四川省资阳市天立学校2024-2025学年高二上学期数学期末复习卷05

资阳天立高二数学上学期期末复习卷05 （时间：120分钟 试卷满分：150分） 审核：高二数学备课组 班级： 姓名： 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 5．已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（    ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 7．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ）   A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一个质地均匀的骰子，掷一次骰子并观察向上的点数．A表示事件“骰子向上的点数大于等于3”，B表示事件“骰子向上的点数为奇数”，则（    ） A． B． C． D． 10．设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段MF为直径的圆与轴相切 11．下列说法正确的是（   ） A．不经过原点的直线都可以表示为 B．若直线与两坐标轴交点分别为A、B，且的中点为，则直线l的方程为 C．过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为或 D．直线的截距式方程为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在30%和40%，则口袋中白色球的个数可能是 个． 13．圆与圆的公共弦长为 . 14．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262年—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作有中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点，点满足，则点的轨迹所对应的阿波罗尼斯圆的半径为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值. 16．（15分）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 17．某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题3分，第3题4分，第4题4分，每道题目答对得满分，答错得0分，小明答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目是否答对相互独立. (1)求小明4道题目至少答错1道题的概率； (2)若该高校规定学生的面试分数不低于8分则面试成功，求小明面试成功的概率. 18．（17分）如图，三棱锥中，，为BC的中点.     (1)证明：; (2)点N满足，求平面APB与平面PBN夹角的余弦值. 19．（17分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线、的斜率分别为、，且． ①求证：直线经过定点． ②设和的面积分别为、，求的最大值． 资阳天立高二数学上学期期末复习卷05 参考答案 1．【答案】A【解析】由，，联立方程可得： 又直线的斜率为，所以所求的直线斜率为， 故直线方程为，即.故选：A. 2．【答案】D【解析】由， 则可设为参数，， 故，其中， 当时，取得最小值，最小值为．故选：D． 3．【答案】B【解析】由题设，则直线AB的倾斜角的取值范围为. 故选：B. 4.【答案】C【详解】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间． 其中事件包含的样本点有：，，，共4个． 事件包含的样本点有：，共2个． 所以事件包含的样本点有：，，，，共5个； 事件包含的样本点有：共1个．故选：C 5.【答案】B【解析】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上. 点在直线上， 所以直线与圆有公共点， 则，解得故选B. 6．【答案】C【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下： ，共36个样本点． 则事件包括，共6个，， 事件包括 ，共18个，， 事件包括，共5个，， 事件包括，共6个，. 对于A，，所以与不为对立事件，故A错误； 对于B，事件包括，则，又，， 所以，即与不相互独立，故B错误； 对于C，事件包括，则，又，， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D，事件包括，则，即与不为互斥事件，故D错误.故选：C. 【解析】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 8．【答案】D【解析】延长与双曲线交于点， 因为，根据对称性可知， 设，则，可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得.故选：D.   9.【答案】ACD 【分析】由题意，根据事件的基本运算，结合古典概型的概率公式依次计算即可求解. 【详解】A：掷一枚骰子并观察向上的点数，样本空间为，共6个样本点， 则，共4个样本点，所以，故A正确； B：，共3个样本点，所以，故B错误； C：由选项AB知，，共5个样本点，所以，故C正确； D：由选项AB知，，共2个样本点，所以，故D正确. 故选：ACD 10．【答案】BD【解析】由抛物线，则其焦点为，准线为，A错，如下图示， 其中准线于，则，故， 当且仅当共线时最小，为到准线距离4，B对； 由， 当且仅当共线时取等号，其最大值为，C错； 由，则中点坐标为， 而，故， 所以，以线段MF为直径的圆与轴相切，D对.故选：BD. 11．【答案】BCD【解析】对于A，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A选项错； 对于B，AB的中点为，则有，则直线l的方程为，故B选项对； 对于C，直线过点且过原点时，直线为，直线过点且不过原点时，直线为，故C选项对； 对于D，方程可化为，为直线的截距式方程，故D选项对． 故选：BCD. 12.【答案】15【详解】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在30%和40%， ∴摸到白球的频率为， 故口袋中白色球的个数可能是个．故答案为：15 13.【答案】【解析】圆①与圆②， ①－②得，即公共弦方程为， 又圆的半径为，圆心为， 圆心到直线距离，所以公共弦长为. 14．【答案】【解析】设，因为， 化简得到圆，是以为圆心，为半径的圆．故答案为：. 15．【解析】（1）由，可得，...................................（2分） 令，所以直线过定点....................................（6分） （2）由（1）知，直线恒过定点，由题意可设直线的方程为，...................................（8分） 设直线与轴，轴正半轴交点为，，令， 得；令，得，...................................（10分） 所以面积，................（12分） 当且仅当，即时，面积最小值为4....................................（14分 16．【解析】（1）圆心到直线的距离为 ．...................................（2分） ∴P点到直线的距离的最大值为，...................................（4分） 最小值为．...................................（6分） （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点，...............（7分） ∴，解得，...................................（8分） 则，即的最大值为，...................................（9分） 最小值为．...................................（10分） 解法二：设，.........................（7分） 则，其中，...................................（8分） ∴得，即的最大值为，...................................（9分） 最小值为．...................................（10分） （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k，...................................（11分） 设，即，直线与圆有交点，.........................（12分） 设，解得．...................................（13分） 则，...................................（14分） 即的最大值为，最小值为．...................................（15分） 17．【答案】(1)；(2). 【详解】（1）小明同学4道题目至少答错1道题的对立事件为小明4道题全部答对， 所以小明同学4道题目至少答错1道题的概率为. （2）由题意得，要使得面试分数不低于8分，若只答对2题，则应是第3题和第4题；若只答对三题或全部答对，面试得分均不低于8分. 设事件A，B，C，D分别为小明答对第1，2，3，4题， 则小明面试成功的概率 . 18．（17分）【解析】（1）法一：连接MP，MA，因为为BC中点，又，所以， 因为，所以与均为等边三角形， 所以，从而， 又平面PMA， 所以平面PMA，而平面PMA， 所以. 法二：依题意， 所以. 又 所以，， 所以. （2）依题意，，由及得，， ，， 又且平面ABC， 平面ABC. 以点M为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 所以，即有. 设平面PAB与平面PBN的一个法向量分别为, 设平面APB与平面PBN夹角为， 由，得，取，则； 由，得，取，则； 所以，故平面APB与平面PBN夹角的余弦值为. 19．【解析】（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为，由题意可得，解得，...................................（4分） 所以，椭圆的标准方程为....................................（5分） （2）解：①设点、. 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意. 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，则， 联立可得，...................................（7分） ，可得，...................................（8分） 由韦达定理可得，，则，...................................（9分） 所以， ，解得，...................................（10分） 即直线的方程为，故直线过定点. ②由韦达定理可得，，...................................（11分） 所以，...................................（12分） ，...................................（13分） ，则，...................................（14分） 因为函数在上单调递增， 故，...................................（15分） 所以，，当且仅当时，等号成立，...................................（16分） 因此，的最大值为....................................（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$