第五十八中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2024级高一级部阶段性模块检测 数学试卷 2024.12 注意事项： 1.本试题分第I卷和第II卷两部分.第I卷为选择题，共58分；第II卷为非选择题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟. 2.第I卷请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上.第II卷将答案用黑色签字（0.5mm）笔写在答题纸上. 第I卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：D 2. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过计算函数的特殊值，利用排除法确定正确选项. 【详解】函数，当，，排除AB选项； 当，；当，；当，，只有D选项符合. 故选：D 3. 已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由周期公式及单调性逐个判断即可； 【详解】因为函数的周期为， 所以当时，对正、余弦函数来说，，故排除AB， 当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减，故C正确，D错误. 故选：C 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数及二次函数单调性求出复合函数的单调减区间. 【详解】由，得，解得， 即函数的定义域为， 函数在上单调递增，在上单调递减，而函数是增函数， 所以函数的单调递减区间是. 故选：B 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化切为弦利用同角三角函数的平方关系化简得，然后根据角的范围判断，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，又，，则， 所以. 故选：A 6. 如图所示，在正方形内，是以为圆心，长为半径的圆的一段圆弧，且弧度，两阴影部分面积分别为和，则（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】应用扇形面积公式及图形特征计算求解判断即可. 【详解】设，记与交于点， 因为弧度，所以，， ，所以， 故选：B. 7. 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 8. 已知函数，若对任意的正数，，满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得，最后根据基本不等式求最值. 【详解】因为所以定义域为， 因为，所以为减函数 因为，,所以为奇函数， 因为，所以，即， 所以， 因为， 所以（当且仅当，时，等号成立）. 故选：C. 第II卷 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列选项正确的是则（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 函数图象的对称中心为， C. 命题“，”的否定是， D. 的最小值为9 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，根据充分不必要条件的定义判断；对于选项B，根据正切函数对称中心的公式求解；对于选项C，根据特称命题的否定形式进行判断；对于选项D，利用均值不等式求解. 【详解】对于选项A，若，则且. 由得；由得. 当时，不能推出.所以是的充分不必要条件，A选项正确. 对于选项B，对于函数，其对称中心为. 对于函数，令. 解得，所以函数图象的对称中心为，B选项错误. 对于选项C，特称命题的否定是全称命题，C选项正确. 对于选项D，令，则， ，当且仅当时取等号，D选项正确. 故选：ACD 10. 设，表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，则下列叙述中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题中所给定义，结合函数的奇偶性、单调性、值域对选项依次辨析即可. 【详解】对于A，由已知，，∵，∴，∴， ，∵，∴，， ∴，∴函数不是偶函数，故选项A错误； 对于B，由已知定义域为，，都有， ， ∴，是奇函数，故选项B正确； 对于C，， 令，，则当时，单调递增，且， 当时，单调递增， ∴由复合函数的单调性知在上是增函数，故选项C正确； 对于D，∵，∴，∴，即， 当时，；当时，， ∴的值域为，故选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】在判断函数是否为奇函数时，若较为复杂，可通过是否有进行判断. 11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在上单调递减 C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程有5个实数解 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意可得是函数的一个周期，由对称性作出函数部分图象和的草图，数形结合判断各个选项得解. 【详解】为奇函数，函数的图象关于点成中心对称， 为偶函数，函数的图象关于直线成轴对称. 则且， ，即， 所以， 是函数的一个周期. 当时，，则可作出函数部分图象和的草图如下. 由图可知A，D正确，B，C不正确. 故选：AD. 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若是第三象限角，且，求的值_____ 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式整理函数解析式以及求得正弦值，根据同角三角函数的平方式，可得答案. 【详解】， 若是第三象限角，且，有， 则，，所以. 故答案为：. 13. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的单调区间以及复合函数的单调性，解得函数的单调递减区间，结合题意，建立不等式组，可得答案. 【详解】， 令，，则， 所以在是减函数， 因为在区间单调递减，所以有， 即，又，所以，. 故答案为：. 14. 已知函数在定义域上为减函数，且值域为，a的取值范围_____，实数m的取值范围是_____ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域建立不等式，结合分式不等式的解法以及给定的值域，可得答案； 根据函数的单调性，利用给定的值域，建立方程，由一元二次方程的根的情况建立不等式组，可得答案. 【详解】由，得，或，所以或， 又，且，所以，所以； 因为为减函数，即 所以在上的值域为，即， 故，为方程在上的两个根， 即有两个大于4的根， 设，对称轴为， 有且且， 即，解得， 所以. 故答案为：；. 四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由由根式和指数式的运算性质即可计算求解； （2）由对数的运算性质即可计算求解； 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式. 16. 已知函数，，最小正周期. （1）求的解析式； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，利用周期求得，即可求得解析式； （2）当时，，令，原不等式转化为时，恒成立，令，则，由对勾函数的性质可求得的最大值，即可得解. 【小问1详解】 由题知，，即， 又，所以，因为，所以，故； 【小问2详解】 当时，，所以， 所以， 令，则当时，恒成立， 等价于时，恒成立，， 因为， 令，则， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以 ， 所以，即实数的取值范围为. 17. 生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测.第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示.甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据： 月 0 2 8 16 吨 为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系：①；②且. （1）请根据表中提供的前2列数据确定两个函数模型的解析式； （2）根据第3，4列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了2个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：） 【答案】（1）； （2）24个月 【解析】 【分析】（1）分别代入前2列数据到两个函数模型的解析式，解方程组，即可得到本题答案； （2）分别把和代入到两个函数模型的解析式，选择数据差距较小的函数模型；然后把代入到，解出，即可得到本题答案. 【小问1详解】 将前2列数据代入解析式①得：，解之得：， ①； 将前2列数据代入解析式②得：，解之得：， ②. 【小问2详解】 当时，模型①，模型②； 当时，模型①，模型②； 选模型②； 当总量再翻一番时有：，解之得， 即再经过26-2=24个月时，总量能再翻一番. 18. 设定义在上的奇函数且， （1）求的值 （2）已知，函数，，求的值域； （3）若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求解参数即可. （2）对给定函数合理变形，将其利用换元法变为二次函数，利用二次函数的性质求解值域即可. （3）利用题意结合函数的奇偶性与单调性将问题转化为绝对值不等式恒成立问题，再利用同时平方法化为一元二次不等式恒成立问题，求解参数范围即可. 【小问1详解】 是定义域为上的奇函数， ，得到，解得， 经检验，满足题意，即的值为. 【小问2详解】 ，，即， 或舍去， ， 令，由指数函数性质得在上为增函数， ，， 由二次函数性质得当时，， 而，，的值域是， 故的值域是. 【小问3详解】 由于，， 因为是奇函数，所以， 故，且定义域关于原点对称，可得是偶函数， 由指数函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 又，， 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 左右同时平方得对恒成立. ， 解得，综上可得的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数，解题关键是利用函数的奇偶性和单调性对给定不等式化简，然后将其化为一元二次不等式恒成立问题，再得到所要求的参数范围即可. 19. 设，对定义在上的函数，若存在常数，使得对任意恒成立，则称函数满足性质. （1）判断下列函数是否具有性质？ ①，②，③. （2）若函数具有性质，，其中，求证：函数具有性质 （3）设函数具有性质，其中是奇函数，是偶函数.若，求的值. 【答案】（1）①具有性质；②不具有性质；③具有性质 （2）因为函数具有性质，则存在常数，使得 对任意恒成立． 因为函数具有性质，则存在常数，使得 ，对任意恒成立， 故，即也对任意恒成立， 因此对任意恒成立． 又因为 所以函数具有性质． （3）2023 【解析】 【分析】（1）利用性质的定义判断； （2）利用性质的定义证明； （3）根据函数具有性质，得到，从而有，分别令，，再结合是奇函数，是偶函数，得到，然后令，得到，从而得到，然后利用求解. 【小问1详解】 ①因为，所以具有性质； ②因为，所以 不具有性质； ③，所以具有性质． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知存在满足，即， 令，则①， 令，则②， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， ①+②，整理得， 令，则，即， 又因为，所以， 所以 【点睛】关键点点睛：新定义题关键是读懂题意，结合已学函数性质，函数奇偶性和周期性计算解题即可.理解能力要求高，综合性较强，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一级部阶段性模块检测 数学试卷 2024.12 注意事项： 1.本试题分第I卷和第II卷两部分.第I卷为选择题，共58分；第II卷为非选择题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟. 2.第I卷请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上.第II卷将答案用黑色签字（0.5mm）笔写在答题纸上. 第I卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在正方形内，是以为圆心，长为半径的圆的一段圆弧，且弧度，两阴影部分面积分别为和，则（ ） A. B. C. D. 不确定 7. 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知函数，若对任意的正数，，满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 第II卷 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列选项正确的是则（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 函数图象的对称中心为， C. 命题“，”的否定是， D. 的最小值为9 10. 设，表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，则下列叙述中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在上单调递减 C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程有5个实数解 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若是第三象限角，且，求的值_____ 13. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____ 14. 已知函数在定义域上为减函数，且值域为，a的取值范围_____，实数m的取值范围是_____ 四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求值： （1） （2） 16. 已知函数，，最小正周期. （1）求的解析式； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 17. 生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测.第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示.甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据： 月 0 2 8 16 吨 为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系：①；②且. （1）请根据表中提供的前2列数据确定两个函数模型的解析式； （2）根据第3，4列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了2个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：） 18. 设定义在上的奇函数且， （1）求的值 （2）已知，函数，，求的值域； （3）若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 设，对定义在上的函数，若存在常数，使得对任意恒成立，则称函数满足性质. （1）判断下列函数是否具有性质？ ①，②，③. （2）若函数具有性质，，其中，求证：函数具有性质 （3）设函数具有性质，其中是奇函数，是偶函数.若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $