1.2.1 平方差公式-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(湘教版2024)

课题 第1章 1.2 乘法公式 1.2.1 平方差公式 授课教师 授课类型 新授课 教学目标 1.知识与技能目标 经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力. 2.过程与方法目标 会推导平方差公式，并能运用平方差公式进行简单的计算. 3.情感、态度和价值观目标 了解平方差公式的几何背景. 教学重难点 重点： 平方差公式的推导. 难点： 平方差公式的应用. 教学准备 多媒体课件 教学过程 一、新课引入 1、计算下列各式(复习)： （1）（x+2）（x-2）； （2）（1+3a）（1-3a）； （3）（a+b）（a-b）. 2、观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？ 3、讨论归纳：平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.. 文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。 二、讲授新课 探究点：平方差公式 类型一 直接应用平方差公式进行计算 例1 利用平方差公式计算： （1）(3x－5)(3x＋5)； （2）(－2a－b)(b－2a)； （3）(－7m＋8n)(－8n－7m)； （4）(x－2)(x＋2)(x2＋4)． 解析：直接利用平方差公式进行计算即可． 解：（1）(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25； （2）(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2； （3）(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2； （4）(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16. 方法总结：应用平方差公式进行计算时，应注意以下几个问题：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 类型二 应用平方差公式进行简便运算 例2 利用平方差公式简算： （1）20×19； （2）13.2×12.8. 解析：（1）把20×19写成(20＋)×(20－)，然后利用平方差公式进行计算；（2）把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算． 解：（1）20×19＝(20＋)×(20－)＝400－＝399； （2）13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96. 方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键． 类型三 化简求值 例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解． 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15. 方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算． 类型四 平方差公式的实际应用 例4 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 解：李大妈吃亏了． 理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后的面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16. ∵a2＞a2－16， ∴李大妈吃亏了． 方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题． 类型五 平方差公式的几何背景 例5 如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________． 解析：∵左图中阴影部分的面积是a2－b2，右图中梯形的面积是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)， ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 方法总结：通过几何图形之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释． 三、课堂小结 教师和学生一起回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题： 1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？ 2.通过本节课的学习，你最深刻的体验是什么？ 3.在本节课的学习中，你还有什么问题不清楚？ 四、板书设计 第1章 整式的乘法 1.2 乘法公式 1.2.1 平方差公式 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 教学设计反思 本节课通过多项式乘法推导出平方差公式，注意引导学生正确认识公式的特征：公式左边是两个二项式的积，这两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；公式右边是用符号相同项的平方，减去符号相反项的平方．对于例题和练习，让学生通过小组合作、自主探究的方式完成，提高学生学习的积极性. 学科网（北京）股份有限公司 $$