1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(湘教版2024)

课题 第1章 1.2 乘法公式 1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 1.知识与技能目标 熟练地运用乘法公式进行计算。 2.过程与方法目标 能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算。 3.情感、态度和价值观目标 培养思维的灵活性，增强学好数学的信心。 教学重难点 重点： 正确选择乘法公式进行运算。 难点： 综合运用平方差和完全平方公式进行多项式的计算。 教学准备 多媒体课件 教学过程 一、新课引入 （一）复习乘法公式 1.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2. 2.完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2. 3.三个数的和的平方公式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 4.运用乘法公式进行计算： （1）；　　　　　　 （2）； （3）. 二、讲授新课 探究点：运用乘法公式进行计算 类型一 乘法公式的综合运用 例1 计算： （1）(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)； （2）(a＋b)2－2(a＋b)(a－b)＋(a－b)2； （3）(x－2y＋3z)(x＋2y－3z)； （4）(2a＋b)2(b－2a)2. 解析：（1）可添加(2－1)，与首项结合起来用平方差公式，再把结果依次与下一项运用平方差公式； （2）逆用完全平方公式，能简化运算； （3）两个因式都是三项式，且各项的绝对值对应相等，所以可先运用平方差公式； （4）先利用积的乘方把原式变形为[(b＋2a)(b－2a)]2，再利用平方差公式把中括号内的多项式的乘法展开，然后再利用完全平方公式展开即可． 解：（1）原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)＝(24－1)(24＋1)…(216＋1)＝232－1； （2）原式＝[(a＋b)－(a－b)]2＝(a＋b－a＋b)2＝4b2； （3）原式＝[x－(2y－3z)][x＋(2y－3z)]＝x2－(2y－3z)2＝x2－(4y2－12yz＋9z2)＝x2－4y2＋12yz－9z2； （4）(2a＋b)2(b－2a)2＝[(b＋2a)(b－2a)]2＝(b2－4a2)2＝b4－8a2b2＋16a4. 方法总结：运用乘法公式计算时，先要分析式子的特点，找准合适的方法，能起到事半功倍的作用．同时由于减少了运算量，能提高解题的准确率． 类型二 运用乘法公式求值 例2 如图，立方体每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写两数之和相等．若18的对面写的是质数a，14的对面写的是质数b，35的对面写的是质数c，试求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值． 解析：先求出35与18和14的差，然后根据质数的定义判断出35的对面是2，再根据相对两个面所写两数之和相等求出a、b，然后把所求代数式相乘，分解因式后代入进行计算即可得解． 解：由质数的特点得出， 除2外其他质数必为奇数，35为奇数， 如果它与奇数相加必为偶数， 而18与14与奇数相加必为奇数， 故35不能与奇数相加， ∴35的对面是最小的质数2， ∴c＝2. ∵相对两个面所写两数之和相等， ∴a＝(35＋2)－18＝19，b＝(35＋2)－14＝23， ∴2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca) ＝(a2－2ab＋b2)＋(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bc＋c2) ＝(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2 ＝(19－23)2＋(19－2)2＋(23－2)2 ＝16＋289＋441＝746. ∴a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝×746＝373. 方法总结：本题主要考查了完全平方公式的运用，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题，本题根据质数的定义判断出c的值是解题的关键． 例3 已知a－b＝3，b－c＝2，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值． 解析：根据已知先求出a－c的值，然后根据(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)求解． 解：因为a－b＝3，b－c＝2，所以a－c＝5. 因为(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝9＋4＋25＝38， 所以2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)＝38. 因为a2＋b2＋c2＝1， 所以2－2(ab＋bc＋ca)＝38. 所以ab＋bc＋ca＝－18. 方法总结：运用乘法公式求值，往往涉及乘法公式的变形，并把其中某部分看作一个整体，如把a2＋b2与2ab看作一个整体，利用列方程或列方程组求解． 三、课堂小结 教师和学生一起回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题： 1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？ 2.通过本节课的学习，你最深刻的体验是什么？ 3.在本节课的学习中，你还有什么问题不清楚？ 四、板书设计 第1章 整式的乘法 1.2 乘法公式 1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 2．完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 教学设计反思 本节课学习了运用乘法公式进行计算，计算时要注意两个方面，一是正确运用公式，判断题目所给出的式子是否适用公式进行计算，运用公式时是用平方差公式还是完全平方公式；二是注意运算的准确性，运算时必须细心，注意符号及项数，避免出现错误．在教学中可采取小组竞赛的方式进行，提高学生的积极性和主动性。 学科网（北京）股份有限公司 $$