精品解析：（教研室提供）河北省沧州市吴桥县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

沧州市2024—2025学年度第一学期期末教学质量评估 八年级数学试题（冀教版） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 化简的结果是（ ） A. 9 B. 3 C. D. 81 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，先计算算术平方根，再计算乘方即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 2. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 3. 下列分式中，为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．根据最简分式的定义分别对每一项进行判断，即可得出答案． 【详解】解：选项A、，不符合题意； 选项B、，不符合题意； 选项C、不能约分，符合题意； 选项D、，不符合题意， 故选：C． 4. 关于的叙述不正确的是（ ） A. B. 面积是8的正方形的边长是 C. 是正无理数 D. 是64的算术平方根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质．解题的关键是熟知无理数的定义及二次根式的性质． 根据二次根式的性质即可依次判断． 【详解】A. ，∴A选项正确； B. 面积是8的正方形的边长是，∴B选项正确； C. 是正无理数，∴C选项正确； D. 8是64的算术平方根，∴D选项不正确． 故选：D． 5. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 6. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 7. 秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据图中两把刻度尺A刻度尺上长度为24与B刻度尺上长度32相等，A刻度尺长度为9对应B刻度尺上长度为，列出方程即可． 【详解】解：根据图可知：， 即， 故选：A． 8. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据题意求出、，再计算与的比值即可得解．正确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 3是9的平方根 B. 近似数3.61精确到百分位 C. 立方根是它本身的数是0，1， D. 两个无理数的和一定是无理数 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根、立方根的意义，实数的性质，近似数的精确度逐项分析即可． 【详解】解：A． ∵，∴3是9的平方根，正确； B．近似数3.61精确到百分位，正确； C．立方根是它本身的数是0，1，，正确； D．两个无理数的和不一定是无理数，如是有理数，故不正确； 故选D． 【点睛】本题考查了平方根、立方根、实数的性质、近似数，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 10. 如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读㯵图象信息．根据勾股定理，直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得：， 由题意得：， 故①，②，③，④正确， 故选：D． 11. 已知：，，关于下列两个说法，判断正确的是（ ） ①若Q有意义，则； ②设，当时，． A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. ①②都正确 D. ①②都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式运算，分式有意义的条件，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键． 根据分式在意义的条件即可判断①；先表示出y，再代入x的值，求出y的值，进而可以判断②． 【详解】解：由题意，有意义，则， 即，故①正确； 由于， 当时， ，故②错误； 综上分析可知，只有①正确． 故选：A． 12. 如图，在中，是的角平分线，，分别是，上的动点．若，当的值最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，证明垂直平分，推出，由三角形三边关系可知，，即的值最小为，通过证明，推出，因此利用三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即当的值最小时，的度数为． 故选：C． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出取最小值时点E的位置． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式加减运算，根据同分母分式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 已知，则的立方根为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，立方根的意义，先根据二次根式有意义的条件求出x，y的值，然后根据立方根的意义求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根为． 故答案为：2． 15. 青山村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是，那么这口水井到土地边沿的距离是______m． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线的性质定理，三角形的面积计算，画出图形，设这口水井到土地边沿的距离为，根据三角形的面积列出方程，解方程即可；解题的关键是熟练运用三角形角平分线的性质定理进行计算． 【详解】解：三角形闲置土地如图所示， 由题意得，水井的位置即为的内心，即三个内角平分线的交点； 设这口水井到土地边沿的距离为， 周长为，即 即这口水井到土地边沿的距离是． 故答案为：． 16. 如图，在中，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为___________． 【答案】3或 【解析】 【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意，先列出的代数式，当为直角三角形时，则或，再根据30度角所对的边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 为直角三角形，， 当时，则， ∴， ， 解得：， 当时，则， ∴， ， 解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形， 故答案为：3或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式的应用，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）根据平方根，立方根，绝对值的性质进行计算即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式展开计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 如图，已知． （1）求作边的垂直平分线，交于点D，交于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，的周长为，求的周长． 【答案】（1） 如图，为所作； （2） 【解析】 【分析】此题考查垂直平分线的作图和性质． （1）利用基本作图作出的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长的定义和等线段代换得到，然后计算的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：垂直平分， ，， ∴ 的周长为， 即， ， 即， ， 的周长为． 19. 先化简，再求值：，其中a，b满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值方法是解题的关键．先将分式的分子分母因式分解，然后将除法转化为乘法计算，再计算分式的加减得到，最后将化为，代入即得答案． 【详解】原式 ， ， 原式． 20. （1）如图1是方格，其中每个小正方形的边长为1，中间阴影部分正方形的边长为______；面积为______． （2）如图2是方格，请在方格中画出边长为的正方形（顶点在格点上），并涂上阴影； （3）若两个连续整数x，y满足，求的算术平方根． 【答案】（1），5； （2）如图： （3）3 【解析】 【分析】本题考查作图一应用与设计作图，估算无理数的大小，算术平方根的应用： （1）阴影部分的面积等于大正方形面积减去四周小三角形的面积，再根据算术平方根求出边长即可； （2）参照图（1）即可作图； （3）估算的大小，得出和y的值，进而即可求解． 【详解】（1）整个方格的面积为， 四周四个直角三角形的面积之和为：（每个直角三角形的两条直角边分别为1和2）， 那么中间阴影部分正方形的面积就等于整个方格的面积减去四周四个直角三角形的面积，即，所以阴影部分正方形的面积为5，其边长为5算术平方根：， 故答案为：，5； （2）略 （3）解：， ， ， ，， ∴9的算术平方根为3． 21. 如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点A距地面的高度（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到______．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A距地面的高度． （1）请你先补全方案，再说明这样设计的理由； （2）若测得，，求的长度． 【答案】（1）， 理由： 在与中 ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质． （1）由垂直的定义可得出，由题意可知，，结合已知条件利用证明，由全等三角形的性质可得出． （2）利用全等三角形的性质可得出，，根据即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，， ， 即 22. 小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． （1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）把？代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设？为，去分母后把增根代入整式方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 【小问2详解】 解：设？为m，则分式方程为， 方程两边同时乘得 整理得， 由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即 所以把代入得，解得， 所以，原分式方程中“？”代表的数是． 23. 嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． （2）观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】（1）；（答案不唯一） （2） （3）证明：， 等式左边等式右边； （4）①；②18 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 【小问1详解】 解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 ①解： ． ②， ， ， ． 24. 已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． （1）【感知】如图1，当点E为的中点时，求证：； （2）【类比】如图2，当点E为边上任意一点时，则线段与的数量关系是______，嘉琪想到过点E作其中一边的平行线构造出一个等边三角形，再利用全等三角形知识解决问题，填空并帮嘉琪完成证明． （3）【拓展】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段CB的延长线上，且，若的边长为1，，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：， ， 是等边三角形， ， ∵点E为的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2） 解：，理由如下： 过点E作，交于点F，如图2， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 则； （3）3 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由E为等边三角形边的中点，利用三线合一得到垂直于，且为角平分线，由，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； （2）过点E作，交于点F，由为等边三角形，得到三角形为等边三角形，进而得到，再由，以及等式的性质得到夹角相等，利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证； （3）如图所示，同理可得，由求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3所示，作，交的延长线于点F，则， 同理可得：是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，而， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沧州市2024—2025学年度第一学期期末教学质量评估 八年级数学试题（冀教版） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 化简的结果是（ ） A. 9 B. 3 C. D. 81 2. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式中，为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的叙述不正确的是（ ） A. B. 面积是8的正方形的边长是 C. 是正无理数 D. 是64的算术平方根 5. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（ ） A. B. C. D. 8. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 3是9的平方根 B. 近似数3.61精确到百分位 C. 立方根是它本身的数是0，1， D. 两个无理数的和一定是无理数 10. 如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 已知：，，关于下列两个说法，判断正确的是（ ） ①若Q有意义，则； ②设，当时，． A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. ①②都正确 D. ①②都不正确 12. 如图，在中，是的角平分线，，分别是，上的动点．若，当的值最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 14. 已知，则的立方根为______． 15. 青山村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是，那么这口水井到土地边沿的距离是______m． 16. 如图，在中，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，已知． （1）求作边的垂直平分线，交于点D，交于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，的周长为，求的周长． 19. 先化简，再求值：，其中a，b满足． 20. （1）如图1是方格，其中每个小正方形的边长为1，中间阴影部分正方形的边长为______；面积为______． （2）如图2是方格，请在方格中画出边长为的正方形（顶点在格点上），并涂上阴影； （3）若两个连续整数x，y满足，求的算术平方根． 21. 如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点A距地面的高度（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到______．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A距地面的高度． （1）请你先补全方案，再说明这样设计的理由； （2）若测得，，求的长度． 22. 小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． （1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 23. 嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． （2）观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 24. 已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． （1）【感知】如图1，当点E为的中点时，求证：； （2）【类比】如图2，当点E为边上任意一点时，则线段与的数量关系是______，嘉琪想到过点E作其中一边的平行线构造出一个等边三角形，再利用全等三角形知识解决问题，填空并帮嘉琪完成证明． （3）【拓展】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段CB的延长线上，且，若的边长为1，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $